以一个典型例题来介绍二分法的两个通用模板,熟练掌握这两个模板可以解决绝大部分二分的问题。
参考:yxc二分模板
给定一个按照升序排列的长度为n的整数数组,以及 q 个查询。
对于每个查询,返回一个元素k的起始位置和终止位置(位置从0开始计数)。
如果数组中不存在该元素,则返回“-1 -1”。
输入格式
第一行包含整数n和q,表示数组长度和询问个数。
第二行包含n个整数(均在1~10000范围内),表示完整数组。
接下来q行,每行包含一个整数k,表示一个询问元素。
输出格式
共q行,每行包含两个整数,表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素,则返回“-1 -1”。
数据范围
1≤n≤100000
1≤q≤10000
1≤k≤10000
输入样例:
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例:
3 4
5 5
-1 -1
二分的本质是二段性不是单调性。
二分模板一共有两个,分别适用于不同情况。
算法思路:假设目标值在闭区间[l, r]
中, 每次将区间长度缩小一半,当l = r
时,我们就找到了目标值。
当我们将区间[l, r]
划分成[l, mid - 1]
和[mid, r]
时,其更新操作是r = mid - 1
或者l = mid
;,此时为了防止死循环,计算mid
时需要加1
。
代码模板:
int bsearch_2(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return l;
}
当我们将区间[l, r]
划分成l, mid]
和[mid + 1, r]
时,其更新操作是r = mid
或者l = mid + 1
;,计算mid
时不需要加1
。
代码模板:
int bsearch_1(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return l;
}
一些其他细节
为什么需要+1?
原因是如果不加上1
,那么mid
得到的是下取整的数,那么有可能[m,r]
更新过后m
会一直等于m
(m+1==r
的情况)会陷入死循环。
如l = 3, r = 4
,则mid=3
,若更新为l=mid
,则区间[l,r]
还是3,4
,无限死循环了
import java.io.BufferedInputStream;
import java.util.Scanner;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(new BufferedInputStream(System.in));
int n = scanner.nextInt(); //数组大小
int q = scanner.nextInt();//查询几个数
int[] arr = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
获取完整数组
arr[i] = scanner.nextInt();
}
for (int i = 0; i < q; i++) {
//查询q轮
int k = scanner.nextInt();//要查找的数
int l = 0, r = n - 1;//初始化 l和 r, 查找左边界
while (l < r) {
//l=r时才会结束
int mid = l + r >> 1;
if (arr[mid] >= k) {
//寻找所找数的范围的左边界
r = mid;
} else {
l = mid + 1;
}
}
if(arr[l] != k){
// 跳出循环时, l = r, 如果数组中不存在 k
System.out.println("-1 -1");
}else{
System.out.print(l+" ");//找到了该数的左边界,接下来去找右边界
l = 0;// 初始化 l和 r, 查找右边界
r = n-1;
while(l < r){
int mid = l + r + 1 >> 1;
if(arr[mid] <= k){
l = mid;
}else{
r = mid - 1;
}
}
System.out.println(l);
}
}
}
}