并查集

上一篇博客：Trie树简介及其应用

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概念

 并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合的合并及查询问题。并查集的思想是用一个 数组 表示了整片森林（parent），树的根节点唯一标识了一个集合，我们只要找到了某个元素的的树根，就能确定它在哪个集合里。

基本原理

 每一个集合用一棵树来表示。树根的编号就是整个集合的编号。每个节点存储它的父节点， p[x] 表示 x 的父节点。

应用

 主要用于解决一些元素分组的问题。它管理一系列不相交的集合，并支持两种操作：

• 合并（Union）：把两个不相交的集合合并为一个集合。
• 查询（Find）：查询两个元素是否在同一个集合中。

初始化及如何判断树根

 并查集的重要思想在于，用集合中的一个元素代表集合。

 因为刚开始每个集合只有一个点，所以直接让本身作为父节点即可。p[x] = x 是祖宗节点的一个标志，因为只要不是祖宗节点，那么p[x] 存储的是 x 的父节点。如果 p[x] = x，说明 x 已经没有父节点了，即当前的 x 为祖宗节点。

 观察上图可以发现 3 成为了 1 的子节点，即 p[3] = 1, 3 的父节点是 1。而p[1] = 1，所以 1 没有父节点了，所以 1 就是一个祖宗节点。

如何求x的集合编号

 一层一层访问父节点，直至祖宗节点（祖宗节点的标志就是父节点是本身）。要判断两个元素是否属于同一个集合，只需要看它们的祖宗节点是否相同即可。只要 p[x] != x,说明 x 还不是祖宗节点。直到 p[x] = x 为止，此时的 x 即为要查找元素的集合编号。用代码表示为：

while(p[x] != x) x = p[x];

 但是每次都这样查找的话时间复杂度太高，因此这里有一个优化的方法：路径压缩。使用递归在求 x 的集合编号的同时进行路径压缩，只要当前的点不是祖宗节点，那么就让当前的点指向祖宗节点。

// 返回 x 的祖宗节点 + 路径压缩(递归实现)
int find(int x) {
     
    // 只要当前的点不是祖宗节点，那么就让当前的点指向祖宗节点
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

如何将两个集合合并

 如何将两个元素合并呢？例如下图，如何将节点为 5 与 3 的树合并呢？

 只需要找到 5 与 3 所在树的祖宗节点，然后直接将 5 或者 3 的祖宗节点作为另一个树的的父节点即可。伪代码为：

p[find(3)] = find(5);

合并后的结果：

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例题

题目来源：AcWing 836. 合并集合

题目信息

题目描述

一共有 n 个数，编号是 1 ~ n，最开始每个数各自在一个集合中。

现在要进行 m 个操作，操作共有两种：

1. “M a b”，将编号为 a 和 b 的两个数所在的集合合并，如果两个数已经在同一个集合中，则忽略这个操作；
2. “Q a b”，询问编号为 a 和 b 的两个数是否在同一个集合中；
   输入格式
   第一行输入整数n和m。

接下来 m 行，每行包含一个操作指令，指令为 “M a b” 或 “Q a b” 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令”Q a b”，都要输出一个结果，如果 a 和 b 在同一集合内，则输出 “Yes”，否则输出 “No”。

每个结果占一行。

数据范围

1 ≤ n, m ≤ $10^5$

输入样例：

4 5
M 1 2
M 3 4
Q 1 2
Q 1 3
Q 3 4

输出样例：

Yes
No
Yes

题解

解题代码

#include
#include
using namespace std;

const int N = 100010;
int n, m;
int p[N];

// 返回 x 的祖宗节点 + 路径压缩(递归实现)
int find(int x) {
     
    // 只要当前的点不是祖宗节点，那么就让当前的点指向祖宗节点
    if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
    return p[x];
}

int main() {
     
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) p[i] = i;  
    while (m--) {
     
        char op[2];  // 最好使用数组的方式，因为如果使用 %c 接收很容易出现接收空格等的情况
        int a, b;
        scanf("%s%d%d", op, &a, &b);
        if (op[0] == 'M') p[find(a)] = find(b);
        else {
     
            if (find(a) == find(b)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
    }
    return 0;
}

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图片来源：算法学习笔记(1) : 并查集

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未完待续，持续更新中……