【算法讲12：杜教筛入门】亚线性时间复杂度 求 积性函数前缀和

前置知识

• 积性函数 与 狄利克雷卷积 【算法讲7：积性函数（下）】
• 数论分块 【算法讲6：数论分块（整除分块）】
• 莫比乌斯反演 与 欧拉筛 【算法讲8：莫比乌斯函数及其反演（理论部分） | 欧拉筛】
• 记忆化搜索。应该学过搜索的人都会的吧…

引入

• 【问题描述】【模板】杜教筛 | 洛谷 P4213
  给定 $n$ ，求
  $$\sum _{i=1}^n\phi (i)与\sum _{i=1}^n\mu (i)$$
• 【数据范围】
  样例组数 $T\le 10$
  $1\le n\le 2^{31}$

思路

• 【暴力的做法】如果 $n$ 是 $1e7$ 级别的，我们可以 $O(n)$ 直接用 欧拉筛 筛出每一个函数值，然后用前缀求和即可。
  但是这里 $n$ 达到了 $2e9$ ，明显无论是 时间 还是 空间 都无法完成。于是我们有了 杜教筛 。
• 首先，设 $f$ 是我们需要求的前缀和的积性函数。我们需要找到函数 $g、h$，满足：
  $$h=f\ast g$$
  我们设
  $$S(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$$
  表示我们需要求的前缀和。接下来，我们推一会儿狮子：
  $$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{n}h(i)& =\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}g(d)f(\frac{i}{d})\\ & =\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(i)\\ & =\sum _{d=1}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )\\ & =g(1)S(n)+\sum _{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )\end{array}$$
  于是，我们得到了杜教筛的式子：
  $$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^{n}h(i)-\sum _{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$
• 那么杜教筛有什么注意事项？
  我们需要寻找合适的 $g、h$，以至于我们可以很方便求出 $\underset{i=1}{\sum ^n}h(i)$
  后面那一项，可以用 整除分块 快速算出。
  如果我们直接记忆化计算 $S(n)$ ，时间复杂度大概为 $O(n^{\frac{3}{4}})$
  如果我们预先算出前 $\sqrt{n}$ 项 $f(i)$，那么时间复杂度大概为 $O(n^{\frac{2}{3}})$

对于 $\phi$ 的杜教筛

• 关键是怎么找合适的 $h=f\ast g$
  我们之前有 $\phi \ast 1=id$，这是一个很好的卷积公式。直接带入即可得到：
  $$S(n)=\sum _{i=1}^{n}i-\sum _{d=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$
  $h(n)$ 的前缀和非常好算，就是 $\frac{n(n+1)}{2}$，于是完成了。

对于 $\mu$ 的杜教筛

• 关键是怎么找合适的 $h=f\ast g$
  我们之前有 $\mu \ast 1=\epsilon$，这是一个很好的卷积公式。直接带入即可得到：
  $$S(n)=\sum _{i=1}^n\epsilon (i)-\sum _{d=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$
  $h(n)$ 的前缀和非常好算，就是 $1$，于是又完成了。

核心代码

• 时间复杂度：$O(\sqrt{n}+n^{\frac{2}{3}})$

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
const int MAX = 1e7+50;

const int TMAX = MAX - 50;
int cnt;
ll phi[MAX];
int mu[MAX];
int vis[MAX],prime[MAX];
void shai(int n){
     
    phi[1] = mu[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;++i){
     
        if(!vis[i]){
     
            prime[++cnt] = i;
            phi[i] = i-1;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= n;++j){
     
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j]){
     
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            }else{
     
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i = 1;i <= n;++i){
     
        phi[i] += phi[i-1];
        mu[i] += mu[i-1];
    }
}
unordered_map<int,ll>PHI;
ll fd_phi(int n){
     
    if(n <= TMAX)return phi[n];
    if(PHI[n])return PHI[n];
    ll L = 2,R = 0;
    ll res = 0;
    while(L <= n){
     
        R =  n / (n / L);
        res += (R - L + 1) * fd_phi(n / L);
        L = R + 1;
    }
    res = (1LL+n)*n/2 - res;
    PHI[n] = res;
    return res;
}
unordered_map<int,int>MU;
ll fd_mu(int n){
     
    if(n <= TMAX)return mu[n];
    if(MU[n])return MU[n];
    ll L = 2,R = 0;
    ll res = 0;
    while(L <= n){
     
        R =  n / (n / L);
        res += (R - L + 1) * fd_mu(n / L);
        L = R + 1;
    }
    res = 1 - res;
    MU[n] = res;
    return res;
}
int main()
{
     
    shai(TMAX);
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
     
        int n;scanf("%d",&n);
        printf("%lld %d\n",fd_phi(n),fd_mu(n));
    }
    return 0;
}

例子

来看一个比较综合的例子。

• 【题目描述】function | HDU5608
  给定一个数论函数 $f$，它满足以下性质：
  $$N^2-3N+2=\sum _{d|N}f(d)$$
  你需要求出：
  $$\sum _{i=1}^{n}f(i)$$
• 【数据范围】
  限时 $3000Ms$
  内存 $65536Kb$
  样例组数 $T\le 500$
  $N\le 10^9$
• 【思路】
  我们设 $F(n)=\sum _{d|n}f(i)$。根据莫比乌斯反演，我们有：$f(i)=\sum _{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$
  我们容易在 $O(n\log n)$ 的时间内算出前 $1e6$ 个 $f(i)$
  接下来，我们就要使用杜教筛了。因为题目已知 $f\ast 1=F$，我们使用这个即可：
  $$S(n)=\sum _{i=1}^{n}F(i)-\sum _{i=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$$
  前面的我们很好得到，因为 $F(n)=n^2-3n+2$。后面的数论分块即可。
• 【一些优化】
  （1）你可能算了半天某个值 $f(i)=0$，但是你如果直接调用 $if(f(i)!=0)$ 来判断这个值有没有算过不可取。应该用 $(it=find(i))!=F.end()$来证明之前确实没有储存过该值。
  （2）因为用到 $find$ ，所以我们选择 $map$ 更加稳妥，因为哈希表的储存和查找，在数比较密集的情况下还是可能会 $O(N)$ 的。
  （3）因为哈希表是像数组一样 $O(N)$ 内存的，但是 $map$ 内部为红黑树，如果你 $1\sim 1e6$ 的值全部存在 $map$ 中，之后很多新加进来的数字再一存，会导致 $MLE$ ，所以小值存数组里还是必要的。
  （4）取模操作，一些加减法后取模操作尽量变成 $if(x\ge MOD)x-=MOD$ 之类的语句
  （5）可以化简的式子直接化简，不然乘法多了取模多了又容易 $TLE$
  这几条优化，把 $TLE、MLE$ 的代码直接纠正了回来。
  本来我没有用以上几个优化，预处理只能处理了 $5e5$ 个数字，勉强 $1800Ms$ 和 $24600K$。
  但是看到他们的提交，时间不会卡的这么死，就仔细研究了一下可以应用到的优化。

核心代码

• 时间：$780Ms/3000Ms$
  内存：$14612K/65536K$
  时间复杂度：$O(n^{\frac{2}{3}})$

/*
 _            __   __          _          _
| |           \ \ / /         | |        (_)
| |__  _   _   \ V /__ _ _ __ | |     ___ _
| '_ \| | | |   \ // _` | '_ \| |    / _ \ |
| |_) | |_| |   | | (_| | | | | |___|  __/ |
|_.__/ \__, |   \_/\__,_|_| |_\_____/\___|_|
        __/ |
       |___/
*/
const int MAX = 1e6+50;
const ll  MOD = 1e9+7;

ll qpow(ll a,ll n){
     /* */ll res = 1LL;while(n){
     if(n&1)res=res*a%MOD;a=a*a%MOD;n>>=1;}return res;}

ll inv(ll a){
     /* */return qpow(a,MOD-2);}

const int TMAX = MAX - 50;
bool vis[MAX];
int prime[MAX];
int mu[MAX];
int cnt;
ll f[MAX];					/// 存小值
map<int,ll>F;				/// 存大值
map<int,ll>::iterator it;
const ll iv3 = inv(3);

ll qiu(ll x){
     
    return x * x - 3 * x + 2;
}

void shai(int n){
     
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= n;++i){
     
        if(!vis[i]){
     
            prime[++cnt] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 1;j <= cnt && i * prime[j] <= n;++j){
     
            vis[i*prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j])mu[i*prime[j]] = -mu[i];
            else {
     
                mu[i*prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++){
     
        for(int j = i; j <= n; j += i){
     
            f[j] = (f[j] + 1LL * mu[i] * qiu(j / i)) % MOD;
        }
        f[i] += f[i - 1];
        f[i] = (f[i] % MOD + MOD) % MOD;
    }
}

ll fd_func(ll n){
     
    if(n <= TMAX)return f[n];
    if((it = F.find(n)) != F.end())return it->second;
    ll L = 2,R = 0;
    ll res = n * (n + 1) % MOD * (n - 4) % MOD * iv3 % MOD + 2 * n;
    res = (res % MOD + MOD) % MOD;
    while(L <= n){
     
        R =  n / (n / L);
        res -= (R - L + 1) * fd_func(n / L) % MOD;
        if(res < 0)res += MOD;
        L = R + 1;
    }
    return F[n] = res;
}
int main()
{
     
    shai(TMAX);
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--){
     
        ll a;scanf("%lld",&a);
        printf("%lld\n",fd_func(a));
    }
    return 0;
}