Codeforces Round #701 (Div. 2) C. Floor and Mod （数学/思维/整除分块）

折跃坐标：https://codeforces.com/contest/1485/problem/C

题面：

题目大意：
（下文中$\frac{a}{b}$均为向下取整）
给你一个x，y (1 ≤ x, y ≤ 10e9)
问有多少个(a，b)满足$\frac{a}{b}=amodb(1\le a\le x,1\le b\le y)$

数学思路：

设 $\frac{a}{b}=k$，$amodb=m$
得$k\ast b+m=a$， 其中$k=m$
整理得到$k\ast (b+1)=a(b>k)$
由此，我们的任务转变为找到对于每个b 有多少个k满足$k\ast (b+1)=a(b>k)$
因为有$1\le a\le xandk<b$
可以得到$k=min(b-1,\frac{x}{b+1})$
接下来，我们希望知道一个关于k的分段函数
$b-1<\frac{x}{b+1}$
$(b+1)\ast (b-1)<x$
$b^2-1<x$
$b^2<x+1$
$b<\sqrt{x+1}$
所以
$k=b-1(b<\sqrt{x+1})$
$k=\frac{x}{b+1}(b>\sqrt{x+1})$
对于$(b<\sqrt{x+1})$的部分，因为比较少，可以直接枚举，也可以直接用等差数列公式求和
对于$(b>\sqrt{x+1})$的部分，我们则需要用整除分块的知识解决
关于整除分块，对于这道题，我们只需要简单地知道，
在$\frac{n}{i},\frac{n}{i+1}......$这样的式子中，最大的,满足$\frac{n}{i}=\frac{n}{j}$的$j$ = $\frac{n}{\frac{n}{i}}$
对于连续的$\frac{n}{i},\frac{n}{i+1}......\frac{n}{j}$的和 等同于 $(j-i+1)\ast \frac{n}{i}$

ac代码：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define Buff std::ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0)
#define ll long long
#define inf LONG_LONG_MAX
#define Inf INT_MAX

using namespace std;

const int Maxn = 1e7 + 10;
const ll Mod = 1e9 + 7;
ll x, y;
ll ans;
int t;
int main()
{
     
    Buff;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
     
        ans = 0;
        cin >> x >> y;
        for (ll b = 2; b <= min(y, (ll)sqrt(x + 1)); b++)
            ans += b - 1;
        ll l, r;
        for (l = sqrt(x + 1) + 1; l <= min(x, y); l = r + 1)
        {
     
            if (x / (l + 1) <= 0) 
                break;
            r = min(y, min(x, x / (x / (l + 1))-1));
            //这里-1的原因是：除的是l+1而不是l
            ans += (r - l + 1) * (x / (l + 1));
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}