本文将通过图文的方式,尽可能以最最最简单的方式来帮助大家理解神经网络的基本原理。如果是数学不是很牢靠的小伙伴想要入门深度学习的话,相信这篇文章会对你大有帮助
希望读者的大家看完文章后会有一种“啊!原来这么简单啊!”的想法。如果有不懂的地方或是文章搞错的地方,请在评论区留言,我们一起讨论精进!
接下来我会读这篇文章的内容以及必备知识进行一个说明。
在理解神经网络的方向传播原理之前,需要掌握以下的知识:
在本篇文章中,首先会通过一组图来让大家对神经网络的传播有个大致的印象,然后通过具体的例子来实际体验一下在反向传播时,权重是如何更新的。推荐先快速浏览一下前面的原理图,看不懂里面的式子也没关系,可以结合后面的例子理解。
神经网络由一层一层的神经元构成(1纵列称为这个神经网络的一层),因此在学习神经网络的前向传播时,应该先知道每个神经元是如何计算的。
图中符号意义如下所示:
◆ 输入数据:x1,x2
◆ 权重参数:w1,w2
◆ 激活函数:f(e)
◆ 输出:y
神经元输出y的计算方法分为以下两步:
输入数据和其对应的权重相乘并求和
图中的 e = x 1 w 1 + x 2 w 2 e=x_1w_1+x_2w_2 e=x1w1+x2w2
将第一步的输出通过一个非线性的激活函数激活(图中f(e)),得到输出y: y = f ( e ) y=f(e) y=f(e)
在全连接神经网络中,每一层的每个神经元都会与前一层的所有神经元或者输入数据相连,例如图中的 f 1 ( e ) f_1(e) f1(e)就与 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2分别相连。因此,在计算的时候,每一个神经元的输出=使用激活函数激活前一层函数的累加和,例如第一幅图中的 f 1 ( e ) f_1(e) f1(e)的输出 y 1 y1 y1, y 1 = f 1 ( w ( x 1 ) x 1 + w ( x 2 ) x 2 ) y1=f_1(w_(x1)x_1+w_(x2)x_2) y1=f1(w(x1)x1+w(x2)x2),下面的两个神经元的计算同理。
下图展示了第二层隐藏层的中神经元输出的计算方式。每一个神经元与上一层的神经元分别相连,例如 f 4 ( e ) f_4(e) f4(e)与 f 1 ( e ) f_1(e) f1(e)、 f 2 ( e ) f_2(e) f2(e)、 f 3 ( e ) f_3(e) f3(e)分别相连。计算方法与上述所述相同,例: f 4 f_4 f4的输出 y 4 y_4 y4=使用激活函数对上一层神经元的出的累加和进行激活。所有层的计算完毕后,最终输出y。
首先说一下什么是反向传播算法。
反向传播算法(Backpropagation,简称BP算法)是“误差反向传播”的简称,是适合于多层神经元网络的一种学习算法,它建立在梯度下降法的基础上。梯度下降法是训练神经网络的常用方法,许多的训练方法都是基于梯度下降法改良出来的,因此了解梯度下降法很重要。梯度下降法通过计算损失函数的梯度,并将这个梯度反馈给最优化函数来更新权重以最小化损失函数。
BP算法的学习过程由正向传播过程和反向传播过程组成。
在正向传播过程中,输入信息通过输入层经隐含层,逐层处理并传向输出层。如果预测值和教师值不一样,则取输出与期望的误差的平方和作为损失函数(损失函数有很多,这是其中一种)。
将正向传播中的损失函数传入反向传播过程,逐层求出损失函数对各神经元权重的偏导数,作为目标函数对权重的梯度。根据这个计算出来的梯度来修改权重,网络的学习在权重修改过程中完成。误差达到期望值时,网络学习结束。
神经网络的反向传播可以分为2个步骤,下面将对这2个步骤分别进行说明。
第一步是计算神经网络的输出(预测值)和真值的误差。
图中y为我们神经网络的预测值,由于这个预测值不一定正确,所以我们需要将神经网络的预测值和对应数据的标签来比较,计算出误差。误差的计算有很多方法,比如上面提到的输出与期望的误差的平方和,熵(Entropy)以及交叉熵等。计算出的误差记为 δ δ δ.
反向传播,顾名思义,是从后向前传播的一种方法。因此计算完误差后,需要将这个误差向不断的向前一层传播。向前一层传播时,需要考虑到前一个神经元的权重系数(因为不同神经元的重要性不同,因此回传时需要考虑权重系数)。
例:将误差 δ δ δ向 f 4 ( e ) f_4(e) f4(e)传播时, w 46 w_{46} w46为 f 4 ( e ) f_4(e) f4(e)的权重系数, f 4 ( e ) f_4(e) f4(e)的误差 δ 4 = w 46 δ δ_4=w_{46}δ δ4=w46δ
与前向传播时相同,反向传播时后一层的节点会与前一层的多个节点相连,因此需要对所有节点的误差求和。例如图中的神经元 f 1 ( e ) f_1(e) f1(e)同时与 f 4 ( e ) f_4(e) f4(e)和 f 5 ( e ) f_5(e) f5(e)相连,因此计算 f 1 ( e ) f_1(e) f1(e)的误差时需要考虑后一层 f 4 ( e ) f_4(e) f4(e)和 f 5 ( e ) f_5(e) f5(e)的权重系数,因此 δ 1 = w 14 δ 4 + w 15 δ 5 δ_1=w_{14}δ_4+w_{15}δ_5 δ1=w14δ4+w15δ5
到此为止已经计算出了每个神经元的误差,接下来将更新权重。
图中的 η η η代表学习率, w ′ w' w′是更新后的权重,通过这个式子来更新权重。这个式子具体是怎么来的,请看下面的具体事例,现在只要先保留大概的印象就行了。
目标:给出输入数据i1, i2(0.05和0.10),使输出尽可能与原始输出o1,o2(0.01和0.99)接近。
计算神经元h1的加权和 n e t h 1 net_{h1} neth1(未经激活函数激活):
计算h1的输出 o u t h 1 out_{h1} outh1(激活后):
同理可以计算出h2的输出 o u t h 2 out_{h2} outh2:
同理可以计算出输出层的输出 o u t o 1 out_{o1} outo1和 o u t o 2 out_{o2} outo2:
至此前向传播就结束了,我们得到的输出结果是[ o u t o 1 out_{o1} outo1=0.75136079 , o u t o 2 = 0.772928465 out_{o2}=0.772928465 outo2=0.772928465], 与目标的[0.01, 0.99]还差的很远。因此,有必要计算误差,更新权重,使预测值接近教师值。
由于隐藏层需要将相连接的多个神经元的权重求和,因此为了方便理解,这里先从一个神经元的输出层开始讲解。
在我们的神经网络中,有两个输出,因此计算误差的时候需要把这两个输出的误差求和。这里计算总误差时,我们采用输出与期望的误差的平方和,即mse的计算方法来计算。
计算误差公式:
根据此公式,输出1、输出2、总误差的计算如下所示:
更新权重时,我们需要知道这个权重对全体产生了多少影响,这个影响的大小可以用偏导数求出来。
例:对于输出层权重w5,我们可以用整体的误差对w5求偏导
下图展示了如何使用链式法则来进行反向传播的:
不清楚链式法则的同学,可以先想象以下有这样的一个函数。 y = f a ( f b ( w 0 , w 1 ) ) y=f_a(f_b(w_0,w_1)) y=fa(fb(w0,w1)),在这个函数中,由于是函数的嵌套,没法直接对 w 0 w_0 w0求偏导。想要对 w 0 w_0 w0求偏导的话,需要先用整个函数对外层的 f a f_a fa求偏导,然后在使用 f a f_a fa对 f b ( w 0 , w 1 ) f_b(w_0, w_1) fb(w0,w1)求偏导。链式法则就是针对这种函数嵌套问题的一种解决方法。(可以理解为套娃,想要求得最里面的偏导数就要一层一层拆开这种感觉)
针对图中的神经元,可以将其想象为以下的嵌套方式 o u t o 1 ( n e t o 1 ( w 5 , w 6 , w 7 ) ) out_{o1}(net_{o1}(w5,w6,w7)) outo1(neto1(w5,w6,w7)),因此为了求得w5对整体误差的影响,需要先用整体误差对 o u t o 1 out_{o1} outo1求偏导,再用 o u t o 1 out_{o1} outo1对 n e t o 1 net_{o1} neto1求偏导,最后使用 o u t o 1 out_{o1} outo1对 w 5 w5 w5求偏导。
了解了链式法则后,来实际看看使用链式法则对w5来进行求偏导的过程叭。
具体求解如下:
计算误差公式 ∂ E t o t a l ∂ o u t o 1 \frac{\partial E_{total}}{\partial out_{o1}} ∂outo1∂Etotal:
计算 ∂ o u t o 1 ∂ n e t o 1 \frac{\partial out_{o1}}{\partial net_{o1}} ∂neto1∂outo1:
这一步相当于是对激活函数sigmoid求导
计算 ∂ n e t o 1 ∂ w 5 \frac{\partial net_{o1}}{\partial w_{5}} ∂w5∂neto1:
最后三项相乘得到最终的w5的偏导:
在反向传播中,我们通常使用 δ δ δ来表示误差,因此输出层o1的误差可以表现为 δ o 1 δ_{o1} δo1。
δ o 1 δ_{o1} δo1可以表示为如下形式:
因此对于计算w5对整体误差的影响的公式:
可以表示为:
如果误差为负数,也可以表示成:
根据上面的计算式,来更新w5的权重:
其中η是学习率,这里取0.5
同理更新w6,w7,w8:
更新隐藏层的方法,与更新输出层的权重系数的方法类似,但是有一点需要注意。
在更新输出层权重系数w5的时候,我们使用链式法则,通过out(o1)→net(o1)→w5求出。
注意!此时神经元o1的求导路径只有一条! |
在更新隐藏层权重系数w1,使用链式法则时,通过out(h1)→net(h1)→w1求出,如下:
注意!这个时候神经元o1的求导路径有2条(如蓝色箭头所示)! |
----------------下面将根据图中的等式,实际计算并更新w1的权值----------------
先计算 ∂ E o 1 ∂ o u t h 1 \frac{\partial E_{o_1}}{\partial out_{h1}} ∂outh1∂Eo1:
同理可以计算出 E o 2 o u t h 1 \frac {E_{o2}}{out_{h1}} outh1Eo2
至此,就计算出了神经元h1的误差。
将上面的计算步骤整理,可得如下公式:
其中,累加符号表示将不同路径的误差相加,此时的路径有两条(图中的两个蓝色箭头)。同时,将计算输出层的误差时说到,计算时使用 δ δ δ来表示误差,这里的 δ h 1 δ_{h1} δh1代表神经元h1的误差。
得到了神经元h1的误差,就可以根据之前的权重系数以及误差来更新权重系数了。
更新h1的权重系数:
至此,1个神经元的权重系数的更新就完成了。其中的 η \eta η代表学习率,通常在程序中指定,可以理解为梯度下降法中的步长。
同理,更新w2,w3,w4的权重系数:
至此,反向传播就结束了。将这个过程不断重复,就可以不断减小误差,提高正确率,获得比较好的模型了。
在学习反向传播的时候,面对这些种种的公式,当时又是犹豫又是搞不懂。希望和我有一样困扰的人,可以借助这些图来理解,不要绕远路。
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[1]. 图片来源
[2]. “反向传播算法”过程及公式推导(超直观好懂的Backpropagation)
[3]. 一文弄懂神经网络中的反向传播法——BackPropagation