文章Coarse Alignment for Model Fitting of Point Clouds Using a Curvature-Based Descriptor解读三共形几何基础

接上上一节粗配准文章Coarse Alignment for Model Fitting of Point Clouds Using a Curvature-Based Descriptor解读二粗配准，下面看预处理小节

假设点云X = {xi}，i = 1, . . . , nx，xi ∈ R3，点云Y  = {yj}，j = 1, . . . , ny，yi ∈ R3，其中模型的点云从CAD模型计算得到。这时，三维配准问题转化成最小化误差问题：公式如图所示：

rotate+位移进行配准

至于yj，R，t则是模型点云对应的点云x。在ICP算法中，模型点云y对应的点云x利用如下算法得到：

此解决方案通过迭代找到，每一步的correspondence 利用（2）式子的最小化得到。当前位姿估计，接着位姿R，t由最小化（1）式最小化得到。这种小化要求姿势和对应关系的初始假设足够接近佳解决方案。

可以使用局部方法对模型中的点和观察点使用描述符进行初始对齐，然后基于这两个点云的描述进行初始位姿匹配。可以对点云中所有的点进行这样的描述，例如文献28中所述，【Fast point feature histograms
(FPFH) for 3D registration】快速直方图方法，或者设置限制条件选择关键点

B。共形几何代数

本文将利用【11】Geometric Algebra for Computer Science: An Object-Oriented Approach to Geometry
【16】Foundations of Geometric Algebra Computing (Geometry and Computing)中提到的的共形几何代数方法。因为这种公式非常适合计算点，面，球，将用于描述点云并根据这些描述符进行优化。共形几何代数是对欧式空间R3进行了拓展。“共形几何代数设计知识面比较广，需要补充知识储备，后续详细更新”

共形几何是由正交单位向量表示的基向量将欧拉的3维拓展到5维数据，形式如下：

其中ei*ej=δij ,其中i,j属于数据集{1，2，3}，δij是克罗内克δ函数的、e0*e0=e∞*e∞=0，并且e0*e∞=-1

克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0，（感觉跟文章里面提到的相反）。

假设欧拉空间的点：

可以表示成列向量：

这个点可以被五维的共形几何点：

代替，表示为

其中点p有如下性质：

这里是共形几何的点与欧式空间点的相互转换

共形几何的点也可以写成列向量形式：

共形几何里面的平面可以表示为以下形式：

其中n是平面的单位法线，δ是原点到平面的距离。在教材《Geometric Algebra for ComputerScience: An Object-Oriented Approach to Geometry》（文中11跟16都是英文教材，很贵）中被称为双曲面。平面Π的列向量表达式为：

球被定义为：

其中Pc是圆心，r是半径

球面的列向量表达式为：

给定半径r，可以得到球面：

球面的球心到一点p的距离可以由下式计算：

以上就是共形几何的内容，式子2~10均是教材中的内容，需要阅读教材加深理解