数据结构优化DP

数据结构优化DP

考虑如下 DP 方程：
$$f(x)=\underset{1\le i<x且h(i)<h(x)}{\min }\{f(i)+w(i)\}$$

考虑将 $h$ 离散化，则能转移给 $f(x)$ 的 $i$ 在 h 的离散序列中构成一段区间。可以用数据结构维护 $h$ 的离散后的序列（通常需要支持插入、查询），时间复杂度 $O(n\log n)$。
单纯地说太抽象了，还是来道例题看看吧。

例题：递增子序列

题目大意

各处一行 $n$ 个数字，问长度为 $m$ 的严格上升子序列有多少个。

思路

dp[i][j] 为以第 i 个元素结尾，长为 j 的上升子序列的个数，则有：dp[i][j]=sum(dp[k][j-1]),a[k]

可以看出这个方程相当于一个区间求和。优化以树状数组为例：

Code

#include
#include
#include
#include
#define _inf 0x3f3f3f3f
#define mod 123456789
#define ll long long
using namespace std;

int a[10010],b[10010],n,m;
ll c[105][10010];

int lowbit(int _)
{
     
    return _&(-_);
}

void upd(int _,int d,int k)
{
     
    while(_<=10000)
    {
     
        c[k][_]=(c[k][_]+d)%mod;
        _+=lowbit(_);
    }
}

ll get(int _,int k)
{
     
    ll ret=0;
    while(_)
    {
     
        ret=(ret+c[k][_])%mod;
        _-=lowbit(_);
    }
    return ret;
}

int main()
{
     
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
     
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
     
            scanf("%d",&a[i]);
            b[i]=a[i];
        }
        sort(b+1,b+n+1);
        int size=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
        for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(b+1,b+size+1,a[i])-b;//离散化
        ll _;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
     
            upd(a[i],1,1);//初始化
            for(int j=1;j<m;j++)
            {
     
                _=get(a[i]-1,j);//区间和
                if(!_)break;
                upd(a[i],_,j+1);
            }
        }
        printf("%lld\n",get(10000,m)%mod);
    }
    return 0;
}