opencv显示图像的频谱图（C++）

1. 图像傅里叶变换

图像的傅里叶变换是二维的傅里叶变换，二维离散傅里叶变换(discrete Fourier transform,DFT)定义式如下：

在这里$f(m,n)$为图像在点$(i,j)$的像素值。
二维离散傅里叶反变换为：

在opencv中可以通过dft()函数实现二维离散傅里叶变换，代码如下：

Mat DFT::dft2(Mat input)
{
     
	if (input.channels() != 1) {
     
		std::cout << "只处理单通道的图像" << std::endl;
		exit(0);
	}
	Mat src = input.clone();
	//扩充图像尺寸为DFT的最佳尺寸
	Mat padded;
	int newRows = getOptimalDFTSize(src.rows);
	int newCols = getOptimalDFTSize(src.cols);
	copyMakeBorder(src, padded, newRows - src.rows, 0, newCols - src.cols, 0, BORDER_CONSTANT, Scalar(0));
	//将planes融合合并成一个多通道数组
	Mat plans[] = {
      Mat_<double>(padded),Mat::zeros(padded.size(),CV_64F) };
	Mat mergeArray;
	merge(plans, 2, mergeArray);
	//傅里叶变换
	dft(mergeArray, mergeArray);
	return mergeArray;
}

在进行DFT时，特定大小的尺寸会使DFT变换得到更高的处理效率，所以代码中使用getOptimalDFTSize和copyMakeBorder将图像尺寸扩展为适合的尺寸；另外傅里叶变换的结果是复数，需要一个二通道的Mat对象来存储其实部与虚部，所以代码中使用merge将planes融合合并成一个多通道数组。

2. 幅度谱

幅度谱表示为：

其中$Re[F(k,l)]$和$Im[F(k,l)]$分别表示$F(k,l)$的实部和虚部。
在opencv中提供了magnitude可以直接计算幅度。
opencv计算幅度谱并显示：

	static void plotMagnitude(Mat input, String imgName,int flag=WINDOW_NORMAL);

void DFT::plotMagnitude(Mat input,String imgName,int flag)//画出幅度谱
{
     //imgName是对幅度谱图像取的名字
	Mat mergeArray = dft2(input);
	Mat plans[2];
	//将傅里叶变换结果的实部和虚部分开
	split(mergeArray, plans);
	//计算幅度,结果存在plans[0]
	magnitude(plans[0], plans[1],plans[0]);
	//进行对数变换
	Mat logArray = plans[0];
	logArray += Scalar::all(1);//加1，保证对数有意义
	log(logArray, logArray);
	//将幅度谱剪裁为偶数行与偶数列(方便后面的重新排列）
	logArray = logArray(Range(0, logArray.rows & -2), Range(0, logArray.cols & -2));
	//重新排列幅度谱的区域，使得幅度谱的原点位于图像中心
	int x0 = logArray.cols / 2;
	int y0 = logArray.rows / 2;
	Mat q0(logArray, Rect(0, 0, x0, y0));       //左上角图像
	Mat q1(logArray, Rect(x0, 0, x0, y0));      //右上角图像
	Mat q2(logArray, Rect(0, y0, x0, y0));      //左下角图像
	Mat q3(logArray, Rect(x0, y0, x0, y0));     //右下角图像
	swapArea(q0, q3);
	swapArea(q1, q2);
	//归一化，用0-1之间的浮点数将矩阵变换为可视的图像格式
	normalize(logArray, logArray, 0, 1, NORM_MINMAX);
	namedWindow(imgName, flag);
	imshow(imgName, logArray);
}

其中的swapArea的定义如下：

void DFT::swapArea(Mat& area1, Mat& area2)
{
     
	Mat temp;
	area1.copyTo(temp);
	area2.copyTo(area1);
	temp.copyTo(area2);
}

代码的几点解释：

1. 由于傅里叶变换计算出来的幅度值范围一般比较大，会导致小的幅度值变成黑点，而大的幅度值变成白点，所以进行对数变换，压缩高值，拉伸低值(也就是增强对比度算法中的对数变换)。
2. 由于图像傅里叶变换后的原点在图像的左上角，为了使得幅度谱的原点位于图像中心，便于观察，代码中将图像的四个区域（q0,q1,q2,q3）重新排列。排列方式如下图：
3. 为了方便上面的重新排列，我们将幅度谱剪裁为偶数行与偶数列。英文int型的负数在计算机中的存储是以补码表示的，因此-2在计算机中存储为：$（11111111111111111111111111111110{）}_B$，所以当一个数与他进行位与时，如果是偶数，则不发生改变，如果是奇数，则相当于减去1，变成偶数。
4. 我们现在得到的幅度值仍然超出了0-1的显示范围，所以需要对数据进行归一化处理。

3.相位谱

相位谱表示为：

opencv显示相位谱代码：

	static void plotPhase(Mat input, String imgName, int flag = WINDOW_NORMAL);

void DFT::plotPhase(Mat input, String imgName, int flag)
{
     
	//imgName是对相位谱图像取的名字
	Mat mergeArray = dft2(input);
	Mat plans[2] ;
	//将傅里叶变换结果的实部和虚部分开
	split(mergeArray, plans);
	int rows = mergeArray.rows;
	int cols = mergeArray.cols;
	Mat phaseImg(rows, cols, CV_64F);
	for (int i = 0; i < rows; i++) {
     
		for (int j = 0; j < cols; j++) {
     
			phaseImg.at<double>(i, j) = atan2(plans[1].at<double>(i, j), plans[0].at<double>(i, j));
		}
	}
	phaseImg = phaseImg(Range( 0, phaseImg.rows & -2),Range(0, phaseImg.cols & -2));
	int y0 = phaseImg.rows/2;
	int x0 = phaseImg.cols/2;
	Mat q0(phaseImg, Rect(0, 0, x0, y0));       //左上角图像
	Mat q1(phaseImg, Rect(x0, 0, x0, y0));      //右上角图像
	Mat q2(phaseImg, Rect(0, y0, x0, y0));      //左下角图像
	Mat q3(phaseImg, Rect(x0, y0, x0, y0));     //右下角图像
	swapArea(q0, q3);
	swapArea(q1, q2);
	normalize(phaseImg, phaseImg, 0, 1, NORM_MINMAX);
	namedWindow(imgName, flag);
	imshow(imgName, phaseImg);
	
}

4. 测试

幅度谱与相位谱测试代码：

#include 
#include
using namespace cv;
#include"DFT.h"
int main()
{
     
	Mat src = imread("test.png",0);
	if (src.empty()) {
     
		std::cout << "图片加载失败" << std::endl;
		return -1;
	}
	namedWindow("原图", WINDOW_NORMAL);
	imshow("原图", src);
	DFT::plotMagnitude(src,"幅度谱");
	DFT::plotPhase(src, "相位谱");
	waitKey(0);
	return 1;
}

测试结果：