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数学史海览胜
——卢介景
第一章 三个发展时期
1、初等数学时期 2、变量数学时期 3、现代数学时期
第二章 三项世界记录
1、数学史最长的国家 2、数学传统最悠久的国家 3、数学教育开始最早的国家
第三章 三大核心领域
1、代数学范畴 2、几何学范畴 3、分析学范畴
第四章 三次数学危机
1、第一次数学危机 2、第二次数学危机 3、第三次数学危机
第五章 三股推动力量
1、社会生产的发展 2、数学内部的矛盾 3、数学家们的努力
第一章 三个发展时期
在人类的知识宝库中有三大类科学，即自然科学、社会科学、认识和思维的科学。自然科学又分为数学、物理学、化学、天文学、地理学、生物学、工程学、农学、医学等学科。数学是自然科学的一种，是其它科学的基础和工具。在世界上的几百卷百科全书中，它通常都是处于第一卷的地位。
从本质上看，数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。或简单讲，数学是研究数与形的科学。对这里的数与形应作广义的理解，它们随着数学的发展，而不断取得新的内容，不断扩大着内涵。
数学来源于人类的生产实践活动，即来源于原始人捕获猎物和分配猎物、丈量土地和测量容积、计算时间和制造器皿等实践，并随着人类社会生产力的发展而发展。对于非数学专业的人们来讲，可以从三个大的发展时期来大致了解数学的发展。
一、初等数学时期
初等数学时期是指从原始人时代到17世纪中叶，这期间数学研究的主要对象是常数、常量和不变的图形。
在这一时期，数学经过漫长时间的萌芽阶段，在生产的基础上积累了丰富的有关数和形的感性知识。到了公元前六世纪，希腊几何学的出现成为第一个转折点，数学从此由具体的、实验的阶段，过渡到抽象的、理论的阶段，开始创立初等数学。此后又经过不断的发展和交流，最后形成了几何、算术、代数、三角等独立学科。这一时期的成果可以用“初等数学”(即常量数学)来概括，它大致相当于现在中小学数学课的主要内容。
世界上最古老的几个国家都位于大河流域：黄河流域的中国；尼罗河下游的埃及；幼发拉底河与底格里斯河的巴比伦国；印度河与恒河的印度。这些国家都是在农业的基础上发展起来的，从事耕作的人们日出而作、日落而息，因此他们就必须掌握四季气候变迁的规律。游牧民族的迁徙，也要辨清方向：白天以太阳为指南，晚上以星月为向导。因此，在世界各民族文化发展的过程中，天文学总是发展较早的科学，而天文学又推动了数学的发展。
随着生产实践的需要，大约在公元前3000年左右，在四大文明古国—巴比伦、埃及、中国、印度出现了萌芽数学。
现在对于古巴比伦数学的了解主要是根据巴比伦泥版，这些泥版是在胶泥还软的时候刻上字，然后晒干制成的(早期是一种断面呈三角形的“笔”在泥版上按不同方向刻出楔形刻痕，叫楔形文字)。
已经发现的泥版上面载有数字表(约200件)和一批数学问题(约100件)，大致可以分为三组。第一组大约创制于公元前2100年，第二组大约从公元前1792年到公元前1600年，第三组大约从公元前600年到公元300年。
这些数学泥版表明，巴比伦自公元前2000年左右即开始使用60进位制的记数法进行较复杂的计算了，并出现了60进位的分数，用与整数同样的法则进行计算；已经有了关于倒数、乘法、平方、立方、平方根、立方根的数表；借助于倒数表，除法常转化为乘法进行计算。公元前300年左右，已得到60进位的达17位的大数；一些应用问题的解法，表明已具有解一次、二次(个别甚至有三次、四次)数字方程的经验公式；会计算简单直边形的面积和简单立体的体积，并且可能知道勾股定理的一般形式。巴比伦人对于天文、历法很有研究，因而算术和代数比较发达。巴比伦数学具有算术和代数的特征，几何只是表达代数问题的一种方法。这时还没有产生数学的理论。
对埃及古代数学的了解，主要是根据两卷纸草书。纸草是尼罗河下游的一种植物，把它的茎制成薄片压平后，用“墨水”写上文字(最早的是象形文字)。同时把许多张纸草纸粘在一起连成长幅，卷在杆干上，形成卷轴。已经发现的一卷约写于公元前1850年，包含25个问题(叫“莫斯科纸草文书”，现存莫斯科)；另一卷约写于公元前1650年，包含85个问题(叫“莱因德纸草文书”，是英国人莱因德于1858年发现的)。
从这两卷文献中可以看到，古埃及是采用10进位制的记数法，但不是位值制，而是所谓的“累积法”。正整数运算基于加法，乘法是通过屡次相加的方法运算的。除了几个特殊分数之外，所有分数均极化为分子是一的“单位分数”之和，分数的运算独特而又复杂。许多问题是求解未知数，而且多数是相当于现在一元一次方程的应用题。利用了三边比为3：4：5的三角形测量直角。
埃及人的数学兴趣是测量土地，几何问题多是讲度量法的，涉及到田地的面积、谷仓的容积和有关金字塔的简易计算法。但是由于这些计算法是为了解决尼罗河泛滥后土地测量和谷物分配、容量计算等日常生活中必须解决的课题而设想出来的，因此并没有出现对公式、定理、证明加以理论推导的倾向。埃及数学的一个主要用途是天文研究，也在研究天文中得到了发展。
中国古代数学将在后面的作专门介绍。印度在7世纪以前缺乏可靠的数学史料，在此略去不论。总的说来，萌芽阶段是数学发展过程的渐变阶段，积累了最初的、零碎的数学知识。
由于地理位置和自然条件，古希腊受到埃及、巴比伦这些文明古国的许多影响，成为欧洲最先创造文明的地区。在公元前775年左右，希腊人把他们用过的各种象形文字书写系统改换成腓尼基人的拼音字母后，文字变得容易掌握，书写也简便多了。因此希腊人更有能力来记载他们的历史和思想，发展他们的文化了。古代西方世界的各条知识支流在希腊汇合起来，经过古希腊哲学家和数学家的过滤和澄清，形成了长达千年的灿烂的古希腊文化。从公元前6世纪到公元4世纪，古希腊成了数学发展的中心。
希腊数学大体可以分为两个时期。
第一个时期开始于公元前6世纪，结束于公元前4世纪，通称为古典时期。泰勒斯开始了命题的逻辑证明；毕达哥拉斯学派对比例论、数论等所谓“几何化代数”作了研究，据说非通约量也是由这个学派发现的。进入公元前5世纪，爱利亚学派的芝诺提出了四个关于运动的悖论；研究“圆化方”的希波克拉茨开始编辑《原本》。从此，有许多学者研究“三大问题”，有的试图用“穷竭法”去解决化圆为方的问题。柏拉图强调几何对培养逻辑思维能力的重要作用；亚里士多德建立了形式逻辑，并且把它作为证明的工具；德谟克利特把几何量看成是由许多不可再分的原子所构成。
公元前四世纪，泰埃特托斯研究了无理量理论和正多面体理论，欧多克斯完成了适用于各种量的一般比例论……。“证明数学”的形成是这一时期希腊数学的重要内容。但遗憾的是这一时期并没有留下较为完整的数学书稿。
第二个时期自公元前4世纪末至公元1世纪，这时的学术中心从雅典转移到了亚历山大里亚，因此被称为亚历山大里亚时期。这一时期有许多水平很高的数学书稿问世，并一直流传到了现在。
公元前3世纪，欧几里得写出了平面几何、比例论、数论、无理量论、立体几何的集大成的著作《几何原本》，第一次把几何学建立在演绎体系上，成为数学史乃至思想史上一部划时代的名著。遗憾的是，人们对欧几里得的生活和性格知道得很少，甚至连他的生卒年月和地点都不清楚。估计他大约生于公元前330年，很可能在雅典的柏拉图学园受过数学训练，后来成为亚历山大里亚大学(约建成于公元前300年)的数学教授和亚历山大数学学派的奠基人。
之后的阿基米德把抽象的数学理论和具体的工程技术结合起来，根据力学原理去探求几何图形的面积和体积，第一个播下了积分学的种子。阿波罗尼写出了《圆锥曲线》一书，成为后来研究这一问题的基础。公元一世纪的赫伦写出了使用具体数解释求积法的《测量术》等著作。二世纪的托勒密完成了到那时为止的数理天文学的集大成著作《数学汇编》，结合天文学研究三角学。三世纪丢番图著《算术》，使用简略号求解不定方程式等问题，它对数学发展的影响仅次于《几何原本》。希腊数学中最突出的三大成就——欧几里得的几何学，阿基米德的穷竭法和阿波罗尼的圆锥曲线论，标志着当时数学的主体部分——算术、代数、几何基本上已经建立起来了。
罗马人征服了希腊也摧毁了希腊的文化。公元前47年，罗马人焚毁了亚历山大里亚图书馆，两个半世纪以来收集的藏书和50万份手稿竞付之一炬。基督教徒又焚毁了塞劳毕斯神庙，大约30万种手稿被焚。公元640年，回教徒征服埃及，残留的书籍被阿拉伯征服者欧默下令焚毁。由于外族入侵和古希腊后期数学本身缺少活力，希腊数学衰落了。
从5世纪到15世纪，数学发展的中心转移到了东方的印度、中亚细亚、阿拉伯国家和中国。在这1000多年时间里，数学主要是由于计算的需要，特别是由于天文学的需要而得到迅速发展。和以前的希腊数学家大多数是哲学家不同，东方的数学家大多数是天文学家。从公元6世纪到17世纪初，初等数学在各个地区之间交流，并且取得了重大进展。
古希腊的数学看重抽象、逻辑和理论，强调数学是认识自然的工具，重点是几何；而古代中国和印度的数学看重具体、经验和应用，强调数学是支配自然的工具，重点是算术和代数。大约在公元前1000年，印度的数学家戈涅西已经知道：圆的面积等于以它的半周长为底，以它的半径为高的矩形的而积。
印度早期的一些数学成就是与宗教教仪一同流传下来的，这包括勾股定理和用单位分数表示某些近似值(公元的6世纪)。公元前500年左右，波斯王征服了印度一部分土地，后来的印度数学就受到了外国的影响。数学作为一门学科确立和发展起来，还是在作为吠陀辅学的历法学受到天文学的影响之后的事。印度数学受婆罗门教的影响很大，此外还受希腊、中国和近东数学的影响，特别是受中国的影响。
印度数学的全盛时期是在公元五至十二世纪之间。在现有的文献中，499年阿耶波多著的天文书《圣使策》的第二章，已开始把数学作为一个学科体系来讨论。628年婆罗门这多(梵藏)著《梵图满手册》，讲解对模式化问题的解法，由基本演算和实用算法组成；讲解正负数、零和方程解法，由一元一次方程、一元二次方程、多元一次方程等组成。已经有了相当于未知数符号的概念，能使用文字进行代数运算。这些都汇集在婆什迦罗1150年的著作中，后来没有很大发展。
印度数学文献是用极简洁的韵文书写的，往往只有计算步骤而没有证明。印度数学书中用10进位记数法进行计算；在天文学书中不用希腊人的“弦”，而向相当于三角函数的方向发展。这两者都随着天文学一起传入了阿拉伯世界，而现行的“阿拉伯数码”就源于印度，应当称为“印度—阿拉伯数码”。
阿拉伯人的祖先是住在现今阿拉伯半岛的游牧民族。他们在穆罕默德的领导下统一起来，并在他死(632年)后不到半个世纪内征服了从印度到西班牙的大片土地，包括北部非洲和南意大利。阿拉伯文明在1000年前后达到顶点，在1100年到1300年间，东部阿拉伯世界先被基督教十字军打击削弱，后来又遭到了蒙古人的蹂躏。1492年西部阿拉伯世界被基督教教徒征服，阿拉伯文明被推毁殆尽。
阿拉伯数学指阿拉伯科学繁荣时期(公元8至15世纪)在阿拉伯语的文献中看到的数学。七世纪以后，阿拉伯语言不仅是阿拉伯国家的语言，而且成为近东、中东、中亚细亚许多国家的官方语言。阿拉伯数学有三个特点：实践性；与天文学有密切关系；对古典著作做大量的注释。它的表现形式和写文章一样，不用符号，连数目也用阿拉伯语的数词书写，而“阿拉伯数字”仅用于实际计算和表格。
对于阿拉伯文化来说，数学是外来的学问，在伊斯兰教创立之前，只有极简单的计算方法。七世纪时，通过波斯传进了印度式计算法。后来开始翻译欧几里得、阿基米得等人的希腊数学著作。花拉子模著的《代数学》成为阿拉伯代数学的范例。在翻译时代(大约850年之前)过去之后，是众多数学家表现创造才能著书立说的时代(1200年之前)。梅雅姆、纳速·拉丁、阿尔·卡西等等，使阿拉伯数学在11世纪达到顶点。
阿拉伯人改进了印度的计数系统，“代数”的研究对象规定为方程论；让几何从属于代数，不重视证明；引入正切、余切、正割、余割等三角函数，制作精密的三角函数表，发现平面三角与球面三角若干重要的公式，使三角学脱离天文学独立出来。1200年之后，阿拉伯数学进入衰退时期。初期的阿拉伯数学在12世纪被译为拉丁文，通过达·芬奇等传播到西欧，使西欧人重新了解到希腊数学。
在西欧的历史上，“中世纪”一般是指从5世纪到14世纪这—时期。从5世纪到11世纪这个时期称为欧洲的黑暗时代，除了制定教历外，在数学上没什么成就。12世纪成了翻译者的世纪，古代希腊和印度等的数学，通过阿拉伯向西欧传播。13世纪前期，数学在一些大学兴起。斐波那契著《算盘书》、《几何实用》等书，在算术、初等代数、几何和不定分析方面有独创的东西。14世纪黑死病流行，“百年战争”开始，相对地是数学上的不毛之地。奥雷斯姆第一次使用分数指数，还用坐标确定点的位置。
15世纪开始了欧洲的文艺复兴。随着拜占庭帝国的瓦解，难民们带着希腊文化的财富流入意大利。大约在这个世纪的中叶，受中国人发明的影响，改进了印刷术，彻底变革了书籍的出版条件，加速了知识的传播。在这个世纪末，哥伦布发现了美洲，不久麦哲伦船队完成了环球航行。在商业、航海、天文学和测量学的影响下，西欧作为初等数学的最后一个发展中心，终于后来居上。
15世纪的数学活动集中在算术、代数和三角方面。缪勒的名著《三角全书》是欧洲人对平面和球面三角学所作的独立于天文学的第一个系统的阐述。
16世纪最壮观的数学成就是塔塔利亚、卡尔达诺、拜别利等发现三次和四次方程的代数解法，接受了负数并使用了虚数。16世纪最伟大的数学家是韦达，他写了许多关于三角学、代数学和几何学的著作，其中最著名的《分析方法入门》改进了符号，使代数学大为改观；斯蒂文创设了小数；雷提库斯是把三角函数定义为直角三角形的边与边之比的第一个人，他还雇用了一批计算人员，花费12年时间编制了两个著名的、至今尚有用的三角函数表。其中一个是间隔为10"、10位的6种三角函数表，另一个是间隔为10"、15位的正弦函数表，并附有第一、第二和第三差。
由于文艺复兴引起的对教育的兴趣和商业活动的增加，一批普及的算术读本开始出现。到16世纪末，这样的书不下三百种。“＋”、“—”、“＝”等符号开始出现。
17世纪初，对数的发明是初等数学的一大成就。1614年，耐普尔首创了对对数，1624年布里格斯引入了相当于现在的常用对数，计算方法因而向前推进了一大步。
初等数学时期也可以按主要学科的形成和发展分为三个阶段：萌芽阶段，公元前6世纪以前；几何优先阶段，公元前5世纪到公元2世纪；代数优先阶段，3世纪到17世纪前期。至此，初等数学的主体部分——算术、代数与几何已经全部形成，并且发展成熟。
第一章 三个发展时期
2、变量数学时期
变量数学时期从17世纪中叶到19世纪20年代，这一时期数学研究的主要内容是数量的变化及几何变换。这一时期的主要成果是解析几何、微积分、高等代数等学科，它们构成了现代大学数学课程(非数学专业)的主要内容。
十六、十七世纪，欧洲封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会。由于资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，以及航海、军事等的发展，促使技术科学和数学急速向前发展。原来的初等数学已经不能满足实践的需要，在数学研究中自然而然地就引入了变量与函数的概念，从此数学进入了变量数学时期。它以笛卡儿的解析几何的建立为起点(1637年)，接着是微积分的兴起。
在数学史上，引人注目的17世纪是一个开创性的世纪。这个世纪中发生了对于数学具有重大意义的三件大事。
首先是伽里略实验数学方法的出现，它表明了数学与自然科学的一种崭新的结合。其特点是在所研究的现象中，找出一些可以度量的因素，并把数学方法应用到这些量的变化规律中去。具体可归结为：(1)从所要研究的现象中，选择出若干个可以用数量表示出来的特点；(2)提出一个假设，它包含所观察各量之间的数学关系式；(3)从这个假设推导出某些能够实际验证的结果；(4)进行实验观测—改变条件—再现测，并把观察结果尽可能地用数值表示以来；(5)以实验结果来肯定或否定所提的假设；(6)以肯定的假设为起点，提出新假设，再度使新假设接受检验。
伽里略的实验数学为科学研究开创了一种全新的局面。在它的影响下，17世纪以后的许多物理学家同时又是数学家，而许多数学家也在物理学的发展中做出了重要的贡献。
第二件大事是笛卡儿的重要著作《方法谈》及其附录《几何学》于1637年发表。它引入了运动着的一点的坐标的概念，引入了变量和函数的概念。由于有了坐标，平面曲线与二元方程之间建立起了联系，由此产生了一门用代数方法研究几何学的新学科——解析几何学。这是数学的一个转折点，也是变量数学发展的第一个决定性步骤。
在近代史上，笛卡儿以资产阶级早期哲学家闻名于世，被誉为第一流的物理学家、近代生物学的奠基人和近代数学的开创者。他1596年3月21日生于法国图朗，成年后的经历大致可分两个阶段。第一阶段从1616年大学毕业至1628年去荷兰之前，为学习和探索时期。第二阶段从1628年到1649年，为新思想的发挥和总结时期，大部分时间是在荷兰度过的，这期间他完成了自己的所有著作。1650年2月11日，他病逝于瑞典。
第三件大事是微积分学的建立，最重要的工作是由牛顿和莱布尼兹各自独立完成的。他们认识到微分和积分实际上是一对逆运算，从而给出了微积分学基本定理，即牛顿—莱布尼兹公式。到1700年，现在大学里学习的大部分微积分内容已经建立起来，其中还包括较高等的内容，例如变分法。第一本微积分课本出版于1696年，是洛比达写的。
但是在其后的相当一段时间里，微积分的基础还是不清楚的，并且很少被人注意，因为早期的研究者都被此学科的显著的可应用性所吸引了。
除了这三件大事外，还有笛沙格在1639年发表的一书中，进行了射影几何的早期工作；帕斯卡于1649年制成了计算器；惠更斯于1657年提出了概率论这一学科中的第一篇论文。
17世纪的数学，发生了许多深刻的、明显的变革。在数学的活动范围方面，数学教育扩大了，从事数学工作的人迅速增加，数学著作在较广的范围内得到传播，而且建立了各种学会。在数学的传统方面，从形的研究转向了数的研究，代数占据了主导地位。在数学发展的趋势方面，开始了科学数学化的过程。最早出现的是力学的数学化，它以1687年牛顿写的《自然哲学的数学原理》为代表，从三大定律出发，用数学的逻辑推理将力学定律逐个地、必然地引申出来。
1705年纽可门制成了第一台可供实用的蒸汽机；1768年瓦特制成了近代蒸汽机。由此引起了英国的工业革命，以后遍及全欧，生产力迅速提高，从而促进了科学的繁荣。法国掀起的启蒙运动，人们的思想得到进一步解放，为数学的发展创造了良好条件。
18世纪数学的各个学科，如三角学、解析几何学、微积分学、数论、方程论、概率论、微分方程和分析力学得到快速发展。同时还开创了若干新的领域，如保险统计科学、高等函数(指微分方程所定义的函数)、偏微分方程、微分几何等。
这一时期主要的数学家有伯努利家族的几位成员、隶莫弗尔、泰勒、麦克劳林、欧拉、克雷罗、达朗贝尔、兰伯特、拉格朗日和蒙日等。他们中大多数的数学成就，就来自微积分在力学和天文学领域的应用。但是，达朗贝尔关于分析的基础不可取的认识，兰伯待在平行公设方面的工作、拉格朗日在位微积分严谨化上做的努力以及卡诺的哲学思想向人们发出预告：几何学和代数学的解放即将来临，现在是深入考虑数学的基础的时候了。此外，开始出现专业化的数学家，像蒙日在几何学中那样。
18世纪的数学表现出几个特点：(1)以微积分为基础，发展出宽广的数学领域，成为后来数学发展中的一个主流；(2)数学方法完成了从几何方法向解析方法的转变；(3)数学发展的动力除了来自物质生产之外，还来自物理学；(4)已经明确地把数学分为纯粹数学和应用数学。
19世纪20年代出现了一个伟大的数学成就，它就是把微积分的理论基础牢固地建立在极限的概念上。柯西于1821年在《分析教程》一书中，发展了可接受的极限理论，然后极其严格地定义了函数的连续性、导数和积分，强调了研究级数收敛性的必要，给出了正项级数的根式判别法和积分判别法。柯西的著作震动了当时的数学界，他的严谨推理激发了其他数学家努力摆脱形式运算和单凭直观的分析。今天的初等微积分课本中写得比较认真的内容，实质上是柯西的这些定义。
19世纪前期出版的重要数学著作还有高斯的《算术研究》(1801年，数论)；蒙日的《分析在几何学上的应用》(1809年，微分几何)；拉普拉斯的《分析概率论》(1812年)，书中引入了著名的拉普拉斯变换；彭赛莱的《论图形的射影性质》(1822年)；斯坦纳的《几何形的相互依赖性的系统发展》(1832年)等。以高斯为代表的数论的新开拓，以彭资莱、斯坦纳为代表的射影几何的复兴，都是引人瞩目的。
3、现代数学时期
现代数学时期是指由19世纪20年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识。变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入。
18、19世纪之交，数学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了。然而，这只是暴风雨前夕的宁静。19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期。
19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。
大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何。这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。
后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。
1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。1899年，希尔伯特对此作了重大贡献。
在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代代数的大门。
另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。19世纪20～30年代，阿贝尔和伽罗华开创了近世代数学的研究。近代代数是相对古典代数来说的，古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的。群论之后，多种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等)被建立。这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵，等等，并渐渐转向代数系统结构本身的研究。
上述两大事件和它们引起的发展，被称为几何学的解放和代数学的解放。
19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件：分析的算术化。1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子，要求人们对分析基础作更深刻的理解。他提出了被称为“分析的算术化”的著名设想，实数系本身最先应该严格化，然后分析的所有概念应该由此数系导出。他和后继者们使这个设想基本上得以实现，使今天的全部分析可以从表明实数系特征的一个公设集中逻辑地推导出来。
现代数学家们的研究，远远超出了把实数系作为分析基础的设想。欧几里得几何通过其分析的解释，也可以放在实数系中；如果欧氏几何是相容的，则几何的多数分支是相容的。实数系(或某部分)可以用来解群代数的众多分支；可使大量的代数相容性依赖于实数系的相容性。事实上，可以说：如果实数系是相容的，则现存的全部数学也是相容的。
19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上。即他们证明了实数系(由此导出多种数学)能从确立自然数系的公设集中导出。20世纪初期，证明了自然数可用集合论概念来定义，因而各种数学能以集合论为基础来讲述。
拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到20世纪的第二个1/4世纪，它才得到了推广。拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。科学家们认识到：任何事物的集合，不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数学对象的集合，都能在某种意义上构成拓扑空间。拓扑学的概念和理论，已经成功地应用于电磁学和物理学的研究。
20世纪有许多数学著作曾致力于仔细考查数学的逻辑基础和结构，这反过来导致公理学的产生，即对于公设集合及其性质的研究。许多数学概念经受了重大的变革和推广，并且像集合论、近世代数学和拓扑学这样深奥的基础学科也得到广泛发展。一般(或抽象)集合论导致的一些意义深远而困扰人们的悖论，迫切需要得到处理。逻辑本身作为在数学上以承认的前提去得出结论的工具，被认真地检查，从而产生了数理逻辑。逻辑与哲学的多种关系，导致数学哲学的各种不同学派的出现。
20世纪40～50年代，世界科学史上发生了三件惊天动地的大事，即原子能的利用、电子计算机的发明和空间技术的兴起。此外还出现了许多新的情况，促使数学发生急剧的变化。这些情况是：现代科学技术研究的对象，日益超出人类的感官范围以外，向高温、高压、高速、高强度、远距离、自动化发展。以长度单位为例、小到1尘(毫微微米，即10^-15米)，大到100万秒差距(325.8万光年)。这些测量和研究都不能依赖于感官的直接经验，越来越多地要依靠理论计算的指导。其次是科学实验的规模空前扩大，一个大型的实验，要耗费大量的人力和物力。为了减少浪费和避免盲目性，迫切需要精确的理论分机和设计。再次是现代科学技术日益趋向定量化，各个科学技术领域，都需要使用数学工具。数学几乎渗透到所有的科学部门中去，从而形成了许多边缘数学学科，例如生物数学、生物统计学、数理生物学、数理语言学等等。
上述情况使得数学发展呈现出一些比较明显的特点，可以简单地归纳为三个方面：计算机科学的形成，应用数学出现众多的新分支、纯粹数学有若干重大的突破。
1945年，第一台电子计算机诞生以后，由于电子计算机应用广泛、影响巨大，围绕它很自然要形成一门庞大的科学。粗略地说，计算机科学是对计算机体系、软件和某些特殊应用进行探索和理论研究的一门科学。计算数学可以归入计算机科学之中，但它也可以算是一门应用数学。
计算机的设计与制造的大部分工作，通常是计算机工程或电子工程的事。软件是指解题的程序、程序语言、编制程序的方法等。研究软件需要使用数理逻辑、代数、数理语言学、组合理论、图论、计算方法等很多的数学工具。目前电子计算机的应用已达数千种，还有不断增加的趋势。但只有某些特殊应用才归入计算机科学之中，例如机器翻译、人工智能、机器证明、图形识别、图象处理等。
应用数学和纯粹数学(或基础理论)从来就没有严格的界限。大体上说，纯粹数学是数学的这一部分，它暂时不考虑对其它知识领域或生产实践上的直接应用，它间接地推动有关学科的发展或者在若干年后才发现其直接应用；而应用数学，可以说是纯粹数学与科学技术之间的桥梁。
20世纪40年代以后，涌现出了大量新的应用数学科目，内容的丰富、应用的广泛、名目的繁多都是史无前例的。例如对策论、规划论、排队论、最优化方法、运筹学、信息论、控制论、系统分析、可靠性理论等。这些分支所研究的范围和互相间的关系很难划清，也有的因为用了很多概率统计的工具，又可以看作概率统计的新应用或新分支，还有的可以归入计算机科学之中等等。
20世纪40年代以后，基础理论也有了飞速的发展，出现许多突破性的工作，解决了一些带根本性质的问题。在这过程中引入了新的概念、新的方法，推动了整个数学前进。例如，希尔伯特1990年在国际教学家大会上提出的尚待解决的23个问题中，有些问题得到了解决。60年代以来，还出现了如非标准分析、模糊数学、突变理论等新兴的数学分支。此外，近几十年来经典数学也获得了巨大进展，如概率论、数理统计、解析数论、微分几何、代数几何、微分方程、因数论、泛函分析、数理逻辑等等。
当代数学的研究成果，有了几乎爆炸性的增长。刊载数学论文的杂志，在17世纪末以前，只有17种(最初的出于1665年)；18世纪有210种；19世纪有950种。20世纪的统计数字更为增长。在本世纪初，每年发表的数学论文不过1000篇；到1960年，美国《数学评论》发表的论文摘要是7824篇，到1973年为20410篇，1979年已达52812篇，文献呈指数式增长之势。数学的三大特点—高度抽象性、应用广泛性、体系严谨性，更加明显地表露出来。
今天，差不多每个国家都有自己的数学学会，而且许多国家还有致力于各种水平的数学教育的团体。它们已经成为推动数学发展的有力因素之一。目前数学还有加速发展的趋势，这是过去任何一个时期所不能比拟的。
现代数学虽然呈现出多姿多彩的局面，但是它的主要特点可以概括如下：(1)数学的对象、内容在深度和广度上都有了很大的发展，分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都发生了惊人的变化，数学的不断分化，不断综合的趋势都在加强。(2)电子计算机进入数学领域，产生巨大而深远的影响。(3)数学渗透到几乎所有的科学领域，并且起着越来越大的作用，纯粹数学不断向纵深发展，数理逻辑和数学基础已经成为整个数学大厦基础。
以上简要地介绍了数学在古代、近代、现代三个大的发展时期的情况。如果把数学研究比喻为研究“飞”，那么第一个时期主要研究飞鸟的几张相片(静止、常量)；第二个时期主要研究飞鸟的几部电影(运动、变量)；第三个时期主要研究飞鸟、飞机、飞船等等的所具有的一般性质(抽象、集合)。
这是一个由简单到复杂、由具体到抽象、由低级向高级、由特殊到一般的发展过程。如果从几何学的范畴来看，那么欧氏几何学、解析几何学和非欧几何学就可以作为数学三大发展时期的有代表性的成果；而欧几里得、笛卡儿和罗巴契夫斯基更是可以作为各时期的代表人物。
第二章 三项世界纪录
中国数学发展的历史表明，我国历代的数学家不仅在算术与代数的许多方面有着杰出的成就，而且大多能与实际需要相结合；对于后来传入的西洋数学，也基本上能结合本国实际情况进行研究，并取得了一些创造性的成果。因此，中国数学在世界数学发展过程中占有重要的地位，风格独特，影响深远。这里所论的中国数学是指中国的传统数学，我国现代数学家在数学方面的成就与贡献应该划归世界数学的范围内。
我国数学家在世界数学史中，曾创造过大小几十项“世界纪录”，有些还保持了千年以上。本章从宏观角度介绍中国数学的三项世界纪录。
一、数学史最长的国家
中国数学发达的历史至少有四千多年，这是其他任何国家所不能比拟的。世界上其他文明古国的数学史，印度达3500年至4000年左右；希腊的从公元前六世纪到公元四世纪，达一千年；阿拉伯的数学仅限于8至13世纪，有500多年；欧洲国家的在10世纪以后才开始；日本的则迟至17世纪以后。所以我国是世界上数学历史最长的国家。下面分三个时期对我国的数学史作一个简介。
1、形成时期（公元755年以前的约3000多年）
它又可以分为两个阶段：萌芽阶段和形成阶段，数学从零星知识成为科学体系。
萌芽阶段（公元前221年秦统一以前）
从古代传说、古书记载和考古发现中可以推断，我们的祖先从上古的未开化时代开始，经过许多世代，积累了长期的实际经验，数量概念和几何概念才得到了发展。《易经》(约公元前一千)中《系辞传》上说：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契”。结绳和书契(刻木或刻竹)是非文字记载的两种主要记数(或记事)方法。
这个“上古”早到什么时候，众说不一。现在看来，在新石器时代早期已普遍结绳记数，稍后便出现了书契。在西安半坡遗址中，发现多种类型的陶器及大量陶片。研究表明，约6000年前的半坡人已具有了圆、球、圆柱、圆台、同心圆等几何观念。陶片上已有了相当于5、6、7、8、10、20的数字刻划符号。
二十世纪七十年代，我国在陕西临潼姜寨遗址中发现了大量陶片，上面有更多的数字刻划符号，有一些和半坡陶片上的符号一致，但多出了表示1和30的刻划符号。该遗址与半坡遗址几乎是同时代的。研究表明，大约在6000年前，原始社会的中国人至少已经掌握了30以内的自然数，而且显然是一个10进制系统。可见在我国，数目字的出现比甲骨文要早2600年，比“黄帝时代”也要早1300年左右。
伴随着原始公社的解体，私有制和货物交换已经产生。《易经·系辞传》说：“包牺氏没，神农氏作。……日中为市，致天下之民，聚天下之货，交易而退，各得其所”为了货物交换的顺利进行，人们逐渐有了统一的记数方法和简单的计算技能。
人们为了使制成的物品有规则的形状，圆的圆、方的方、平的平、直的直，创造了规、矩、准、绳。《尸子》(约公元前四世纪)说“古者，倕为规、矩、准、绳，使天下访焉”（古代传说，倕是约4500年前黄帝或唐尧时候的能工巧匠）。在汉武帝梁祠的浮雕像中，有伏羲手执矩，女娲手执规的造像。看来，在我国古代规矩的发明和使用较早，但早到什么时候，目前还没有证据可以做出结论。这对于后来的几何学的产生和发展，有很重要的意义。
由于私有制的发展，阶级的产生，奴隶社会出现了。夏代(约公元前21世纪初～约公元前12世纪初)是私有制确立和巩固的时期，产生了农业和手工业的分工，出现了从事各种手工业(如陶器、青铜器、车辆等等)生产的氏族。手工制造、农田水利、制订历法都需要数学知识和计算技能，人们关于几何形体和数量的认识必然有所提高。
到了商代(又称殷代，约公元前17世纪～约前11世纪)，奴隶主的国家正式确立，开始了比较发达的殷商文化。殷人用10干和12支组成甲子、乙丑等60个日名用来纪日。为了适应农业生产，殷人又有一定的历日制度。出于货物交换的发达，殷代已有用多量的贝壳来交换物品的习惯，这种贝壳就带有一些货币的味道。1899年在河南安阳发掘出来的殷墟龟甲和兽骨上所刻的象形文字(甲骨文)中(公元前14世纪)。自然数的记法已经毫无例外地用着10进位制，最大的数字是3万。
公元前11世纪末，周人灭殷(商)后，在原有氏族制度的基础上建立一个文明国家—周(约公元前11世纪～公元前256年)，奴隶制经济获得进一步的发展。在政治经济上有实力的氏族贵族组织成了强大的政治集团，其中有所谓“士”的阶层是受过礼、乐、射、御、书、数六艺训练的人。“数”作为六艺之一，开始形成一个学科。用算筹来记数和四则运算，很可能在西周(约公元前11世纪～公元前771年)时期已经开始了。
东周时期开始利用铁器，生产力逐渐提高，生产方式有所改变。从春秋以来，奴隶制的农村公社逐渐瓦解。由于各国畴人的努力，天文、历法工作有了显著成就。战国时期，奴隶制度逐渐破坏，封建制度逐渐建立起来。算筹是我国古代人用的计算工具。“筹”就是一般粗细，一般长短的小竹棍，用算筹进行计算叫做筹算。到春秋战国时期，人们已经能熟练地进行筹算。
《墨经》(约公元前400年)中的点、线、面、方、圆等几何概念，为理论数学树立了良好开端。战国时齐国人撰写的《考工记》(约公元前300年)记有尺寸的分数比例、角度大小的区分、标准容器的计算等。在古书《荀子》、《管子》中有关于“九九”乘法口诀的记载。《春秋》一书记录看“初税亩”，这说明在此以前已有测量田亩面积和计算的方法。《庄子·天下篇》称“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，说明已有了极限观念。《史记》记载了齐威王与田忌赛马的故事，可作为对策论在中国的最早例证。
形成阶段
从公元前221年至公元755年(即从秦始皇二十六年至唐玄宗天宝十四年)，以《九章算术》为中心的中国传统数学体系形成，这期间的著名数学家有刘微、祖冲之、祖搄等。主要的数学成就可以概括在“算经十书”中，主要内容有：分数的应用、整数勾股形的计算、正负数运算、开平方约零术、解联立方程组、几何图形的面积、体积的计算以及数学制度的确立等等。
《周髀》是一部汉代人撰写的古人讨论“盖天说”的书，是我国最古老的天文学著作。“髀”的原意是股或股骨，这里意指长8尺用来测量太阳影子的表。这本书的内容记述了周代的问题，所以叫做《周髀》，它的成书时间大约在公元前100年(或稍晚一些)。其中第一章叙述了西周开国时候，周公同一个名叫商高的数学家的一段问答。商高在答话中提到了“勾三、股四、弦五”(即商高定理)。关于《周髀》有两点值得注意：一是用文字表示的复杂的分数计算；二是关于勾股定理和用勾股定理测量的记载，这些在世界上都是比较早的。
见于《汉书艺文志》著录的杜忠的《算术》、许商的《算术》两部数学书，早已失传。现在有传本的、最古老的中国数学经典著作之一是《九章算术》，共九卷。一般认为它是东汉初年(1世纪)编纂成的。书中总结了周朝以来的研究成果，收集了246个应用问题和解题方法。
《九章算术》的出现标志着中国数学体系开始形成。魏末晋初刘徽撰《九章算术注》十卷(3世纪)，现在有传本。他还著《海岛算经》(又叫《重差术》)，书中运用几何知识测量远处目标的高、远、深、广，刘徽的数学理论具有世界意义。
《周髀》和《九章算术》是中国数学的第一批奇葩。南北朝时祖冲之(5世纪)曾注《九章》，造缀述数十篇。他与儿子祖搄合撰《缀术》六卷(已佚)，在数学方面有辉煌成就。
西晋以后、隋以前(4世纪初到7世纪初)的算术书，现在有传本的，如《孙子算经》(包括算筹计算法则，计算题举例)、《张邱建算经》(包括等差级数、二次方程、不定方程等问题的解法)、《五曹算经》(叙述田亩面积、军队给养、粟米互换、租税、体积、交易等计算方法)等，都是北方人的著作。它们收集了当时人民生活中所遇到的数学问题，总结了当时的数学成果，虽属浅近易晓，但对数学教育的普及和后来的数学发展，起了很大的作用。
在《孙子算经》中有一个千古名题，卷下“物不知数”问：“今有物，不知其数。三、三数之剩二；五、五数之剩三；七、七数之剩二。问物几何？”答曰：“二十三”，这是一个一次同余式组问题。书中给出了这一问题的解法(“术曰”)：N＝70×2＋21×3＋15×2－105×2＝23
后人为它编了一个口诀：“三人同行七十稀，五树梅花二十一，七子团圆正半月，减百零五便得知”。解的这种构设性使之容易推广到更一股的情形，即孙子的解法实际上可概括为“剩余定理”。
1852年英国传教士伟烈亚力著文介绍孙子剩余定理，引起了欧洲学者的重视。在西方数学史著作中，一直把孙子的剩余定理称为“中国剩余定理”。
《张邱建算经》提出了另一个数学史上的名题，通常称为“百鸡问题”。卷下第三十八题“今有鸡翁一值钱五；鸡母一值钱三；鸡雏三值钱一。凡百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？”这是一个不定方程问题，有三组答案。书中说：“鸡翁每增四、鸡母每减七，鸡雏每益三，即得”。
虽然不定方程在《九章算术》中已有记载，但是一题数答却始自《张邱建算经》，这一影响一直持续到19世纪。“百鸡问题”曾传入印度，出现在摩珂呲罗(9世纪)和巴斯卡拉(12世纪)的著作中。
在隋朝，刘焯结合天文学的发展，创立了等间距二次内插法计算日、月的位置。王孝通结合土木工程的发展，建立了三、四次方程，并给出了求其正根的解法。刘焯的《皇极历》(600年)和王孝通的《缉古算术》(又叫《缉古算经》)是数学发展中的两个重大成就。
唐朝继承了隋朝的科举制度，在唐初的科举制度里，特设“明算”科，举行数学考试。国子监里也设立“算学”，教学生学习数学。李淳风等人选定数学课本时，认为《周髀》是一个最宝贵的数学遗产，将它作为“十部算经”的第一种书，并给它一个《周髀算经》的名称，第二部算经便是《九章算术》。其它八部算经是：《海岛算经》(公元3世纪，刘徽著)；《孙子算经》(约公元4～5世纪)；《夏候阳算经》(公元5世纪，夏候阳著，用乘除快算方法解日常生活中的应用题)；《张邱建算经》(公元5世纪，张邱建著)；《缀术》(公元5世纪，祖冲之著)；《五曹算经》、《五经算经》(公元6世纪，均为甄鸾著)；《缉古算经》(公元7世纪，王孝通著)。李淳风等人奉皇帝令于656年完成校注和编定“算经十书”。后来《缀术》失传，用2世纪徐岳著、6世纪甄鸾注的《数术记遗》代替。
在这个时期，中国数学在许多方面居于世界最前列。例如《九章算术》“方程”章中用到正数和负数，这是人类文明中最早出现的负量概念，比印度早700多年；关于多元联立一次方程的解法，已经类似于西方19世纪初期的方法了。在圆周率的计算方面，刘徽和祖冲之的工作是很突出的。祖冲之的计算得出3.1415926＜π＜3.1415927，使我国在这方面领先了1000年。祖搄关于两个几何体的体积相等的“祖搄原理”，比意大利卡瓦列利的相同原理早1200年。《孙子算经》中的“物不知数”的解法更比西方早1300年。
2、高潮时期
从756年至1600年(即从唐肃宗至德元年到明神宗万历二十八年)，计844年，中国数学的发展主流是计算技术的改进和宋元时期代数学的高度发展。主要数学家有贾宪、秦九韶、李冶、杨辉、郭守敬、朱世杰等。在这个时期，中国数学达到高潮，开辟了比过去广阔得多的领域，在方程论、初等数论、纵横图说、孤矢割圆术、级数论、面积体积计算、球面三角等方面均有硕果。解高次数字方程求根的近似值的方法，是最有代表性的中国数学贡献。
唐朝中叶的安史之乱虽然不久就被平定，但它对于唐朝的政治、经济、文化发生了巨大的影响，封建土地占有形式发生变化，手工业和商业获得一定程度的发展。工商业的发展促进了数学知识和计算技能的普及，劳动人民简化了筹算乘除的演算手续，减轻了数字计算的工作，现在有传本的《韩延算术》就是其中的一部。
唐末政治黑暗，人民陷于严重灾难中。农民起义和军阀混战促使唐朝灭亡，接着的五代十国仍是军阀混战的继续。宋朝统一中国，建立起一个高度集权的封建国家，对于安定社会秩序、发展经济，起了一定的积极作用。
北宋初100多年，农业生产力有了显著的提高，工商业有了显著的发展。当时的三大发明(火药、指南针、活字印刷术)就是在这种经济高涨的情形下，人民发挥巨大创造力的成果。原始火箭在宋代出现，到了元代己使用在军事上。由于生产和科学技术的发展，要求数学提供更为精确简便的计算方法，中国数学达到了同时代世界的最高水平。
11世纪以后，古典的和新著的数学书的印刷本在全国各地流通，促进了数学教育的普及和数学研究的进展。最早的教学书籍的版本出现在1084年(元丰七年)，秘书省校刻算经，中国印刷术有助于中国数学在末代第二次开花。
宋代大科学家沈括著《梦溪笔谈》(11世纪)，创“会圆术”(最早的由弦到矢的长度求弧长的近似计算公式)和“隙积木”(一种级数求和法)。
高次幂的概念虽然抽象，但它是有现实意义的。11世纪中，贾宪撰《黄帝九章算法细草》。杨辉的《详解九章算法》(1262年)讲到“贾宪三角”(“开方作法本源图”)。它是二项展开式系数表，比“帕斯卡三角”早四百多年。利用“贾宪三角”，贾宪开创任何高次幂的“增乘开方法”。13世纪中期，数学家们又用这个方法求任何数字高次方程的正根，很多有实际意义的应用问题就得到了解答。
根据实际问题中的已给条件，建立代数方程是一件困难的事情。北方的数学家们在13世纪发明了一个建立方程的新方法(后人称它为“天元术”)，对任何代数问题都可以迎刃而解。进一步的发展是联立多元高次方程的解法(后人称它为“四元术”)，当时用天元术成四元术解答应用问题的书很多，但现在有传本的只有李冶与朱世杰的著作。
李冶在1248年完成《测圆海镜》十二卷，涉及代数、几何等多方面。他的《益古演段》总结了当时数学发展的一些新成就。朱世杰的《算学启蒙》三卷(1299年)、《四元玉鉴》三卷(1303年)，对于高阶等差级数和“招差术”都有独到的研究，他的高阶等差级数求和法比西方早370多年。这一时期中国数学家在代数学方面取得了辉煌的成就，比欧洲人的代数学超前了几个世纪。
天文学的不断发展对数学提出了更高的要求，也促进了数学的发展。宋代最著名的是数学家秦九韶的《数书九章》十八卷(1247年)，总结了天文学家推算“上元积年”的经验。他的“正负开方术”解决了数字高次方程的求正根法，比西方早五百多年。他的“大衍求一术”解决解不定方程的问题，使一次同余式问题解法成为系统化的数学理论—“中国剩余定理”，比西方早五百多年。
元代郭守敬与王恂、许衡等人编制了《授时历》(1280年)，应用“招差术”发明三次函数的内插法。朱世杰又用“招差术”解决了高阶等差级数的求和问题。这正是数学发展必须理论联系实际的一个很好的证明。
从唐中叶到元末，600年中的实用算术，在改进数字计算方面有着显著的成就。在这个时期里，发展了10进小数概念，产生位值制数码，归除歌诀逐渐完备，发明了比算筹更便利的计算工具—珠算盘。明初到万历初年是明朝强大和稳固的时代，商业算术由于客观上的需要得到很快发展。具有代表性意义的是吴敬得《九章算法比类大全》，于1450年出版，在数字计算方面总结了宋元算术的成就。
16世纪中，有很多的商业算术书提倡用珠算盘计算。1592年，程大位撰《直指算法统宗》十七卷，集珠算之大成。此书流传最广，影响极大。到1698年又缩编为《算法纂要》四卷，珠算术从此在全国范围内广泛传播。珠算盘代替了筹算，直到现在还是数字计算的有效工具。
明朝为了加强培养封建国家的官僚，奴役人民思想，科举制度规定专取四书五经命题，用八股文程式考试，主观唯心主义的程朱理学盛行。数学尽管在商业算术方面有新的发展，但是前一时期在代数学方面的辉煌成就几乎被淹没。
3、融合时期
从1600年至1889年(即从明万历二十八年至清光绪十五年)，中国数学发展的主流是西洋数学的输入、古代数学的复兴与中西数学的融会贯通。
明代中叶以后，农业生产发展极慢，而手工业生产则发展较快。在江南地区的纺织业中，开始出现一些带有资本主义性质的生产关系的萌芽。王艮、李贽发表了一些民主性的理论，同唯心主义的道学进行了针锋相对的斗争。李时珍、徐光启、宋应星等人的科学著作反映了朴素的唯物主义思想。
16世纪末，西方天主教教士开始到中国进行活动，最早到中国内地的是意大利人利玛窦。他为了便于传教，学习了中国语言文字，参考儒家经籍，结交官僚地主阶级人士，宣扬西洋科学文化。几经周折后，于1600年见到万历皇密，得到国家供养，被批准自由传教。
利玛窦是德国数学大师克拉维特的弟子，带来了克拉维特所撰的几种数学讲义。他与徐光启合译了《几何原本》前六卷(1607年)，与李之藻合编了《同文算指》。在中国数学发展史上，这是西方数学传入中国时开始。回顾隋唐时期和元代，中国的数学水平比较高，而当时从印度或阿拉伯输入的数学水平比较低，因此没有受到重视。但是明末输入的西洋科学一般地说确有“他山之石可以攻玉”的好处，当时的中国学者就乐于接受了。
1634年，罗雅谷、邓玉函、汤若望等西洋人译成天文学参考书籍137卷，总名《祟帧历书》，其中有球面三角法、西洋筹算、比例规等数学书20卷。清代顺治中，波兰教士穆尼阁又介绍用对数解球面三角形的方法，薛风柞编中文译本《历学会通》。
在清代思想统治极其严历的环境下，有些地主阶级知识分子对传入的西洋数学颇感兴趣，研究有心得而著书传世的不少。梅文鼎以毕生精力专攻天文学和数学，他将西洋输入的新法尽量消化彻底理会，所撰书籍务在显明，不辞劳拙，使读者不待详求而义可晓，对清代中期数学研究的高潮有积极影响。
清康熙帝玄烨爱好科学研究。他于1689年特召法国教士张诚、白晋等进宫，传授西洋数学。张诚、白晋等将法文的几何学、代数学和算术译成中文。1712年康熙帝命梅彀成、陈厚耀、何国宗、明安图等为《律历渊源》汇编官，1721年完成《历象考成》42卷，《律吕正义》5卷，《数理精蕴》53卷，共100卷。《数理精蕴》对后一时期的数学发展有更大影响。
1723年(雍正元年)，清王朝认为西洋人来中国传教对封建统治不利，除在钦天监供职的外，传教的西方人都被驱逐到澳门，不许进入内地。从此以后100余年中，西方数学的传入暂告停止。
1773年(乾隆三十八年)，开始编辑《四库全书》。“算经十书”和宋元数学书有了很多的翻刻本，引起了研究古典数学的高潮。汪莱、李锐等钻研宋元数学家的高次方程解法，从而在方程论方面取得进展。李洪、沈钦裴、罗士琳等整理古典数学书，特别对《九章算术》、《海岛算经》、《缉古算术》、《四元玉鉴》四书，作出了注疏和解题详草。另一方面，明安图、董佑诚、项名达等先后相继深入研究三角函数和反三角函数的幂级数展开式而获得成就。戴熙、李善兰等又在对数函数、指数函数的幂级数方面作出贡献。
鸦片战争失败后，清朝统治阶级被迫放弃百余年以来的闭关政策。从此以后100年间，欧美殖民国家肄行经济掠夺和文化侵略，中国社会逐步论为半封建半殖民地社会。1850年以后，西洋资本主义国家的近代数学教科书被介绍进来了。李善兰与英人伟烈亚力合译《几何原本》后九卷、《代数学》、《代微积拾级》等书。华蘅芳与英人付兰雅合译《代数术》、《微积溯源》、《三角数理》、《决疑数学》等书。此后，中国古代的天元术和前一时期内的幂级数研究便无进一步发展的余地，传统数学的研究工作停滞不前。除了一些研究数学史的学者之外，中国古代数学便再也无人间津，中国数学走上了世界化的道路。
作为具有鲜明特色的中国数学，可以把《畴人传》的编撰看作最后一幕。1799年，阮元、李锐等完成《畴人传》49卷，记录自黄帝至明清的中国数学家270多人；1840年罗士琳《续瞒人传》6卷；1886年诸可宝《畴人传三编》7卷；1898年黄钟骏《畴人传四编》11卷，使得畴人传总计达70卷，60余万字，记录中国的数学家约400人，附录西洋人52人。
中国数学有悠悠4000多年的历史；约400位知名数学家；2500种左右数学著作(包括失传的在内)，流传下来的差不多有2100种。此外，在天文历法等方面的典籍中，也包含着某些高水平的数学成果。这是中华民族对人类的伟大贡献之一，值得我们炎黄子孙引以为荣。
二、数学传统最悠久的国家
中国数学一开始便注重实际应用，在实践中逐步完善和发展，形成了一套完全是自己独创的方式和方法。形数结合，以算为主，使用算器，建立一套算法体系是中国数学的显著特色；“寓理于算”和理论的高度精炼，是中国数学理论的重要特征。10进位位值制、甲子纪年法、规矩作图等有强大的生命力，经历三四千年沿用至今，充分说明了中国是数学传统最悠久的国家。
在中国数学的形成时期的第二阶段，中国与印度有着文化交流，中国古代的算术和代数学对印度数学有很大的影响。后者也偏重于量与数的计算方法，通过阿拉伯传到欧洲后，放出异常的光彩。西洋数学史家一般认为近代数学的产生应归功于印度数学的贡献，实际上中国古代数学的功绩是不可磨灭的。
在原始社会后期，我们的祖先就已经建立了10进制，至迟到春秋战国之际，在计算中又普遍使用了算筹。在数学上，仅就发明完善的10进位位值制这一记数法来说，中国对人类文化已经做出了非常重大的贡献，可以与“四大发明”相媲美。马克思称10进位位值记数法为“最妙的发明之一”，李约瑟在《中国科学技术史》中说：“奇怪的是，忠实于表意原则而不使用字母的文化，反而发展了现代人类普遍使用的10进位的最早形式，如果没有这种10进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了”。
有史可考的确凿证据是，公元前14世纪的殷代甲骨文卜辞中的很多记数的文字。大于10的自然数都用10进位制，没有例外。殷人向后世人一样，用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万13个单字记10万以内的任何自然数。例如记2656作“二千六百五十六”，只是记数文字的形体和后世的文字有所不同。也用合文，但字形同甲骨文不一样。
用算筹来记数和作四则运算，很可能在西周时期(公元前11世纪到公元前8世纪)已经开始了。由于社会生产力的不断提高，劳动人民创造了便于计算的工具。算筹是为了进行繁杂的数字计算工作而创造出来的，它不可能是原始公社时期里(例如传说中的黄帝时代)的产物。
算筹一般是由竹制成的签子。秦以前算筹的粗细、长短因史科缺乏，现在无法考证。公元1世纪时，汉代的算筹长合13.8厘米，径合0.69厘米；公元7世纪时，隋代的算筹长约合8.85厘米，广约合0.59厘米。可见计算用的算筹渐渐改得短小，运用起来比较方便。
古代算筹的功用大致和后世的算盘珠相仿。5以下的数目，用几根筹表示几；6、7、8、9四个数目，用一根筹放在上面表示五，余下来的数，每一根筹表示一。表示数目的算筹有纵横两种方式，表示一个多位数就象现在用数码记数一样，把各位的数目从左到右横列，但各位数目的等式须要纵横相间。个位数用纵式表示，十位数用横式表示，百位、万位用纵式，千位、十万位用横式。算筹记数的纵横相间制传到宋元时期没有改变。
算筹记数确实能够实行位值制记数法，为加、减、乘、除等的运算建立起良好的条件。优越的10进位位值制记数法和当时较为先进的筹算制，使中国数学在计算方面取得了一系列辉煌的成就：公元前3世纪～公元3世纪(秦汉时)的分数四则运算，比例算法，开平方与开立方，盈不足术，“方程”解法，正负数运算法则；5世纪的孙子剩余定理，祖冲之圆周率的测算；7世纪的3次方程数值解法，7～8世纪的内插法；11～14世纪的高次方程数值解法，贾宪三角，高次方程组的解法，大衍求一术，高阶等差级数求和；13世纪以后的珠算，等等。
中国古代数学称为“算术”，其原始意义是运用算筹的技术。这个名称恰当地概括了中国数学的传统。筹算不只限于简单的数值计算，后来方程所列筹式描述了比例问题和线性问题；天元、四元所列筹式刻画了高次方程问题。等式本身就具有代数符号的性质。
对于中国数学中的程序化计算，最近越来越多地引起了国内外有关专学的兴趣和注意。有人形象地把算筹比喻为计算机的硬件，而表示算法的“术文”则是软件。可见中国数学传统活力源远流长。
下面再和几个文明古国作一对比，以开阔眼界。
古代埃及人虽然己采用了10进位制的数学符号，可是他们缺乏位值制的概念，不知道重复用最初的九个数字加上位值成分来构成更高的位数。他们对所有的数字，都是按顺序重复写出每位数的基本符号(即用累积法)；古巴比伦人主要采用60进位制；古希腊人用24个希腊字母加上3个外来字母来记数，十分落后；古罗马人采用10进位制和5进位制相结合的符号系统，计算起来繁琐而困难；古印度人在3世纪以前使用的记数法与希腊式和罗马式相类似，都不是位值创。直到6世纪末，印度才真正开始使用10进位位值记数法，7世纪开始传入阿拉伯国家。
零号“0”最早出现于683年中、印文化区交界处的记有年代的碑文中。中国古代原习惯用“口”形表示脱落文字，记数时就用“口”表示空位，后来为了书写方便把“口”形改为“0”形，这是很自然的发展趋势。在数学上，从无开始记数，“0”这个符号使整个世界为之改观。
8世纪，阿拉伯人入侵西班牙，开始把印度—阿拉伯数码传到欧洲。现在使用的最完美的印度—阿拉伯记数法，是印度人首先创造的，但是它明显地有着中国古代的影响.
三、数学教育开始最早的国家
我国从原始公社制末期到奴隶制社会初期，已经逐岁建立起专门的教育机构——学校。据古籍记载：唐虞以前的五帝时代已有大学，名叫“成均”；虞舜时代的学校已有大学、小学之分，名叫“上库”“下库”；奴隶制社会夏朝的学校称为“东序”、“西序”。据古籍记载和殷墟甲骨文考证，商朝已有较完备的学校教育，学校叫“右学”、“左学”，但学校教育的内容仍与当时的政治、军事、宗教等活动结合在一起，一般文化教育只有初步分化出来的趋势。
根据古籍记载和铭器全文参证，到西周时期学校教育己集虞、夏、商三代之大成，形成比较完善的教育制度。学校大致可分为“国学”与“乡学”两种系统，学制小学约为7年，大学约为9年，两类学校的教师和教学科目按规定有些不同。西周学校的特点是政教一体，官师合一，学在官府。因为唯官有书、唯官有器，所以就官而学。教育以“明人伦”为其核心，包括德、行、艺、仪四个方面，而以五礼、六乐、五射、五御、六书、九数等六艺为基本内容。
由此可见，西周已注重数学教育，数学已成为“国子”的必修课程之一。(“九数”即方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股)。相传周公制礼(相当于现在的宪法)《周官、保氏(负责教育的官员)》上说：“救国子以六艺，一曰礼，二曰乐，三曰射，四曰御，五曰书，六曰数”。可见我国数学教育至少开始于3000多年以前。在世界上，我国是数学教育开始最早的国家，有可能媲美的也许只有古埃及和巴比伦。
到了隋唐王朝，数学教育又有了新的进步。《隋书、百官志》记载：“国子寺祭酒(国立大学校长)……统国子、太学、四门、书(学)、算学，各置博士、助教、学生等员”。“算学”相当于现在大学中的数学系，这个学系的成员是博士2人、助教2人，学生80人。
唐初国子监内没有设立“算学”，656年(显庆元年)始添设算学馆，这样国子监内就有了国子、太学、四门、律学、书学、算学六个学馆。唐《六典》卷二十一记载“算学博士掌教文武官八品以下及庶人子之为生者。二分其经以为之业，习九章、海岛、孙子、五曹、张邱建、夏候阳、周髀、五经算十有五人，习缀术、缉古十有五人，其记遗、三等数亦兼习之。孙子、五曹共限一年业成，九章、海岛共三年，张邱建、夏候阳各一年，周髀、五经算共一年，缀术四年，缉古三年”。658年废去算术馆，博士以下人员并入太史局。662年又在国子监内添设“算学”，但学生名额由30人减为10人。
李淳风明天文、历算、阴阳之学，是唐高宗朝官太史令，受诏与国子监算学博士粱述、太学助教王真儒等校注和编定《周髀》、《九章》等十部算经，定出学习年限，安排每月考试。书成，高宗令国学行用。这是656年以前的事，现在有传本的算经十书每卷的第1页上都题：“唐朝议大夫、行太史令，上轻车都尉臣李淳风等奉效法释”。李淳风还撰写过《九章算经要诀》一卷。
据史书载，日本在公元701～703年开始确立了类似我国的数学教育制度。朝鲜在公元918～1392年(王氏高丽王朝)也仿照我国设立学校的算学馆，采用唐、宋编定的《算经十书》作教材，连教授和考试的方法也相同。
隋唐王朝于国子监中设立“算学”，是五世纪以后数学获得高度发展的反映。但是在专制政权之下，数学教学是不被重视的。国子博士的官阶是正五品上，算学博士的官阶是从九品下(官阶中最低的一级)。算学学生学习“十部算经”年数过多，教学效率不高。明其科及第的出身既然很差，应试的人就不多。大概到晚唐时期，明算科考试早已停止了。
我国古代不少数学家对数学教育做出了贡献。宋元时代的朱世杰堪称中世纪世界最伟大的数学家。他曾周游五湖四海20多年，长期靠教授数学为业。祖颐为他的著作写序说：“周流四方，复游广陵(扬州)，踵门而学者云集”。可见他教授数学时的情景，真是盛况空前。他的《算学启蒙》(1299年)和《四元玉鉴》(1303年)是我国古代数学发展史的重要里程碑。他把天元术推广发展为四元术，并提出消元解法，比国外约领先500年。在高次数字方程上的辉煌成就，一直被称为最有代表性的中国数学贡献。
1487年开始，明、清推行八股文科举考试制度，这对数学教育起了很坏的作用，也是使中国本土数学走向低潮的重要原因之一。1850年以后，西洋资本主义国家的近代数学教科书被介绍进来了，中国的数学教育逐渐走上了世界化的道路。
总而言之，中因数学在数学教育方面开始很早，而且独具特色。第一个特色是数学教育始终置于政府的控制之下，远在周代，数学就作为“六艺”之一，列入贵族子弟教育的内容。唐代中期以后，“十部算经”由国家颁布用于国子监，并作为科举考试所依据的经典。数学典籍的编纂、增修和注释一般是在政府官员的主持下进行的。这种实施数学教育的做法，在世界史上是少见的，这无疑对社会进步和科学技术发展都产生了积极的影响。第二个特色是带有技术教育的性质，官办数学教育的目的是为政府培养专业计算人员。
中国古代的数学著作大多数是为了指导实践，必然考虑到如何便于教给人们掌握，较为注重由浅入深，举一反三，都可以作为数学教材。例如，刘徽注《九章算术》流传开后，两晋南北朝数学有了明显的进步。当然，在封建专制制度之下，数学教育的效率并不高，甚至到后来竟然被废除了，这些历史的经验教训都值得我们研究、借鉴。
第三章 三大核心领域
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体说来，数学中研究数的部分属于代数学的范畴；研究形的部分，属于几何学的范筹；沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的范围。这三大类数学构成了整个数学的本体与核心。在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科和交叉学科。本章简要介绍数学三大核心领域中十几门主要分支学科的有关历史发展情况。
一、代数学范畴
1、算术
算术有两种含义，一种是从中国传下来的，相当于一般所说的“数学”，如《九章算术》等。另一种是从欧洲数学翻译过来的，源自希腊语，有“计算技术”之意。现在一般所说的“算术”，往往指自然数的四则运算；如果是在高等数学中，则有“数论”的含义。作为现代小学课程内容的算术，主要讲的是自然数、正分数以及它们的四则运算，并通过由计数和度量而引起的一些最简单的应用题加以巩固。
算术是数学中最古老的一个分支，它的一些结论是在长达数千年的时间里，缓慢而逐渐地建立起来的。它们反映了在许多世纪中积累起来，并不断凝固在人们意识中的经验。
自然数是在对于对象的有限集合进行计算的过程中，产生的抽象概念。日常生活中要求人们不仅要计算单个的对象，还要计算各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的量度需要，就要用到分数。
现代初等算术运算方法的发展，起源于印度，时间可能在10世纪或11世纪。它后来被阿拉伯人采用，之后传到西欧。15世纪，它被改造成现在的形式。在印度算术的后面，明显地存在着我国古代的影响。
19世纪中叶，格拉斯曼第一次成功地挑选出一个基本公理体系，来定义加法与乘法运算；而算术的其它命题，可以作为逻辑的结果，从这一体系中被推导出来。后来，皮亚诺进一步完善了格拉斯曼的体系。
算术的基本概念和逻辑推论法则，以人类的实践活动为基础，深刻地反映了世界的客观规律性。尽管它是高度抽象的，但由于它概括的原始材料是如此广泛，因此我们几乎离不开它。同时，它又构成了数学其它分支的最坚实的基础。
2、初等代数
作为中学数学课程主要内容的初等代数，其中心内容是方程理论。代数一词的拉丁文原意是“归位”。代数方程理论在初等代数中是由一元一次方程向两个方面扩展的：其一是增加未知数的个数，考察由有几个未知数的若干个方程所构成的二元或三元方程组(主要是一次方程组)；其二是增高未知量的次数，考察一元二次方程或准二次方程。初等代数的主要内容在16世纪便已基本上发展完备了。
古巴比伦(公元前19世纪～前17世纪)解决了一次和二次方程问题，欧几里得的《原本》(公元前4世纪)中就有用几何形式解二次方程的方法。我国的《九章算术》(公元1世纪)中有三次方程和一次联立方程组的解法，并运用了负数。3世纪的丢番图用有理数求一次、二次不定方程的解。13世纪我国出现的天元术(李冶《测圆海镜》)是有关一元高次方程的数值解法。16世纪意大利数学家发现了三次和四次方程的解法。
代数学符号发展的历史，可分为三个阶段。第一个阶段为三世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写成一篇论文，称为文字叙述代数。第二个阶段为三世纪至16世纪，对某些较常出现的量和运算采用了缩写的方法，称为简化代数。三世纪的丢番图的杰出贡献之一，就是把希腊代数学简化，开创了简化代数。然而此后文字叙述代数，在除了印度以外的世界其它地方，还十分普通地存在了好几百年，尤其在西欧一直到15世纪。第三个阶段为16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。16世纪韦达的名著《分析方法入门》，对符号代数的发展有不少贡献。16世纪末，维叶特开创符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的形式。
“＋”、“－”号第一次在数学书中出现，是1489年魏德曼的著作。不过正式为大家所公认，作为加、减法运算的符号，那是从1514年由荷伊克开始的。1540年，雷科德开始使用现在使用“＝”。到1591年，韦达在著作中大量使用后，才逐渐为人们所接受。1600年哈里奥特创用大于号“＞”和小于号“＜”。1631年，奥屈特给出“×”、“÷”作为乘除运算符。1637年，笛卡尔第一次使用了根号，并引进用字母表中头前的字母表示已知数、后面的字母表示未知数的习惯做法。至于“≮”、“≯”、“≠”这三个符号的出现，那是近代的事了。
数的概念的拓广，在历史上并不全是由解代数方程所引起的，但习惯上仍把它放在初等代数里，以求与这门课程的安排相一致。公元前4世纪，古希腊人发现无理数。公元前2世纪(西汉时期)，我国开始应用负数。1545年，意大利的卡尔达诺开始使用虚数。1614年，英国的耐普尔发明对数。17世纪末，一般的实数指数概念才逐步形成。
3、高等代数
在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；而—、二次方程发展成为多项式理论。前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研究只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科。作为大学课程的高等代数，只研究它们的基础。
1683年关孝和(日本人)最早引入行列式概念。关于行列式理论最系统的论述，则是雅可比1841年的《论行列式的形成与性质》一书。在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念；而在历史上，次序正相反。凯雷在1855年引入了矩阵的概念，在1858年发表了关于这个课题的第一篇重要文章《矩阵论的研究报告》。
19世纪，行列式和矩阵受到人们极大的关注，出现了千余篇关于这两个课题的文章。但是，它们在数学上并不是大的改革，而是速记的一种表达式。不过已经证明它们是高度有用的工具。
多项式代数的研究始于对3、4次方程求根公式的探索。1515年，菲洛解决了被简化为缺2次项的3次方程的求解问题。1540年，费尔拉里成功地发现了一般4次方程的代数解法。人们继续寻求5次、6次或更高次方程的求根公式，但这些努力在200多年中付诸东流。
1746年，达朗贝尔首先给出了“代数学基本定理”的证明(有不完善之处)。这个定理断言：每一个实系数或复系数的n次代数方程，至少有一个实根或复根。因此，一般地说，n次代数方程应当有n个根。1799年，22岁的高斯在写博士论文中，给出了这个定理的第一个严格的证明。1824年，22岁的阿贝尔证明了：高于4次的一般方程的全部系数组成的根式，不可能是它的根。1828年，年仅17岁的伽罗华创立了“伽罗华理论”，包含了方程能用根号解出的充分必要条件。
4、数论
以正整数作为研究对象的数论，可以看作是算术的一部分，但它不是以运算的观点，而是以数的结构的观点，即一个数可用性质较简单的其它数来表达的观点来研究数的。因此可以说，数论是研究由整数按一定形式构成的数系的科学。
早在公元前3世纪，欧几里得的《原本》讨论了整数的一些性质。他证明素数的个数是无穷的，他还给出了求两个数的公约数的辗转相除法。这与我国《九章算术》中的“更相减损法”是相同的。埃拉托色尼则给出了寻找不大于给定的自然数N的全部素数的“筛法”：在写出从1到N的全部整数的纸草上，依次挖去2、3、5、7……的倍数(各自的2倍，3倍，……)以及1，在这筛子般的纸草上留下的便全是素数了。
当两个整数之差能被正整数m除尽时，便称这两个数对于“模”m同余。我国《孙子算经》(公元4世纪)中计算一次同余式组的“求一术”，有“中国剩余定理”之称。13世纪，秦九韶已建立了比较完整的同余式理论——“大衍求一术”，这是数论研究的内容之一。
丢番图的《算术》中给出了求x?＋y?＝z?所有整数解的方法。费尔马指出x^n＋y^n＝z^n在n＞3时无整数解，对于该问题的研究产生了19世纪的数论。之后高斯的《数论研究》(1801年)形成了系统的数论。
数论的古典内容基本上不借助于其它数学分支的方法，称为初等数论。17世纪中叶以后，曾受数论影响而发展起来的代数、几何、分析、概率等数学分支，又反过来促进了数论的发展，出现了代数数论(研究整系数多项式的根—“代数数”)、几何数论(研究直线坐标系中坐标均为整数的全部“整点”—“空间格网”)。19世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。二十世纪出现了完备的数论理论。
5、抽象代数
1843年，哈密顿发明了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。第二年，格拉斯曼推演出更有一般性的几类代数。1857年，凯雷设计出另一种不可交换的代数——矩阵代数。他们的研究打开了抽象代数(也叫近世代数)的大门。实际上，减弱或删去普通代数的某些假定，或将某些假定代之以别的假定(与其余假定是相容的)，就能研究出许多种代数体系。
1870年，克隆尼克给出了有限阿贝尔群的抽象定义；狄德金开始使用“体”的说法，并研究了代数体；1893年，韦伯定义了抽象的体；1910年，施坦尼茨展开了体的一般抽象理论；狄德金和克隆尼克创立了环论；1910年，施坦尼茨总结了包括群、代数、域等在内的代数体系的研究，开创了抽象代数学。
1926年，诺特完成了理想(数)理论；1930年，毕尔霍夫建立格论，它源于1847年的布尔代数；第二次世界大战后，出现了各种代数系统的理论和布尔巴基学派；1955年，嘉当、格洛辛狄克和爱伦伯克建立了同调代数理论。
到现在为止，数学家们已经研究过200多种这样的代数结构，其中最主要德若当代数和李代数是不服从结合律的代数的例子。这些工作的绝大部分属于20世纪，它们使一般化和抽象化的思想在现代数学中得到了充分的反映。
抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。典型的代数系统有群、环、域等，它们主要起源于19世纪的群论，包含有群论、环论、伽罗华理论、格论、线性代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成了当代大部分数学的通用语言。
现在，可以笼统地把代数学解释为关于字母计算的学说，但字母的含义是在不断地拓广的。在初等代数中，字母表示数；而在高等代数和抽象代数中，字母则表示向量(或n元有序数组)、矩阵、张量、旋量、超复数等各种形式的量。可以说，代数已经发展成为一门关于形式运算的一般学说了。
第三章：三大核心领域
二、几何学范畴
1、初等几何
在希腊语中，“几何学”是由“地”与“测量”合并而来的，本来有测量土地的含义，意译就是“测地术”。“几何学”这个名词，系我国明代数学家根据读音译出的，沿用至今。
现在的初等几何主要是指欧几里得几何，它是讨论图形(点、线、面、角、圆等)在运动下的不变性质的科学。例如，欧氏几何中的两点之间的距离，两条直线相交的交角大小，半径是r的某一圆的面积等都是一些运动不变量。
初等几何作为一门课程来讲，安排在初等代数之后；然而在历史上，几何学的发展曾优先于代数学，它主要被认为是古希腊人的贡献。
几何学舍弃了物质所有的其它性质，只保留了空间形式和关系作为自己研究的对象，因此它是抽象的。这种抽象决定了几何的思维方法，就是必须用推理的方法，从一些结论导出另一些新结论。定理是用演绎的方式来证明的，这种论证几何学的代表作，便是公元前三世纪欧几里得的《原本》，它从定义与公理出发，演绎出各种几何定理。
现在中学《平面三角》中关于三角函数的理论是15世纪才发展完善起来的，但是它的一些最基本的概念，却早在古代研究直角三角形时便己形成。因此，可把三角学划在初等几何这一标题下。
古代埃及、巴比伦、中国、希腊都研究过有关球面三角的知识。公元前2世纪，希帕恰斯制作了弦表，可以说是三角的创始人。后来印度人制作了正弦表；阿拉伯的阿尔·巴塔尼用计算sinθ值的方法来解方程，他还与阿布尔·沃法共同导出了正切、余切、正割、余割的概念；赖蒂库斯作了较精确的正弦表，并把三角函数与圆弧联系起来。
由于直角三角形是最简单的直线形，又具有很重要的实用价值，所以各文明古国都极重视它的研究。我国《周髀算经》一开始就记载了周朝初年(约公元前1100年左右)的周公与学者商高的对话，其中就谈到“勾三股四弦五”，即勾股定理的特殊形式；还记载了在周公之后的陈子，曾用勾股定理和相似图形的比例关系，推算过地球与太阳的距离和太阳的直径，同时为勾股定理作的图注达几十种之多。在国外，传统称勾股定理为毕达哥拉斯定理，认为它的第一个一致性的证明源于毕氏学派(公元前6世纪)，虽然巴比伦人在此以前1000多年就发现了这个定理。到现在人们对勾股定理已经至少提供了370种证明。
19世纪以来，人们对于关于三角形和圆的初等综合几何，又进行了深入的研究。至今这一研究领域仍然没有到头，不少资料已引申到四面体及伴随的点、线、面、球。
2、射影几何
射影几何学是一门讨论在把点射影到直线或平面上的时候，图形的不变性质的一门几何学。幻灯片上的点、线，经过幻灯机的照射投影，在银幕上的图画中都有相对应的点线，这样一组图形经过有限次透视以后，变成另一组图形，这在数学上就叫做射影对应。射影几何学在航空、摄影和测量等方面都有广泛的应用。
射影几何是迪沙格和帕斯卡在1639年开辟的。迪沙格发表了—本关于圆维曲线的很有独创性的小册子，从开普勒的连续性原理开始，导出了许多关于对合、调和变程、透射、极轴、极点以及透视的基本原理，这些课题是今天学习射影几何这门课程的人所熟悉的。年仅16岁的帕斯卡得出了一些新的、深奥的定理，并于9年后写了一份内容很丰富的手稿。18世纪后期，蒙日提出了二维平面上的适当投影表达三维对象的方法，因而从提供的数据能快速算出炮兵阵地的位置，避开了冗长的、麻烦的算术运算。
射影几何真正独立的研究是由彭赛勒开创的。1822年，他发表了《论图形的射影性质》一文，给该领域的研究以巨大的推动作用。他的许多概念被斯坦纳进一步发展。1847年，斯陶特发表了《位置几何学》一书，使射影几何最终从测量基础中解脱出来。
后来证明，采用度量适当的射影定义，能在射影几何的范围内研究度量几何学。将一个不变二次曲线添加到平面上的射影几何中，就能得到传统的非欧几何学。在19世纪晚期和20世纪初期，对射影几何学作了多种公设处理，并且有限射影几何也被发现。事实证明，逐渐地增添和改变公设，就能从射影几何过渡到欧几里得几何，其间经历了许多其它重要的几何学。
3、解析几何
解析几何即坐标几何，包括平面解析几何和立体解析几何两部分。解析几何通过平面直角坐标系和空间直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，从而建立起曲线或曲面与方程之间的一一对应关系，因而就能用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。
在初等数学中，几何与代数是彼此独立的两个分支；在方法上，它们也基本是互不相关的。解析几何的建立，不仅由于在内容上引入了变量的研究而开创了变量数学，而且在方法上也使几何方法与代数方法结合起来。
在迪沙格和帕斯卡开辟了射影几何的同时，笛卡儿和费尔马开始构思现代解析几何的概念。这两项研究之间存在一个根本区别：前者是几何学的一个分支，后者是几何学的一种方法。
1637年，笛卡儿发表了《方法论》及其三个附录，他对解析几何的贡献，就在第三个附录《几何学》中，他提出了几种由机械运动生成的新曲线。在《平面和立体轨迹导论》中，费尔马解析地定义了许多新的曲线。在很大程度上，笛卡儿从轨迹开始，然后求它的方程；费尔马则从方程出发，然后来研究轨迹。这正是解析几何基本原则的两个相反的方面，“解析几何”的名称是以后才定下来的。
这门课程达到现在课本中熟悉的形式，是100多年以后的事。象今天这样使用坐标、横坐标、纵坐标这几个术语，是莱布尼兹于1692年提出的。1733年，年仅18岁的克雷洛出版了《关于双重曲率曲线的研究》一书，这是最早的一部空间解析几何著作。1748年，欧拉写的《无穷分析概要》，可以说是符合现代意义的第一部解析几何学教程。1788年，拉格朗日开始研究有向线段的理论。1844年，格拉斯曼提出了多维空间的概念，并引入向量的记号。于是多维解析几何出现了。
解析几何在近代的发展，产生了无穷维解析几何和代数几何等一些分支。普通解析几何只不过是代数几何的一部分，而代数几何的发展同抽象代数有着密切的联系。
4、非欧几何
非欧几何有三种不同的含义：狭义的，单指罗氏(罗巴切夫斯基)几何；广义的，泛指一切和欧氏(欧几里得)几何不同的几何；通常意义的，指罗氏几何和黎曼几何。
欧几里得的第5公设(平行公设)在数学史上占有特殊的地位，它与前4条公设相比，性质显得太复杂了。它在《原本》中第一次应用是在证明第29个定理时，而且此后似乎总是尽量避免使用它。因此人们怀疑第五公设的公理地位，并探索用其它公理来证明它，以使它变为一条定理。在三千多年的时间中，进行这种探索并有案可查的就达两千人以上，其中包括许多知名的数学家，但他们都失败了。
罗巴契夫斯基于1826年，鲍耶于1832年发表了划时代的研究结果，开创了非欧几何。在这种几何中，他们假设“过不在已知直线上的一点，可以引至少两条直线平行于已知直线”，用以代替第五公设，同时保留了欧氏几何的其它公设。
1854年，黎曼推出了另一种非欧几何。在这种几何中，他假设“过已知直线外一点，没有和已知直线平行的直线可引”，用以代替第5公设，同时保留了欧氏几何的其它公设。1871年，克莱因把这3种几何：罗巴契夫斯基—鲍耶的、欧几里得的和黎曼的分别定名为双曲几何、抛物几何和椭圆几何。
非欧几何的发现不仅最终解决了平行公设的问题——平行公设被证明是独立于欧氏几何的其它公设的，而且把几何学从其传统模型中解放出来，创造了许多不同体系的几何的道路被打开了。
1854年，黎曼发表了“关于作为几何学基础的假设的讲演”。他指出：每种不同的(两个无限靠近的点的)距离公式决定了最终产生的空间和几何的性质。1872年，克莱因建立了各种几何系统按照不同变换群不变量的分类方法。
19世纪以后，几何空间概念发展的另一方向，是按照所研究流形的微分几何原则的分类，每一种几何都对应着一种定理系统。1899年，希尔伯特发表了《几何基础》一书，提出了完备的几何公理体系，建立了欧氏几何的严密的基础，并给出了证明一个公理体系的相容性(无矛盾性)、独立性和完备性的普遍原则。按照他的观点，不同的几何空间乃是从属于不同几何公理要求的元素集合。欧氏几何和非欧几何，在大量的几何系统中，只不过是极其特殊的情形罢了。
5、拓扑学
1736年，欧拉发表论文，讨论哥尼斯堡七桥问题。他还提出球面三角形剖分图形顶点、边、面之间关系的欧拉公式，这可以说是拓扑学的开端。
庞加莱于1895～1904年建立了拓扑学，采用代数组合的方法研究拓扑性质。他把欧拉公式推广为欧拉—庞加莱公式，与此有关的理论现在称为同调理论和同伦理论。以后的拓扑学主要按照庞加莱的设想发展。
拓扑学开始是几何学的一个分支，在二十世纪它得到了极大的推广。1906年，弗雷歇发表博士论文，把函数作为一个“点”来看，把函数收敛描绘成点的收敛，这就把康托的点集论和分析学的抽象化联系起来了。他在函数所构成的集合中引入距离的概念，构成距离空间，展开了线性距离空间的理论。在这个基础上，产生了点集拓扑学。在豪斯道夫的《点集论纲要》一书中，出现了更一般的点集拓扑学的完整想法。第二次世界大战后，把分析引进拓扑，发展了微分拓扑。
现在的拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。任何事物的集合都能在某种意义上构成拓扑空间，拓扑学的概念和理论已基本完组成为数学的基础理论之一，渗入到各个分支，并且成功地应用于电磁学和物理学的研究。
三、分析学范畴
1、微积分
微积分学是微分学和积分学的统称，它是研究函数的导数、积分的性质和应用的一门数学分支学科。
微积分的出现具有划时代意义，时至今日，它不仅成了学习高等数学各个分支必不可少的基础，而且是学习近代任何一门自然科学和工程技术的必备工具。现在的微积分学的教程，通常的讲授次序是先极限、再微分、后积分，这与历史顺序正好相反。
在微积分历史中，最初的问题是涉及计算面积、体积和弧长的。阿基米得(公元前3世纪)的方法最接近于现行的积分法。在17世纪探索微积分的至少有十几位大数学家和几十位小数学家。牛顿和莱布尼茨分别进行了创造性的工作，各自独立地跑完了“微积分这场接力赛的最后一棒”。
1609年，开普勒为了计算行星运动第二定律中包含的面积，和在他的论文中讨论的酒桶的体积，而借助了某种积分方法。1635年，卡瓦列利发表了一篇阐述不可分元法的论文，提出卡瓦列利原理，它是计算面积和体积的有价值的工具。1650年，沃利斯把卡瓦列利的方法系统化，并作了推广。
微分起源于作曲线的切线和求函数的极大值或极小值问题。虽然可以追溯到古希腊，但是第一个真正值得注意的先驱工作，是费尔马1629年陈述的概念。1669年，巴罗对微分理论作出了重要的贡献，他用了微分三角形，很接近现代微分法。一般认为，他是充分地认识到微分法为积分法的逆运算的第一个人。
至此，还有什么要做的呢？首要的是，创造一般的符号和一整套形式的解析规则，形成可以应用的微积分学，这项工作是由牛顿和莱布尼兹彼此独立地做出的。接着的工作是在可接受的严格的基础上，重新推导基本理论，这必须等到此课题想到多方面应用之后。柯西和他的后继者们完成了这一工作。
牛顿早在1665年才23岁时，就创造了流数法(微分学)，并发展到能求曲线上任意一点的切线和曲率半径。他的《流数法》写于1671年，但直到死后9年的1736年才发表。牛顿考虑了两种类型的问题，等价于现在的微分和解微分方程。他定义了流数(导数)、极大值、极小值、曲线的切线、曲率、拐点、凸性和凹性，并把它的理论应用于许多求积问题和曲线的求长问题。
牛顿创立的微积分原理是同他的力学研究分不开的，他借此发现、并研究了力学三大定律和万有引力定律，1687年出版了名著《自然哲学的数学原理》。这本书是研究天体力学的，包括了微积分的一些基本概念和原理。
莱布尼茨是在1673年到1676年之间，从几何学观点上独立发现微积分的。1676年，他第一次用长写字母∫表示积分符号，象今天这样写微分和微商。1684年～1686年，他发表了一系列微积分著作，力图找到普遍的方法来解决问题。今天课本中的许多微分的基本原则就是他推导出来的，如求两个函数乘积的n阶导数的法则，现在仍称作菜布尼兹法则。莱布尼兹的另一最大功绩是创造了反映事物本质的数字符号，数学分析中的基本概念的记号，例如微分dx，二级微分dx?，积分∫ydx，导数dy/dx等都是他提出来的，并且沿用至今，非常方便。
牛顿与莱布尼茨的创造性工作有很大的不同。主要差别是牛顿把x和y的无穷小增量作为求导数的手段，当增量越来越小的时候，导数实际上就是增量比的极限，而莱布尼兹却直接用x和y的无穷小增量(就是微分)求出它们之间的关系。
这个差别反映了他们研究方向的不同，在牛顿的物理学方向中，速度之类是中心概念；而在莱布尼兹的几何学方向中，却着眼于面积体积的计算。其它差别是，牛顿自由地用级数表示函数，采用经验的、具体和谨慎的工作方式，认为用什么记号无关紧要；而莱布尼兹则宁愿用有限的形式来表示函数，采用富于想象的、喜欢推广的、大胆的工作方式，花费很多时间来选择富有提示性的符号。
到1700年，现在大学且学习的大部分微积分内容已经建立起来。第一部微积分课本出版于1696年，是洛比达写的。1769年，欧拉论述了二重积分。1773年，拉格朗日考察了三重积分。1837年，波尔查诺给出了级数的现代定义。19世纪分析学的严谨化，是由柯西奠基的。现在课本中的极限、连续性定义、把导数看作差商的极限、把定积分看做和的权限等等，实质上都是柯西给出的。进一步完成这一工作的是威尔斯特拉斯，他给出了现在使用的精确的极限定义，并同狄德金、康托于19世纪70年代建立了严格的实数理论，使微积分有了坚固可靠的逻辑基础。
2、微分方程
凡是表示未知函数和未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。如果未知函数是一元函数，则称为常微分方程，如果未知函数是多元函数，则称为偏微分方积。微分方程的基本问题是在一定条件下，从所给出的微分方程解出未知函数。
微分方程几乎是与微积分同时发展起来的，由于它与力学、物理学的渊源很深，所以在13世纪便已自成一门独立的学科了。两个多世纪来，这一学科已发展得相当完善。
1676年，莱布尼兹在致牛顿的信中，首先提出了“微分方程”这个名称。在他们两人的著作中，都包含了许多微分方程的实例。早期的研究侧重于探讨各类一阶方程的解法，并由此导致了方程的分类。18世纪，欧拉解决了全微分方程和“欧拉方程”(一类高阶变系数线性微分方程)，提出了通解和特解的概念，指出了n阶线性方程通解的结构。其后，泰勒得到了方程的奇解；拉格朗日推导了非齐次线性方程的常数交易法。
对于微分方程组的研究，始于达朗贝尔。19世纪前半叶，柯西开始研究解的存在性和唯一性。19世纪后半叶，数学家们开始利用群论来研究微分方程，由此建立连续群和李群的新理论。庞加莱引入了极限环的概念，李雅普诺夫引入了微分方程组解的稳定性概念。他们的方法都不必直接求解，称为定性理论。1927年，毕尔霍夫建立了“动力系统”的一段定性理论。
一阶偏微分方程的研究首先是从几何学问题开始的。拉格朗日指出，解一阶线性偏微分方程的技巧，在于把它们化为常微分方程。一阶非线性偏微分方程的研究，始于欧拉和拉格朗日，蒙日为偏微分方程的几何理论奠定了基础。到18世纪末叶，在引入奇解、通解、全积分、通积分、特积分等概念之后，偏微分方程已形成一门独立的学科。
二阶偏微分方程的研究，始于18世纪的弦振动理论。通常见的二阶偏微分方程均来自物理或力学的实际问题，它们构成了这门学科中一个独立的系统—数学物理方程。
积分方程源于阿贝尔1826年的工作，但是直到1888年杜·波阿·雷蒙的著作中，才正式提出了积分方程这个名词。1896年开始，伏特拉给出了两类积分方程的一般理论；不久，弗雷德荷姆大体上完成了一类重要的线性积分方程理论。由于这类积分方程常出现在一些物理问题中，因此积分方程论常被包含在数学物理方程内。
现代科学技术，如空间技术、现代物理学、力学等，都有许多问题需要用微分方程来求解，甚至在化学、生物学、医药学、经济学等方面，微分方程的应用也越来越多。
3、微分几何
微分几何这门分支学科主要研究三维欧氏空间中曲线和曲面的内在性质，所谓内在性质就是同几何对象在空间中的位置无关的性质。它以微积分、微分方程这些分支学科的理论为研究工具。或简单地说，微分几何就是用分析方法研究几何性质。
微分几何的发端可见于1731年克莱洛的著作中。蒙日1809年的著作包含了这一学科的雏型；欧拉研究了曲面的一般理论；高斯1827年的《关于曲面的一般研究》一书，论述了曲面理论，创立了内蕴几何学，奠定了曲面微分几何的基础。1887～1896年，达布的《曲面一般理论的讲义》集曲线和曲面微分几何之大成。
变换理论对于微分几何的影响，产生了射影微分几何、仿射微分几何等分支。二十世纪初，出现了对非充分光滑曲线和曲面以及曲线曲面的整体问题的研究，形成现代微分几何。1923年，嘉当提出了一般联络的理论。1945年，陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，他又是纤维丛概念的创建人之一。
4、函数论
函数论包括复变函数论和实变函数论，但有时也单指复变函数论(或复分析)而言。
复数概念出现于16世纪，但对它的全面掌握和广泛运用，却迟至18世纪。自变量是复数的函数，叫做复变函数。如果复变函数在某一区域内除了可能有有限个例外点之外，处处有导数，那么这个伏辩函数叫做在这个区域内的解析函数；例外点叫做奇点。复变函数论主要研究解析函数的性质。
复变函数的研究是从18世纪开始的。30～40年代，欧拉利用幂级数详细讨论了初等复变函数的性质。达朗贝尔于1752年得出复变函数可微的必要条件(即“柯西—黎曼条件”)。拉普拉斯也考虑过复变函数的积分。
复变函数的全面发展是在19世纪。1825年，柯西讨论了虚限定积分，1831年他实质上推出了柯西积分公式，并在此基础上建立了一整套复变函数微分和积分的理论。黎曼1851年的博士论文《复变函数论的基础》，奠定了复变函数论的基础。他推广了单位解析函数到多位解析函数；引入了“黎曼曲面”的重要概念，确立了复变因数的几何理论基础；证明了保角映射基本定理。威尔斯特拉斯完全摆脱了几何直观，以幂级数为工具，用严密的纯解析推理展开了函数论。定义解析函数是可以展开为幂级数的函数，围绕着奇点研究函数的性质。近几十年来，复变函数论又有很大的推进。
复变函数论是解决工程技术问题的有力工具，飞机飞行理论、热运动理论、流体力学理论、电场和弹性理论等中的很多问题。
实变函数的发展较晚，其中积分论是它的重要组成部分。容度和测度是线段长度概念的推广，是为了推广积分的概念而建立起来的。1893年，约当给出了“约当容度”的概念，并用于讨论积分。1894年，斯提捷首先推广了积分概念，得到了“斯提捷积分”。1898年，波莱尔改进了容度的概念，他称之为‘测度”。下一步决定性的进展是1902年勒贝格改进了测度理论，建立了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”等概念。1904年，他完全解决了黎曼可积性的问题。后来，数学家们对积分的概念又作了种种推广和探索。
实变函数的另一个领域是函数构造论。1885年，威尔斯特拉斯证明：连续函数必可表示为一致收敛的多项式级数。这一结果和切比雪夫斯基最佳逼近论，是函数构造论的开端。近年来，这个方向的研究十分活跃。
5、泛函分析
本世纪初，出现了一个广阔的新领域——泛函分析，它是古典分析观点的推广。近几十年来，由于分析学中许多新分支的形成，从而发现在代数、几何、分析中不同领域之间的某些方面的类似。其次，几何与集合论的结合产生了抽象空间的理论，将函数看成函数空间中的点。再加上实变函数论以及近世代数的感念和方法的影响，就产生了泛画分析。它综合函数论，几何和代数的观点，研究无穷维向量空间上的函数、算子和极限理论。
19世纪末，弗尔太拉和二十世纪初阿达玛的著作中已出现泛函分析的萌芽。随后希尔伯特、海令哲开创了“希尔伯将空间”的研究，黎斯、冯·诺伊曼等人在这方面都有重要的建树。
第四章：三次数学危机
从哲学上来看，矛盾是无处不存在的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。数学中有大大小小的许多矛盾，例如正与负、加与减、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。在整个数学发展过程中，还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷、连续与离散、存在与构造、逻辑与直观、具体对象与抽象对象、概念与计算等等。
在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就会产生数学危机。而危机的解决，往往能给数学带来新的内容、新的发展，甚至引起革命性的变革。
数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。
一、第一次数学危机
从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派，兴旺的时期为公元前500年左右。他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的知识是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界，数学的知识由于纯粹的思维而获得，不需要观察、直觉和日常经验。
整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满足这些简单的度量需要，就要用到分数。于是，如果定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括所有的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。
有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和1，则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。
古代数学家认为，这样能把直线上所有的点用完。但是，毕氏学派大约在公元前400年发现：直线上存在不对应任何有理数的点。特别是，他们证明了：这条直线上存在点p不对应于有理数，这里距离op等于边长为单位长的正方形的对角线。于是就必须发明新的数对应这样的点，并且因为这些数不可能是有理数，只好称它们为无理数。无理数的发现，是毕氏学派的最伟大成就之一，也是数学史上的重要里程碑。
无理数的发现，引起了第一次数学危机。首先，对于全部依靠整数的毕氏哲学，这是一次致命的打击。其次，无理数看来与常识似乎相矛盾。在几何上的对应情况同样也是令人惊讶的，因为与直观相反，存在不可通约的线段，即没有公共的量度单位的线段。由于毕氏学派关于比例定义假定了任何两个同类量是可通约的，所以毕氏学派比例理论中的所有命题都局限在可通约的量上，这样，他们的关于相似形的一般理论也失效了。
“逻辑上的矛盾”是如此之大，以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密，不准外传。但是人们很快发现不可通约性并不是罕见的现象。泰奥多勒斯指出，面积等于3、5、6、……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约，并对每一种情况都单独予以了证明。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。
诱发第一次数学危机的一个间接因素是之后“芝诺悖论”的出现，它更增加了数学家们的担忧：数学作为一门精确的科学是否还有可能？宇宙的和谐性是否还存在？
在大约公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中，并且和狄德金于1872年绘出的无理数的现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微炒之处。
第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开始在希腊数学中占有特殊地位。同时也反映出，直觉和经验不一定靠得住，而推理证明才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。这是数学思想上的一次革命，是第一次数学危机的自然产物。
回顾在此以前的各种数学，无非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希腊，数学也是从实际出发，应用到实际问题中去的。例如，泰勒斯预测日食、利用影子计算金字塔高度、测量船只离岸距离等等，都是属于计算技术范围的。至于埃及、巴比伦、中国、印度等国的数学，并没有经历过这样的危机和革命，也就继续走着以算为主，以用为主的道路。而由于第一次数学危机的发生和解决，希腊数学则走上完全不同的发展道路，形成了欧几里得《原本》的公理体系与亚里士多德的逻辑体系，为世界数学作出了另一种杰出的贡献。
但是，自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系。这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄溺。这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。
二、第二次数学危机
十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。从历史或逻辑的观点来看，它的发生也带有必然性。
这次危机的萌芽出现在大约公元前450年，芝诺注意到由于对无限性的理解问题而产生的矛盾，提出了关于时空的有限与无限的四个悖论：
“两分法”：向着一个目的地运动的物体，首先必须经过路程的中点，然而要经过这点，又必须先经过路程的1/4点……，如此类推以至无穷。——结论是：无穷是不可穷尽的过程，运动是不可能的。
“阿基里斯(《荷马史诗》中的善跑的英雄)追不上乌龟”：阿基里斯总是首先必须到达乌龟的出发点，因而乌龟必定总是跑在前头。这个论点同两分法悖论一样，所不同的是不必把所需通过的路程一再平分。
“飞矢不动”：意思是箭在运动过程中的任一瞬时间必在一确定位置上，因而是静止的，所以箭就不能处于运动状态。
“操场或游行队伍”：A、B两件物体以等速向相反方向运动。从静止的c来看，比如说A、B都在1小时内移动了2公里，可是从A看来，则B在1小时内就移动了4公里。运动是矛盾的，所以运动是不可能的。
芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可分，因而运动是连续的观点，后两个悖论诘难了时间和空间不能无限可分，因而运动是间断的观点。芝诺悖论的提出可能有更深刻的背景，不一定是专门针对数学的，但是它们在数学王国中却掀起了一场轩然大被。它们说明了希腊人已经看到“无穷小”与“很小很小”的矛盾，但他们无法解决这些矛盾。其后果是，希腊几何证明中从此就排除了无穷小。
经过许多人多年的努力，终于在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：把各种有关问题的解法统一成微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算。由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竞是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。
无穷小量究竟是不是零？两种答案都会导致矛盾。牛顿对它曾作过三种不同解释：1669年说它是一种常量；1671年又说它是一个趋于零的变量；1676年它被“两个正在消逝的量的最终比”所代替。但是，他始终无法解决上述矛盾。莱布尼兹曾试图用和无穷小量成比例的有限量的差分来代替无穷小量，但是他也没有找到从有限量过渡到无穷小量的桥梁。
英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。
当时一些数学家和其他学者，也批判过微积分的一些问题，指出其缺乏必要的逻辑基础。例如，罗尔曾说：“微积分是巧妙的谬论的汇集。”在那个勇于创造时代的初期，科学中逻辑上存在这样那样的问题，并不是个别现象。
18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。
波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。
19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
三、第三次数学危机
数学基础的第三次危机是由1897年的突然冲击而出现的，从整体上看到现在还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论已经成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
1897年，福尔蒂揭示了集合论的第一个悖论；两年后，康托发现了很相似的悖论，它们涉及到集合论中的结果。1902年，罗素发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。
罗素，英国人，哲学家、逻辑学家、数学家。1902年著述《数学原理》，继而与怀德海合著《数学原理》(1910年～1913年)，把数学归纳为一个公理体系，是划时代的著作之一。他在很多领域都有大量著作，并于1950年获得诺贝尔文学奖。他关心社会现象，参加和平运动，开办学校。1968～1969年出版了他的自传。
罗素悖论曾被以多种形式通俗化，其中最著名的是罗索于1919年给出的，它讲的是某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他只给不自己刮胡子的人刮胡子。当人们试图答复下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：“理发师是否可以给自己刮胡子？”如果他给自己刮胡子，那么他就不符合他的原则；如果他不给自己刮胡子，那么他按原则就该为自己刮胡子。
罗素悖论使整个数学大厦动摇了，无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷本末尾写道：“一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了。当本书等待付印的时候，罗素先生的一封信把我就置于这种境地”。狄德金原来打算把《连续性及无理数》第3版付印，这时也把稿件抽了回来。发现拓扑学中“不动点原理”的布劳恩也认为自己过去做的工作都是“废话”，声称要放弃不动点原理。
自从在康托的集合论和发现上述矛盾之后，还产生了许多附加的悖论。集合论的现代悖论与逻辑的几个古代悖论有关系。例如公元前四世纪的欧伯利得悖论：“我现在正在做的这个陈述是假的”。如果这个陈述是真的，则它是假的；然而，如果这个陈述是假的，则它又是真的了。于是，这个陈述既不能是真的，又不能是假的，怎么也逃避不了矛盾。更早的还有埃皮门尼德(公元前6世纪，克利特人)悖论：“克利特人总是说谎的人”。只要简单分析一下，就能看出这句话也是自相矛盾的。
集合论中悖论的存在，明确地表示某些地方出了毛病。自从发现它们之后，人们发表了大量关于这个课题的文章，并且为解决它们作过大量的尝试。就数学而论，看来有一条容易的出路：人们只要把集合论建立在公理化的基础上，加以充分限制以排除所知道的矛盾。
第一次这样的尝试是策梅罗于1908年做出的，以后还有多人进行了加工。但是，此程序曾受到批评，因为它只是避开了某些悖论，而未能说明这些悖论；此外，它不能保证将来不出现别种悖论。
另一种程序既能解释又能排除已知悖论。如果仔细地检查就会发现：上面的每一个悖论都涉及一个集合S和S的一个成员M(既M是靠S定义的)。这样的一个定义被称作是“非断言的”，而非断言的定义在某种意义上是循环的。例如，考虑罗素的理发师悖论：用M标志理发师，用S标示所有成员的集合，则M被非断言地定义为“S的给并且只给不自己刮胡子人中刮胡子的那个成员”。此定义的循环的性质是显然的——理发师的定义涉及所有的成员，并且理发师本身就是这里的成员。因此，不允许有非断言的定义便可能是一种解决集合论的己知悖论的办法。然而，对这种解决办法，有一个严重的责难，即包括非断言定义的那几部分数学是数学家很不愿丢弃的，例如定理“每一个具有上界的实数非空集合有最小上界(上确界)”。
解决集合论的悖论的其它尝试，是从逻辑上去找问题的症结，这带来了逻辑基础的全面研究。
从1900年到1930年左右，数学的危机使许多数学家卷入一场大辩论当中。他们看到这次危机涉及到数学的根本，因此必须对数学的哲学基础加以严密的考察。在这场大辩论中，原来不明显的意见分歧扩展成为学派的争论。以罗素为代表的逻缉主义、以布劳威为代表的直觉主义、以希尔伯特为代表的形式主义三大数学哲学学派应运而生。它们都是唯心主义学派，它们都提出了各自的处理一般集合论中的悖论的办法。他们在争论中尽管言语尖刻，好象势不两立，其实各自的观点都吸收了对方的看法而又有很多变化。
1931年，哥德尔不完全性定理的证明暴露了各派的弱点，哲学的争论黯淡了下来。此后，各派力量沿着自己的道路发展演化。尽管争论的问题远未解决，但大部分数学家并不大关心哲学问题。直到近年，数学哲学问题才又激起人们的兴趣。
承认无穷集合、承认无穷基数，就好象一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论中一大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次数学危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。
数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突——危机就不可避免。危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容，有时也带来了革命性的变化。把20世纪的数学同以前全部数学相比，内容要丰富得多，认识要深入得多。在集合论的基础上，诞生了抽象代数学、拓扑学、泛函分析与测度论，数理逻辑也兴旺发达成为数学有机体的一部分。古代的代数几何、微分几何、复分析现在已经推广到高维。代数数论的面貌也多次改变，变得越来越优美、完整。一系列经典问题完满地得到解决，同时又产生更多的新问题。特别是二次大战之后，新成果层出不穷，从来间断。数学呈现无比兴旺发达的景象，而这正是人们同数学中的矛盾、危机斗争的产物。
第五章：三股推动力量
纵观几千年的数学发展史，人们眼前展现了一幅壮观的景象：在科学世界里，一条长江大河从涓涓细流的源头开始，不断会聚各路支流，越来越浩浩荡荡，终成今日汹涌澎湃之势。
是什么力量在推动数学长河奔腾向前呢？我们认为，推动数学的主要力量有三股——社会生产的发展、数学内部的矛盾和数学家们的努力。
一、社会生产的发展
恩格斯指出：“科学的发生和发展，一开始就是由生产决定的”，这里的生产是指人们使用工具来创造各种生产资料和生活资料。数学作为研究客观物质世界的数量关系和空间形式的一门科学，它的发生和发展也是由生产决定的。
尽管数与形的最初观念可以追溯到原始社会，但是由于当时生产水平的低下，虽然经历了上万年的漫长时间，也只积累了一些零碎的、萌芽的数学知识。到了古希腊奴隶社会最发达时期，社会生产有了较大发展，几何学才取得了决定性的进步。
文艺复兴时期，机械的广泛使用，航海事业的迅速发展，以及我国四大发明的传播，促成了西欧生产的巨大变化，推动了自然科学的迅速发展。在这时期，在意大利的封建社会中，代数学取得了快速的发展。
17世纪欧洲生产的发展，促进了力学和技术的发展，从而向数学提出了从一般的形态上研究运动的问题。出于研究运动，变量的观念产生了，并且成了数学研究的主要对象，同时也产生了函数的概念。数学向研究变量和函数方面发展，随后就产生了解析几何、微积分等数学分支。
微积分的基本理论在实践中的成功应用，证明它反映了生产和科学技术的某些客观规律，数学终于在较短的时间里取得了辉煌的成就。在古化虽然已有了朴素的极限思想，但是那时候的生产水平低下，科学技术不发达，研究都停留在静力学和固定不动的范围内，不可能产生微积分。在中世纪，生产的客观实际也不可能提出研究变量的问题，因此那时候也不可能产生微积分。
1705年，英国物理学家纽可门制成了第一个能供实用的蒸汽机；1768年，瓦特制成了近代蒸汽机。由此引起的工业革命，大大提高了人类社会生产力，从而促进了十八、十九世纪数学的大繁荣。
20世纪40年代，生产力得到进一步发展，科学技术突飞猛进。1945年，第一颗原子弹爆炸、第一台电子计算机问世；1957年，第一颗人造地球卫星发射成功。超高温、超高压、微观、宏观及大科学出现，于是现代数学发展神速、硕果累累。
有的数学家认为：1940年以后的数学成就，超过了从古希腊到1940年间2000多年的数学成就。纯粹数学方面，出现了一些重大突破。应用数学方面，涌现出一些新的分支，如计算数学、对策论、规划论、运筹学、信息论、控制论、生物数学、经济数学等等；出现了系统科学；出现了各种数学新思潮，如非标准分析、模糊数学、突变理论、结构数学、构造数学等等；计算机科学、人工智能和机器证明也发展起来了。
自然界的种种现象是早已有之的，但人们对它们的认识是随着生产的发展而逐步深化、全面的，科学史就反映出这个艰难的历程。在数学研究中，面对确定性现象，2000多年前就开始建立“精确数学”(代数方程、微分方程等)；面对随机性现象，400多年前开始建立“随机数学”(概率论，数理统计等)，工业革命后大生产中的产品检验问题，大大推进了概率、统计、随机过程等分支的发展；而面对模糊性现象，20多年前才开始建立“模糊数学，可以毫不夸大地说：没有电子计算机便没有模糊数学。
人类的社会实践包括生产斗争、阶级斗争和科学实验三大运动，其中起决定作用的是生产斗争。社会生产从三个方面推动数学的发展，向数学提出新的问题，刺激数学向这个或那个方向发展，为数学提供新的发展条件，就象为生物学家提供显微镜、为天文学家提供望远镜那样，现代生产与科技为数学家提供了电子计算机，推动数学飞速发展。
虽然数学的理论往往具有非常抽象的形式，但是它们同时也是现实世界中量的关系和空间形式的深刻反映，因而可以广泛地应用到自然科学、技术部门、社会科学和生产实际中去，对于人类认识自然、改造自然起着重要的作用。这也是数学的发展对于社会生产的发展所起的巨大的反作用，也是检验数学结论的真理性的唯一标准。
综上所述，数学的发展不能脱离社会生产的发展。在绝大多数情况下，前者依赖于后者，因而两者的发展大体上是相适应的。但是数学的发展也有相对的独立性，有时落后于社会生产的发展，有时则超越社会生产的发展。例如，公无前3世纪的圆锥曲线经过1800年，才在行星运动三定律中得到应用；19世纪20年代的非欧几何差不多100年后才在相对论中得到应用；19世纪40年代的数理逻辑，一百年后才在电子计算机中得到广泛应用。这些理论走在实践要求之前的发展，一般是由于纯粹数学内部矛盾运动推动的结果。
二、数学内部的矛盾
整个数学的发展史就是一部矛盾斗争的历史。数学内部的矛盾是推动数学长河滚滚向前的主要力量之一。
数学以现实世界的空间形式和数量关系作为自己研究的对家，为了在纯粹形态上研究这些形式和关系，就必须和现实世界的内容割裂开来。但是，离开内容的形式和关系是不存在的。因此，数学按它的本质企图实现这种割裂，是企图实现一种不可能的事情。这是在数学本质中的根本矛盾，它是认识的普遍矛盾在数学方面的特殊表现。在越来越接近现实的各个认识阶段上，不断解决和重复上述矛盾，数学就不断地前进、发展，由简单到复杂，由低级向高级。
人类最早认识的是自然数，引进零和负数就经过了斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就行不通。同样，引进分数使乘法有了逆运算—除法，否则许多实际问题也不能解决。
但是接着又出现了这样的问题：是否所有的量都能够用有理数来表示？发现无理数并最终使得第一次数学危机的解决，促使了逻辑的发展和几何学的系统化。方程解的问题导致虚数的出现，虚数从一开始就被认为是“不实的”，可是这种不实的数却解决了实数所不能解决的问题，从而为自己争得了存在的权利。数学就是这样在矛盾斗争中发展的。几何学从欧几里得几何的一统天下发展到多种几何，也是如此。
在19世纪发现了许多用传统方法不能解决的问题，如五次及五次以上代数方程不能通过加、减、乘、除、开方求出根来；古希腊几何三大问题不能通过圆规和直尺作图来解决等等。这些否定的结果表明了传统方法的局限性，也反映了人类认识的深入。
这些发现给有关学科带来了极大的冲击，几乎完全改变了它们的方向。例如，代数学从此以后向抽象代数的方面发展，而求解方程的根也变成了分析及计算数学的课题。在第三次数学危机中，这种情况也多次出现，尤其是包含整数算术在内的形式系统的不完全性、许多问题的不可判定性，都大大提高了人们的认识，也促进了数理逻辑的大发展。
由无穷小量的矛盾引起的第二次数学危机，反映了数学内部的有限与无穷的矛盾。第三次数学危机涉及集合论和数理逻辑，但它一开始就牵涉到无穷集合，而现代数学脱离无穷集合就寸步难行。一种极端的观点是只考虑有限集合或至多是可数的集合，不过这样一来绝大部分数学将不复存在。
即使这些有限数学的内容也有许多要涉及无穷的方法，有很多的数学证明都要用有限的步骤解决涉及无穷的问题。借助于计算机完成的四色定理的证明，首先也要把无穷多种可能的地图归结成有限的情形。对于无穷，计算机也是无能为力的。可见数学永远回避不了有限与无穷这对矛盾，可以说它是数学矛盾的根源之一。
数学中也一直贯穿着应用上清楚与逻辑上严格的矛盾。在这方面，比较注意实用的数学家盲目应用，而比较注意严密的数学家则提出批评。只有这两方面取得协调一致，矛盾才能解决。例如，算符演算及δ函数，开始是形式演算，任意应用，直到施瓦尔兹才奠定广义函数论的严整系统。微积分的应用与极限论的建立更是众所周知的。
在数学史中，一直存在着经常起作用的两种重要趋势：一种是学科不断分化的趋势，另一种是学科不断综合的趋势。这两种矛盾的趋势的辨证运动，表现为一个否定之否定的过程。
自然界作为一个无限多样性的统一整体，通过感觉和知觉进入人类的意识。古时候，数学是在总体的数和形的关系上把握自然界的，算术、代数、几何没有彼此分开，任何一本数学名著都包括了这三方面的内容，并且把它们溶化在一起。因此，古代的数学本质上是一种感性直观的关于数和理的综合的科学。
从17世纪产生解析几何和微积分以后，学科分化的趋势一直居于主导地位。单一的未经分化的学科向许多专门分支学科发展，每一门学科所研究的又都是具体完整的数学中数与形的某一个方面。这种不断分化，到19世纪下半叶达到了相当精细的程度，代数、几何、分析等学科已经形成了各自不同的研究领域，特别是分析领域的发展更是蓬蓬勃勃。每个学科都可以互不联系地单独向前发展，各学科在理论、语言、方法等方面可以互不相通，根本谈不上统一的数学的图景。
从1872年克莱因用“群”的观点统一各种几何开始，到康托尔建立集合论和公理化运动，越来越分化的数学走向综合的趋势逐渐明显。到20世纪初，数学学科的分化和综合都明显加快了。从20年代起，特别是第二次世界大战后，综合的趋势已占主导地位。学科的继续分化实际上已经是综合趋势的一种表现形式，因为新学科的不断出现正在越来越消除各学科之间的传统界限。对于数和形的深入认识，更多地采用多学科的方法的综合认识形式。因此，各门学科更加紧密地联系起来。现代数学发展的辨证法就是这样的，越是理解了整体的各个方面，就越是接近于综合地把握整体。
也许将来会出现一种公认的新观点，把目前的数学统一起来。但是，这种统一只是暂时的、相对的。随着生产和科技的发展，又会产生新的问题，形成新的分支，促进新的分化。数学将在这种不断的分化和综合中不断前进。
三、数学家们的努力
数学作为一门科学，它不是任何一个历史时代、任何一个民族单独的产物，而是若干个时代，许多民族的共同产物。经过4000多年世界各民族的共同努力，数学才发展到今天边样的规模。
推动数学前进的力量，无论是社会生产的发展，还是数学内部的矛盾，说到底都离不开人民，特别是离不开作为他们之中优秀代表人物的古今中外数学家们的努力奋斗。在数学史中，几千位著名的数学家作出了可贵的贡献；几十万名数学研究人员作出了必要的探索；数千万数学教育工作者和实际应用者为数学的传播和应用建立了功勋。
我国的《畴人传》包括400多位天文、数学家的传记，其中占篇幅最多的是僧一行，他是唐代最著名的数学家、天文学家。僧是和尚、一行是法号，原名张遂，天赋聪敏、潜心窥测，717年他来到京城长安，为唐玄宗顾问。他把数学与天文学结合起来，创造了世界上最早的不等间距二次内插法公式；他组织并领导的在全国12个点对北极高度和日影长短的测量，是世界上第一次对子午线的实测；他对历法科学作出了重要的贡献，推算出“开元大衍历”，后世有人称赞它“历千古而无差”。可惜他的著作后来全部散失了
我国数学家中在世界上声名最高的，是南北朝的祖冲之(429～500年)。他是世界上最早计算圆周率π精确到6位小数的人，并且保持了这项世界纪录将近1100年。他从小喜欢钻研天文、数学，博览群书，重视实践，经常提出大胆的想法，再通过实践来检验这些想法是否正确。祖冲之和他的儿子合撰的数学专著《缀术》，核定为唐朝学校的教材。中世纪时，日本、朝鲜的学校也采用它作为课本，可惜这部书后来失传了。为纪念祖冲之在圆周率及其它方面的贡献，莫斯科大学建立了他的塑像，与世界其它著名科学家的塑像一起受到人们的敬仰。苏联科学家还把月球上的一个环形山命名为祖冲之环形山，真可谓名扬九天。
宋元时代的朱世杰被誉为“中世纪世界最伟大的数学家”。他曾四处流浪，周游湖海20多年，长期靠教授数学来维持生活，“踵门而学者云集”。他的名著《算学启蒙》三卷(1299年)和《四元宝鉴》三卷(1303年)是我国数学发展的重要里程碑。前者创立了代数加法和乘法的正负法则；后者把天元术推广为“四元术”(四元高次联立方程解决)，而欧洲到1775年才提出同样的解法。《四元宝鉴》开头所载“古法七乘方图”与“杨辉三角”具有同等重要的世界意义。朱世杰对高阶等差级数求和问题进行了讨论，得出了高次差的内插公式(四次“招差术”)，这实质上已相当于1676～1678年间牛顿的一段内插公式。
在中国数学史上，著述最多的数学家是梅文鼎(1683～1721年)。梅文鼎，字定九，号勿庵，安徽宣城人。他自动喜爱天文学、数学。自29岁起，数十年学问与年俱进，是十七八世纪之交中国最伟大的数学家。他在历学方面，深究中国古代70余家历法，而后与西历会通；在数学方面，先习筹算、笔算、三角、对数，而后发挥少广、方程及勾股诸术，集其大成，自成一家。
梅文鼎的著述，据他所著的《勿庵历算书目》所载，共88种，达二百余卷，其中已刊者33种计70卷。在这些历算书中，数学著作占了三分之二，包括了初等数学的各个分支。他的孙子梅毂成，自幼跟他受到良好的数学教育，1712年23岁时入宫学习数学和天文，次年任蒙养斋汇编官，主编《数理精蕴》。
1761年，梅毂成把其祖父的著作编成《梅氏丛书辑要》，共收33种计60卷，附梅毂成自己所著二卷，其中数学书40卷。象这样祖孙三代大有作为的数学家之家，在世界数学史上也是罕见的。可以与之媲美的只有是差不多同时代的瑞士伯努里家族。
世界数学史上最多产的数学家是瑞士的欧拉(1707～1783年)。他一生中，共发表530本(篇)书(论文)，死后47年中，又陆续出版了他留下的许多书稿，从而发表他的著作达到886本(篇)之多。欧拉的一生几乎全部从事数学研究，涉及的范围很广。1735年，他不幸瞎了一只眼睛；1766年，另一只眼睛也瞎了，但这些都没有阻碍他的钻研和创作。双目失明的欧拉，让别人笔录下他的研究成果，借这一种稀有的记忆力，顽强而艰苦地奋斗着。他能在最嘈杂的扰乱中，精力高度集中地进行创造性的工作。
使人感到惊讶和钦佩的，不仅是欧拉的著作是如此之多，而是他的文字通俗易懂、使用的符号先进新颖。下述记号的正规化，都应该归功于欧拉：f(x)表示函数；e表示自然对数的底；a、b、c表示ΔABC的三条边；∑表示求和；i表示虚单位……。
还有最著名的欧拉公式，这个关系式联系着数学中最重要的五个数e、π、i、1、0，是数学中最美妙的公式。很多数学家都怀着尊敬的心情赞美欧拉：“读读欧拉，他是我们一切人的名师”(拉普拉斯)、“对欧拉工作的研究将仍旧是对于数学的不同范围的最好的学校，并且没有任何别的可以替代它”(高斯)。瑞士自然科学学会从1907年开始出版《欧拉全集》，用了四十年才出齐73本。
名列第二位的多产数学家，不是法国的柯西，就是英国的凯雷。但要认真地确定谁该享有这份荣誉，恐怕要计算出版物的页数。例如柯西的全集，除几本书外，包括789篇论文，其中有些是巨著，计有24本大四开本。
世界上第一位女数学家是希腊的希帕提亚(310～415年)，她是数学家泰奥思的女儿，写过关于阿波罗尼和丢番图的评注本。而世界上最伟大的女数学家是德国的诺特(1882～1935年)，她生于犹太家庭，父亲也是著名的数学家。1900年，她进入爱尔兰根大学，在近千名学生中只有两名女性。在戈丹的指导下，诺特完成了博士论文《三元双二次型不变量的完全系》。1916年，诺特来到哥廷根。那时希尔伯特正从事广义相对论的研究，诺特在这方面做了出色的工作，被后人称之为物理学中的诺特定理。
然而，大学里对妇女的歧视是一个严重问题。希尔伯特多次要求校方给她讲师的职称，可是格廷根的哲学教授会议(数学是哲学的一部分)中的语言学家和历史学家极力反对。
1919～1922年间，诺特走上了她自已独特的发展道路，研究环中的理想论。她对抽象代数的贡献是划时代的，她的一般理想论可说是哥廷根代数学派的代表作。1922年，诺特成了一名特别教授，但只不过是一个空名。她当时开一门代数课，从学生交付的学费中取一份很少的薪金。
由于纳粹德国迫害犹太人，1933年诺特来到美国费城任教，不幸于1935年病逝。大物理学家爱因斯坦在《纽约时报》撰文纪念，文中说：“诺特女士是自妇女受到高等教育以来最重要的最富于创造性的天才”。
在数学史上，有不少著名的数学学派，它们是由志同道合的数学家组成的学术团体，对数学的发展作出了特殊的贡献。这里要简略介绍一下对现代数学有巨大影响的布尔巴基学派。
第一次世界大战给法国科学事业带来了灾难性的破坏，法国数学界出现了青黄不接、后继乏人的局面。老一辈法国数学家虽然曾经在分析、函数论方面作出过杰出成绩，但都是60岁上下的人，而且对当代数学一般只有相当含糊的观念，对德国数学学派的优秀成果、对迅速发展的苏联学派以及诞生不久就红极一时的波兰学派都毫无所知。法国数学落后了。
1924年前后，一批十八九岁的青年进入巴黎高等师范学院的数学系。这批年青人中有狄多涅、韦伊、亨·嘉当等人。他们不满足法国数学的现状，要把触角伸向“函数论王国”之外，决心发动“革命”，振兴法国数学。
1932年，这批青年人“秘密”组成了一个小组，以法国十九世纪一位将军布尔巴基的名字命名。后来又增添了几位成员，比较固定的成员在十人左右。他们瞄准了世界先进水平，如饥似渴地大量阅读，刻苦研讨最新发表的数学论文，分析数学发展中大量新概念，每年聚会多次，热烈争鸣，严谨治学。他们还走出国界，直接倾听国外优秀数学家的讲学和介绍，学习最先进的知识。他们方向对头，敢想敢于，不久就在深入研究现代数学的基础上，形成了自己的独创的观点——数学结构的观点，并用以统一概括现代纯粹数学的新成果，把法国的数学水平推到世界的前列。
从1939年起，他们开始出版《数学原本》。这是一套关于现代数学的综合性丛书的第1卷，此丛书直到1972年出版第34卷时，仍未宣布终止。这套数学丛书标志着布尔巴基学派的诞生，他们造就了一大批象魏尔、狄多涅、歇瓦菜、德尔商特、嘉当等在代数几何、拓扑空间、泛函分析、李群、可换环、多复变函数论等数学领城作出重要贡献的数学家。
布尔巴基的结构主义观点，在50～60年代盛极一时，在中学教材改革中曾被奉为经典。70年代以来，结构主义观点开始走下坡路，受到了批评，认为它一味追求形式主义的公理化，脱离实际，为数学而数学，忽视了数学和其他科学的联系，在初等数学中过早引入抽象概念等等。
但是，布尔巴基学派富于创造的精神是令人敬佩的，他们的治学态度是十分严肃的，一卷著作甚至推倒重写10遍，经过10多年才去付印。《数学原本》仅第一部分就花了30年才正式出版。他们严格要求自己，既要有广泛的兴趣、深厚的基础，又要有独立作战的精神，一丝不苟的态度，这些都是他们成功的原因。
“史可为鉴”，“它山之石，可以攻玉”。愿古今中外数学家们在推动数学前进中焕发出来的精钟力量，化作青年朋友们的宝贵财富，为中华在各个领域的新顿起而奋斗！