如何通俗地解释欧拉公式(e^πi+1=0)

如何通俗地解释欧拉公式(e^πi+1=0)?

原文:https://www.matongxue.com/madocs/8.html

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到了复数域,建立和三角函数和指数函数的关系,被誉为“数学中的天桥”。形式简单,结果惊人,欧拉本人都把这个公式刻在皇家科学院的大门上,看来必须好好推敲一番。


1 复数

在进入欧拉公式之前,我们先看一些重要的复数概念。

1.1 ii的由来

i=1i=−1,这个就是ii的定义。虚数的出现,把实数数系进一步扩张,扩张到了复平面。实数轴已经被自然数、整数、有理数、无理数塞满了,虚数只好向二维要空间了。

可是,这是最不能让人接受的一次数系扩张,听它的名字就感觉它是“虚”的:

  • 从自然数扩张到整数: 增加的负数可以对应“欠债、减少”
  • 从整数扩张到有理数: 增加的分数可以对应“分割、部分”
  • 从有理数扩张到实数: 增加的无理数可以对应“单位正方形的对角线的长度(22)”
  • 从实数扩张到复数: 增加的虚数对应什么?

虚数似乎只是让开方运算在整个复数域封闭了(即复数开方运算之后得到的仍然是复数)。

看起来我们没有必要去理会1−1到底等于多少,我们规定1−1没有意义就可以了嘛,就好像1010一样。

我们来看一下,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)ax2+bx+c=0(a≠0)的万能公式:其根可以表示为:x=b±b24ac2ax=−b±b2−4ac2a,其判别式Δ=b24acΔ=b2−4ac

  • Δ>0Δ>0: 有两个不等的实数根
  • Δ=0Δ=0: 有两个相等的实数根
  • $\Delta

我们再看一下,一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0(a0)ax3+bx2+cx+d=0(a≠0),一元三次方程的解太复杂了,这里写不下,大家可以参考 维基百科 ,但愿大家能够打开。

我们讨论一下b=0b=0,此时,一元三次方程可以化为x3+px+q=0x3+px+q=0,其根可以表示为:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x1=3q2+(q2)2+(p3)3+3q2(q2)2+(p3)3x2=ω3q2+(q2)2+(p3)3+ω23q2(q2)2+(p3)3x3=ω23q2+(q2)2+(p3)3+ω3q2(q2)2+(p3)3{x1=−q2+(q2)2+(p3)33+−q2−(q2)2+(p3)33x2=ω−q2+(q2)2+(p3)33+ω2−q2−(q2)2+(p3)33x3=ω2−q2+(q2)2+(p3)33+ω−q2−(q2)2+(p3)33

其中ω=1+3i2ω=−1+3i2

判别式为Δ=(q2)2+(p3)3Δ=(q2)2+(p3)3,注意观察解的形式,ΔΔ是被包含在根式里面的。

  • Δ>0Δ>0: 有一个实数根和两个复数根
  • Δ=0Δ=0: 有三个实数根,当p=q=0p=q=0,根为0,当p,q0p,q≠0,三个根里面有两个相等
  • $\Delta

要想求解三次方程的根,就绕不开复数了吗?后来虽然发现可以在判别式为负的时候通过三角函数计算得到实根,但是在当时并不知道,所以开始思考复数到底是什么?

我们认为虚数可有可无,虚数却实力刷了存在感。虚数确实没有现实的对应物,只在形式上被定义,但又必不可少。数学界慢慢接受了复数的存在,并且成为重要的分支。

1.2 复平面上的单位圆

在复平面上画一个单位圆,单位圆上的点可以用三角函数来表示:

我们来动手玩玩单位圆:

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1.3 复平面上乘法的几何意义

同样来感受一下:

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2 欧拉公式

对于θRθ∈R,有eiθ=cosθ+isinθeiθ=cosθ+isinθ

----维基百科

欧拉公式在形式上很简单,是怎么发现的呢?

2.1 欧拉公式与泰勒公式

关于泰勒公式可以参看这篇详尽的科普文章:

如何通俗地解释泰勒公式? 。

欧拉最早是通过泰勒公式观察出欧拉公式的:

ex=1+x+12!x2+13!x3+ex=1+x+12!x2+13!x3+⋯

sin(x)=x13!x3+15!x5+sin(x)=x−13!x3+15!x5+⋯

cos(x)=112!x2+14!x4+cos(x)=1−12!x2+14!x4+⋯

x=iθx=iθ代入ee可得:

eiθ=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+(iθ)44!+(iθ)55!+(iθ)66!+(iθ)77!+(iθ)88!+=1+iθθ22!iθ33!+θ44!+iθ55!θ66!iθ77!+θ88!+=(1θ22!+θ44!θ66!+θ88!)+i(θθ33!+θ55!θ77!+)=cosθ+isinθeiθ=1+iθ+(iθ)22!+(iθ)33!+(iθ)44!+(iθ)55!+(iθ)66!+(iθ)77!+(iθ)88!+⋯=1+iθ−θ22!−iθ33!+θ44!+iθ55!−θ66!−iθ77!+θ88!+⋯=(1−θ22!+θ44!−θ66!+θ88!−⋯)+i(θ−θ33!+θ55!−θ77!+⋯)=cos⁡θ+isin⁡θ

那欧拉公式怎么可以有一个直观的理解呢?

2.2 对同一个点不同的描述方式

我们可以把eiθeiθ看作通过单位圆的圆周运动来描述单位圆上的点,cosθ+isinθcosθ+isinθ通过复平面的坐标来描述单位圆上的点,是同一个点不同的描述方式,所以有eiθ=cosθ+isinθeiθ=cosθ+isinθ

2.3 为什么eiθeiθ是圆周运动?

定义ee为:e=limn(1+1n)ne=limn→∞(1+1n)n

----维基百科

这是实数域上的定义,可以推广到复数域ei=limn(1+in)nei=limn→∞(1+in)n。根据之前对复数乘法的描述,乘上(1+in)(1+in)是进行伸缩和旋转运动,nn取值不同,伸缩和旋转的幅度不同。

我们来看看ei=ei×1ei=ei×1如何在圆周上完成1弧度的圆周运动的:

从图上可以推出nn→∞时,eiei在单位圆上转动了1弧度。

再来看看eiπeiπ,这个应该是在单位圆上转动ππ弧度:

看来eiθeiθ确实是单位圆周上的圆周运动。

动手来看看eiθeiθ是如何运动的吧:

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2.4 2i2i的几何含义是什么?

2i2i看不出来有什么几何含义,不过我们稍微做个变换eiln2eiln2,几何含义还是挺明显的,沿圆周运动ln2ln2弧度。

2.5 欧拉公式与三角函数

根据欧拉公式eiθ=cosθ+isinθeiθ=cos⁡θ+isin⁡θ,可以轻易推出:

sinθ=eiθeiθ2isin⁡θ=eiθ−e−iθ2icosθ=eiθ+eiθ2cos⁡θ=eiθ+e−iθ2。三角函数定义域被扩大到了复数域。

我们把复数当作向量来看待,复数的实部是xx方向,虚部是yy方向,很容易观察出其几何意义。

2.6 欧拉恒等式

θ=πθ=π的时候,代入欧拉公式:

eiπ=cosπ+isinπ=1eiπ+1=0eiπ=cosπ+isinπ=−1⟹eiπ+1=0

eiπ+1=0eiπ+1=0就是欧拉恒等式,被誉为上帝公式,eeππii、乘法单位元1、加法单位元0,这五个重要的数学元素全部被包含在内,在数学爱好者眼里,仿佛一行诗道尽了数学的美好。

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