杜教筛

摆（行列式、杜教筛）

有一个n×nn\timesnn×n的矩阵AAA，满足：Ai,j={1i=j0i≠j∧i∣jCotherwiseA_{i,j}=\begin{cases}1&i=j\\0&i\not=j\landi\midj\\C&\text{otherwise}\end{cases}Ai,j=⎩⎨⎧10Ci=ji=j∧i∣jotherwise求det⁡(A)\det(A)det(A)。答案模998244353

dygxczn·2024-02-19 22:07

一些些筛子（埃氏筛、线性筛、杜教筛）

有时我们需要求出一个范围内的质数，或者要计算一些积性函数的值，但往往题目无法承受直接判断质数、直接求函数值的时间复杂度，这时我们就可以用筛子了入门级：埃氏筛假设当前有一块板，板上写着2∼n2\simn2∼n的数，如果我们想快速找出质数，那么我们可以考虑标记那些合数，让划了斜线的数表示合数，于是我们从左往右依次看，当遇到一个质数时，就把后面他的所有的倍数都划上斜线，而这就是埃氏筛的原理for(int

溶解不讲嘿·2024-01-11 15:43

杜教筛和狄利克雷卷积

零、前置知识1.积性函数积性函数的定义：若(a,b)=1(a,b)=1(a,b)=1，则f(a⋅b)=f(a)⋅f(b)f(a\cdotb)=f(a)\cdotf(b)f(a⋅b)=f(a)⋅f(b)。常见的积性函数有：φ\varphiφ函数，μ\muμ函数等。积性函数有以下性质：若f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x)均为积性函数，则h(x)=f(x)⋅g(x)h(x)=f(x)

yyf525·2023-09-30 09:42

杜教筛练习题

前置知识：杜教筛题目大意给定nnn，求∑i=1n∑j=1n∑k=1nϕ(gcd⁡(i,j,k))\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=

tanjunming2020·2023-09-30 04:06

总结

常见错误代码细节其它二、一些技巧一、动态规划DP设计DP优化二、字符串三、数学数论等计数四、博弈五、树上问题六、图论七、网络流八、数据结构九、其它三、一些公式组合数二项式反演min/max容斥扩展单位根反演EXCRT杜教筛四

asddzgn0704·2023-09-20 13:35

数论分块学习笔记

准备开始复习莫比乌斯反演，杜教筛这一部分，先复习一下数论分块0.随便说说数论分块可以计算如下形式的式子∑i=1nf(i)g(⌊ni⌋)\sum_{i=1}^{n}f(i)g(\lfloor\frac{n

Dawn-_-cx·2023-08-10 00:44

杜教筛的小结

总所周知，杜教筛是一个可以快速求积性函数前缀和的工具，为了快速理解杜教筛，自己给自己写了一个文章快速理解。它可以在O(n2/3)的复杂度快速求出某个积性函数的前缀和。

罚时大师月色·2023-08-03 09:55

【SSL 2402】最简根式（杜教筛）（整除分块）

最简根式题目链接：SSL2402题目大意多次询问，每次给你一个n，问你有多少个a,b=2使得任意正整数x都有ax+b的k次开根不是最简根式。思路考虑对应a,ba,ba,b会有的性质。那注意到要任意整数都有不是最简根式，而不是最简根式代表有一个因子是xkx^kxk（x⩾2,k⩾2x\geqslant2,k\geqslant2x⩾2,k⩾2）那注意到有x3x^3x3一定有x2x^2x2（其他也类似），

SSL_TJH·2023-03-31 15:04

思维题练习专场-数学篇

转载请注明地址：http://www.cnblogs.com/LadyLex/p/8885799.html太可怕了终于还是来做数学了……之前只是看过一点点反演相关的东西之前的总结：杜教筛反演提升的目标是思维

weixin_30718391·2023-03-24 03:31

洛谷P3768 简单的数学题

1nijgcd⁡(i,j)) mod p\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nij\gcd(i,j)\right)\bmodp(i=1∑nj=1∑nijgcd(i,j))modp题解前置知识：杜教筛原式为

tanjunming2020·2023-01-14 13:30

[洛谷 P6055] [RC-02] GCD (莫比乌斯反演杜教筛)

题意求∑i=1n∑j=1n∑p=1⌊nj⌋∑q=1⌊nj⌋[gcd⁡(i,j)=1][gcd⁡(p,q)=1]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{p=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}\sum_{q=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}[\gcd(i,j)=1][\gcd(p,q)=1]i=1∑nj=1∑np=1∑⌊

凌乱之风·2023-01-14 13:57

洛谷P6055 [RC-02] GCD

洛谷P6055[RC-02]GCD题解前置知识：杜教筛题意即求∑i=1N∑j=1N∑p=1⌊Nj⌋∑q=1⌊Nj⌋[gcd⁡(i,j)=1][gcd⁡(p,q)=1]\sum_{i=1}^N\sum_{

tanjunming2020·2023-01-14 13:26

杜教筛学习

前置知识：狄利克雷卷积杜教筛杜教筛是快速求某些积性函数的前缀和的一种方法，时间复杂度一般能达到O(n23)O(n^{\frac23})O(n32)。

tanjunming2020·2023-01-12 16:38

洛谷P4213 【模板】杜教筛

前置知识：杜教筛洛谷P4213【模板】杜教筛求∑i=1nϕ(i)\sum\limits_{i=1}^n\phi(i)i=1∑nϕ(i)和∑i=1nμ(i)\sum\limits_{i=1}^n\mu(i

tanjunming2020·2023-01-12 16:38

积性函数求前缀和

杜教筛同样利用积性函数的性质。举常见的莫比乌斯函数为例。求∑ni=1μ(i)(1=2于是有s(n)=1-∑ni=2∑⌊ni⌋d=1μ(d)(这里的i表

Drin_E·2023-01-10 17:25

[日记&做题记录]-Noip2016提高组复赛倒数十天

写这篇博客的时候有点激动为了让自己不颓还是写写日记存存模板Nov.82016今天早上买了两个蛋挞吃了一个然后就做数论(前天晚上还是想放弃数论但是昨天被数论虐了wocnoip模拟赛出了道杜教筛)然后白天就脑补了几道积性函数把例题过了一遍

躲不过这哀伤·2022-12-25 19:56

洛谷P4213 杜教筛模板

[模板]杜教筛：计算∑i=1nμ(i)∑i=1nϕ(i)\sum_{i=1}^{n}\mu(i)\\\sum_{i=1}^{n}\phi(i)i=1∑nμ(i)i=1∑nϕ(i)Solution：杜教筛是一种能在

stdforces·2022-11-12 15:44

杜教筛【莫比乌斯前缀和，欧拉函数前缀和】推导与模板【一千五百字】

下图给出杜教筛详细推导过程，前置知识有积性函数和莫比乌斯反演。杜教筛是一种优秀的求积性函数前缀和算法，其时间复杂度受预处理数组的影响，一般开到2/3次幂大小，可使复杂度达到较为优秀的程度。

秦小咩·2022-11-12 15:08

牛客P21546 莫比乌斯反演+杜教筛

题意：给出n,k,l,rn,k,l,rn,k,l,r，从区间[l,r][l,r][l,r]内取出nnn个数，并且他们的最大公约数为kkk，有多少种取法？这nnn个数可以有相等的Solution：即计算∑a1=lr∑a2=lr...∑an=lr[gcd(a1,a2,...,an)=k]\sum_{a_{1}=l}^{r}\sum_{a_{2}=l}^{r}...\sum_{a_{n}=l}^{r}[

stdforces·2022-11-12 15:34

【NOI模拟赛】摆（线性代数，杜教筛）

题面6s,1024mb我是XYX，我擅长摆。我在摆大烂的时候看到一个n×nn\timesnn×n的矩阵AAA：Ai,j={1i=j0i≠j∧i∣jCotherwiseA_{i,j}=\begin{cases}1&i=j\\0&i\not=j\landi|j\\C&{\rmotherwise}\end{cases}Ai,j=⎩⎪⎨⎪⎧10Ci=ji=j∧i∣jotherwise现在我想知道AAA

DD(XYX)·2022-06-27 23:07

ABC239Ex Dice Product 2

nf_{\lfloor\frac{i}{j}\rfloor}fi=1+n1∑j=1nf⌊ji⌋通过记忆化搜索可以得出答案复杂度为O(n34)O(n^{\frac{3}{4}})O(n43)，证明方式和杜教筛

andyc_03·2022-04-09 19:52

Grisaia（超棒的杜教筛好题）

整理的算法模板合集：ACM模板点我看算法全家桶系列！！！实际上是一个全新的精炼模板整合计划G.Grisaia（灰色的果实好耶《灰色的果实(TheFruitofGrisaia)》）Weblinkhttps://www.oj.swust.edu.cn/problem/show/2810Problem计算：ans=∑i=1n∑j=1i(nmod(i×j))ans=\sum^n_{i=1}\sum^i_{

繁凡さん·2021-05-23 22:28

【算法讲12：杜教筛入门】亚线性时间复杂度求积性函数前缀和

【算法讲12：杜教筛入门】前置知识引入思路对于φ\varphiφ的杜教筛对于μ\muμ的杜教筛核心代码例子核心代码前置知识积性函数与狄利克雷卷积【算法讲7：积性函数（下）】数论分块【算法讲6：数论分块（

溢流眼泪·2021-02-12 21:59

模板 - min25筛

好像在某些情况下杜教筛会遇到瓶颈，先看着。暑假学一些和队友交错的知识的同时开这个大坑。

weixin_30882895·2020-09-16 21:57

Min_25筛

听说这个东西能给予人力量那就来学一学吧功能就是筛一个积性函数$f(i)$的前缀和Min_25筛好像是最近才流行起来的筛法，复杂度是非常神奇的$O(\frac{n^{\frac{3}{4}}}{logn})$和杜教筛一样

weixin_30371469·2020-09-16 21:45

洛谷 P2257 YY的GCD 莫比乌斯反演

P2257YY的GCD学习数论之莫比乌斯反演、杜教筛推荐：peng-ym推理：令：我们要求的是：令显然F(x)很容易求：我们反演一下：假设n#definelllonglongusingnamespacestd

一只叫橘子的猫·2020-09-16 18:41

BZOJ 4176 [莫比乌斯反演][杜教筛]

老师等式可以的得到该式子就等于∑i=1n∑j=1n⌊ni⌋⌊nj⌋[(i,j)=1]一波反演以后就得到∑d=1nμ(d)(∑i=1⌊nd⌋⌊nid⌋)2发现后面那个东西的取值只有O(n√)种，只需要枚举后面的值，前面的用杜教筛求就好了

Vectorxj·2020-09-16 17:58

kuangbin带你飞——基础数论专题习题总结

由于数论方面的知识太多了，有的知识我也不会，就不说知识点了，有关具体的知识可以参考刘汝佳紫书，白书上部分的专题，也可以看数论及应用（哈工大出版），这里只是对专题习题（加上最近网络赛的简单数论题，关于各种min25筛,杜教筛等等还没学

木每立兄豪·2020-09-15 23:45

2019CCPC网络赛 HD6707——杜教筛

题意求$f(n,a,b)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^igcd(i^a-j^a,i^b-j^b)[gcd(i,j)=1]\%(10^9+7)$，$1\len,a,b\le10^9$，共有$T$组测试，其中只有10组的$n$大于$10^6$.分析首先，当$i,j$互质，$a,b$互质时，有$gcd(i^a-j^a,i^b-j^b)=i-j$（证明见链接），也可以打表猜一猜嘛。可以推

dianshu1593·2020-09-15 22:01

51nod 1238 最小公倍数之和 V3 【欧拉函数+杜教筛】

首先题目中给出的代码打错了，少了个等于号，应该是G=0;for(i=1;i#includeusingnamespacestd;constlonglongN=1000005,m=1000000,inv2=500000004,inv4=250000002,inv6=166666668,mod=1e9+7;longlongn,phi[N],q[N],tot,ans,ha[N];boolv[N];long

weixin_30823833·2020-09-15 03:44

51nod(1220 约数之和推式子反演+线性筛+杜教筛)

题目1.学会线性筛出d(i)：i约数的个数以及dd(i)：i所有约数之和。学习链接2.慢慢推式子需要用到一个小结论(挺好yy证明的)+反演+积累技巧把(比如dd前缀和可以转化成别的式子进而分块求)学习链接第三个式子是反演得到的。最后一个橙点点有一丢丢小错误sigma(q=[1,[n/d]).我还是自己再次按照上述过程首推一下(由于我的式子太丑啦T_T放在代码后面留着自己看)#include#inc

Helium_wild·2020-09-15 03:37

51nod1239（杜教筛）

题目对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler'stotientfunction、φ函数、欧拉商数等。例如：φ(8)=4（Phi(8)=4），因为1,3,5,7均和8互质。S(n)=Phi(1)+Phi(2)+......Phi(n)，给出n，求S(n)，例如：n=5，S(n)=1+1+2+2+4=10，定义Phi(1)=1。由于结

青鱼一条·2020-09-15 03:26

[51nod][积性函数][杜教筛]最小公倍数之和 V3

problemId=1238sol:https://www.cnblogs.com/Blue233333/p/8320009.html比较套路就不推了（虽然我做了2天）具体可以见我杜教筛小结的那个博客，

Gzb1128·2020-09-15 02:37

51nod1238(杜教筛)

这个题暴露出杜教筛还是没掌握好。。然后就是讨论一个常见的求和然后原式就能化简成然后窝就天真的吧这个和式拿去做杜教筛了。。。

qkoqhh·2020-09-15 02:05

51nod1244(杜教筛)

杜教筛实在是太神了。。

qkoqhh·2020-09-15 02:05

[51nod 1238] 最小公倍数之和 V3（杜教筛）

题意ans=∑i=1n∑j=1nlcm(i,j).(n≤1010)ans=\displaystyle\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\text{lcm(i,j)}.(n\le10^{10})ans=i=1∑nj=1∑nlcm(i,j).(n≤1010)这个题目比公约数那个题麻烦多了，首先还是把这个式子拆成公约数的形式：ans=∑i=1n∑j=1nij(i,j)ans=∑d=1nd∑

lunch__·2020-09-15 02:07

【51nod】欧拉函数之和（数论，杜教筛）

文章目录题目分析一个性质尝试递推分块打表线性筛欧拉函数一个性质线性筛代码题目1239欧拉函数之和分析欧拉函数φ(n)\varphi(n)φ(n)表示小于等于nnn的与nnn互质的数的个数。令答案f(n)=∑i=1nφ(i)f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\varphi(i)f(n)=i=1∑nφ(i)。一个性质可以证明n=∑d∣nφ(d)n=\sum\limits_{d|n}\

ixRic·2020-09-15 02:04

[51nod][积性函数][杜教筛]最大公约数之和 V3

杜教筛的精髓似乎也掌握到一点了。简单反演∑ndd∑ndi∑ndj(i,j)=1∑dnd∑ind∑jnd(i,j)=1∑ndd(2(∑ndjϕ(i)

Gzb1128·2020-09-15 02:47

51Nod 最大公因数之和+最小公倍数之和(杜教筛)

1238最小公倍数之和http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=12381237最大公因数之和http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1237先来说最大公因数之和：1237最大公因数之和∑i=1n∑j=1ngcd⁡(i,j)\sum\limits_{i=1}

henu_jizhideqingwa·2020-09-15 02:26

这是一道简单的数学题(莫比乌斯反演+杜教筛)

题目链接$Description$求\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i\frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}\]答案对$10^9+7$取模。\(n#include#includeusingnamespacestd;constintmod=1e9+7;constintN=2e6+7;intn,tot,inv2=mod+1>>1,inv6=166666668;in

adolflee2050·2020-09-14 18:00

洛谷 3768简单的数学题（莫比乌斯反演+杜教筛）

题目链接$Description$求\[\sum_{i-1}^n\sum_{j=1}^nijgcd(i,j)\modp\]\(n#include#include#defineLLlonglongusingnamespacestd;constintN=7e6+7;inttot,ans,mod,nn,div6;LLn;intprime[N],phi[N];boolcheck[N];mapmp;vo

adolflee2050·2020-09-14 18:00

loj 572 Misaka Network 与求和 —— min_25筛

题目：https://loj.ac/problem/572推式子：https://www.cnblogs.com/cjoieryl/p/10150718.html又学习了一下杜教筛hh；原来unsignedint

aodan5477·2020-09-14 00:10

BZOJ4804

⌊nt⌋2∑tf(t)⌊nt⌋2其中，f(n)=∑d|nφ(d)μ(nd)线性筛：f(pr)=∑k=0rφ(pk)μ(pr−k)=φ(pr)μ(1)+φ(pr−1)μ(p)=φ(pr)−φ(pr−1)杜教筛

anantheparty·2020-09-14 00:31

min25筛学习理解

min25比较好的教程luoguyybmin25与杜教筛和线性筛不同的是：容斥原理的应用，巧妙的利用容斥原理实现了计算量的减少利用数论分块的理论实现有限点的dp运算利用素数的数量小的特点实现暴力运算#include

海边拾贝的言·2020-09-13 03:31

K Sum(杜教筛+欧拉降幂)

标题有函数fn(k)=∑l1=1n∑l2=1n⋯∑lk=1ngcd(l1,l2,⋯ ,lk)2f_{n}(k)=\sum_{l_1=1}^{n}\sum_{l_2=1}^{n}\cdots\sum_{l_k=1}^{n}gcd(l_1,l_2,\cdots,l_k)^2fn(k)=l1=1∑nl2=1∑n⋯lk=1∑ngcd(l1,l2,⋯,lk)2求∑i=2kfn(i)mod

兔蠢蠢·2020-09-13 01:47

CCPC-Wannafly Winter Camp Div2 Day3 自闭总结

三分凸函数即可另一种情况，就是当圆心到两个点连成的线段的距离小于R时，所求的最小值变为两条切线的长度+切点炼成的劣弧的长度F题杜教筛（莫比乌斯反演/狄利克雷卷积）·

Mr_Doublerun·2020-09-12 08:43

积性函数与筛法

【目录】数论函数积性函数线性筛狄利克雷卷积杜教筛min_25筛数论函数定义一个定义在正整数集上的实或复值函数f(n)f(n)f(n)叫做一个数论函数。举例数列{an}\{a_n\}{an}阶乘n!n!

又又大柚纸·2020-08-26 15:07

【51nod1227】平均最小公倍数（杜教筛）

传送门题解：利用差分，我们要求的实际上是这个玩意：Ans=∑n=1N∑i=1nlcm(i,n)nAns=\sum_{n=1}^{N}\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}lcm(i,n)}{n}Ans=n=1∑Nni=1∑nlcm(i,n)根据LCMSUM的推导我们知道：∑i=1nlcm(i,n)=n2+n2∑d∣ndϕ(d)\sum_{i=1}^nlcm(i,n)=\frac{n

zxyoi_dreamer·2020-08-24 12:40

从狄利克雷卷积到杜教筛【模板】

（有上面两个式子得）④例子：见下二.杜教筛一般n达到1e9以上，线性筛TLE，就得上这个玩意了，可以非线性时间解决。①构造思路核心式子：S为f的前缀和（证明见链接）注

zjyang12345·2020-08-24 12:33

2018焦作区域赛网络预选赛L: Poor God Water（找规律 + 杜教筛BM）

一开始队友在手推规律，推到4，然后因为过于繁琐，要写个程序来打表，然后就有了下面的打表程序。#includeusingnamespacestd;intBfs(intn){queueque;while(!que.empty())que.pop();que.push("A");que.push("B");que.push("C");intcnt=0;while(!que.empty()){string

125小黑黑521·2020-08-24 11:13

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