Java编程题——计算质数个数

LeetCode204题：
题目要求：统计所有小于非负整数 n 的质数的个数

质数：除了 1 和 它本身外不被其他整数整除（1不是质数）

有关于质数的题目我们在生活中很常见，而大多数首先想到的是暴力法解题
代码示例：

方法一：
class Solution{
     
    public int countPrimes(int n) {
     
        int count = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++){
     
            if(isPrime(i)){
     
                count++;
            }
        }
        return count;
    }
    public boolean isPrime(int n){
     
        if(n == 0 || n == 1) return false;
        if(n == 2) return true;
        for(int i = 2; i < n; i++){
     
            if( n % i == 0){
     
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

对于上述判断质数的方法，适用于数量级较小的运算，数字较大时可能会出现运算时间超时情况，所以我们对其进行优化：

如果 i 是 n 的因数，那么 n / i 也必然是 n 的因数，因此我们只需要验证 i 或者 n / i 即可，对于这两个数我们只需要验证其中较小的数，（例如，对于 6 来说，被2整除得3，被3整除得2，这时我们只需要判断到 2 即可，不需要继续往下运算）。我们可以发现，较小数的值最终落在 [ 2，√ x ] 之间，所以对于上述的代码，我们可以将判断条件修改为 i * i <= n;

修改后的时间复杂度为： O(n √ n)，空间复杂度为 O(1)

埃氏筛方法：

埃拉托斯特尼筛法，简称埃氏筛或爱氏筛，是一种由希腊数学家埃拉托斯特尼所提出的一种简单检定素数的算法。要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于根号n的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。

简单来说，就是当已确定一个数 x 为质数时，这个数的整数倍（2x，3x，4x…）都不是质数，（举例来说：已知 3 为质数，则他的倍数 6，9，12…都不是质数）则我们可以写出第二种算法：

// 方法二：
class Solution{
     
    public int countPrimes(int n){
     
        // 创建数组，用来存放每个数是否为质数（0：不是，1：是）
        int[] isPrime = new int[n];
        // 将数组中所有元素的值初始化为1
        Arrays.fill(isPrime,1);
        int count = 0;  // 质数的个数
        for(int i = 2; i < n; i++){
       // 已知 0 和 1 不为质数，2为质数，从2开始
            if(isPrime[i] == 1){
      //是质数
                count++;
                if( i * i < n){
      // 只需判断[2，√ x )区间的数
                    for(int j = 2; j * i < n; j++){
     
                        isPrime[j * i] = 0;   // 将i的倍数所对应的数组的值改为0
                    }
                }
            }
        }
        return count;
    }
}

此时的时间复杂度为 O(n log log n),空间复杂度为O(n)

在这里祝大家新年快乐！