EM（Expectation-Maximization)算法-问题引入

参考 http://www.cnblogs.com/jerrylead

高斯混合模型

下图以一维坐标系中的几个样本为例来说明混合高斯模型

由图中可以看出，样本的分布情况可以由两个高斯分布来近似表示。这玩意就叫混合高斯模型。
简单的说就是：m个样本 { x1,...xm} ,可以分为k类，每个类别都服从高斯分布。

EM算法

给定训练样本 { x1,...xm} ,与k-means中的样本一样是没有标签的，因此EM也是非监督学习方法，我们将隐含类别标签用 z(i) 表示。与 k-means 的硬指定不同，我们首先认为 z(i) 是满足一定的概率分布的，这里我们认为满足多项式分布: z(i)∼Multinomial(ϕ) ,其中 ϕj≥0,∑kj=1ϕj=1 ,
ϕj=p(z(i)=j) 即第 i 个样本属于第 j 类（第j个高斯分布）的概率。 z(i) 的可取的值是{ 1,...,k },即共k个类别。
回想之前的高斯判别分析，我们知道，若 z(i) 是确定的,例如 z(i)=j ，那么 x(i) 应该是满足多元高斯分布的，即: (x(i)|z(i)=j)∼N(μj,Σj) .
我们知道 x(i)和z(i) 的联合概率分布 p(x(i),z(i))=p(x(i)|z(i))p(z(i)) .
模型中有三个参数 ϕ,μ,Σ ，类似高斯判别分析中的处理，我们可以写出似然函数:

ℓ(ϕ,μ,Σ)=∑i=1mlogp(x(i),z(i);ϕ,μ,Σ)=∑i=1mlog∑z(i)=1kp(x(i)|z(i);μ,Σ)p(z(i);ϕ)

然而，这里 z(i) 的值是不确定的，此时我们就无法通过之前求最大似然值的方法获得参数值的。

假如我们知道了类别 z(i) 的值，就可以通过求最大似然值获得参数，此时的likelihood函数也可以简写为：

（显而易见，如果 z(i) 的取值只能是{0,1}，那么上式就和高斯辨别分析模型一样一样的。）
通过最大似然值可求的参数：

注意，这里的协方差矩阵是：每个高斯模型对应一个协方差矩阵，与高斯判别分析中共用一个协方差矩阵不同鸟。

但是事实上我们并不知道 z(i) 的具体指，怎么办呢？
EM算法按照如下思想应对这个问题：
1、猜测样本属于每个类别的概率
2、利用1中得到的概率值去更新参数
3、1和2迭代，直到收敛。

算法描述如下：
Repeat until convergence: {
(E-step) For each i , j , set
w(i)j=p(z(i)=j|x(i);ϕ,μ,Σ)
(M-step) Update the parameters:
ϕj=1m∑mi=1w(i)j
μj=∑mi=1w(i)jx(i)∑mi=1w(i)j
Σj=∑mi=1w(i)j(x(i)−μj)(x(i)−μj)TΣmi=1w(i)j
}
在 E 步中，我们将其他参数 ϕ,μ,Σ 看作常量， 计算在当前的假设和条件下， x(i) 属于每个类别的概率。
上面的 w(i)j 代表当前迭代中，第 i 个样本是第 j 类的概率。可由贝叶斯公公式计算得到：