【必备算法】动态规划：一个思路解决六道股票问题

买卖股票系列一共有6道题，都是不断交易一只股票（股价通过price[]给出，数组长度表示可以交易的天数）然后求最大利润：

• 121. 买卖股票的最佳时机¹：股票只能交易一次
• 122. 买卖股票的最佳时机 II¹：股票可以交易无数次
• 123. 买卖股票的最佳时机 III³：股票可以交易2次
• 188. 买卖股票的最佳时机 IV³：股票可以交易K次
• 309. 最佳买卖股票时机含冷冻期²：可以交易无数次，但完成一笔交易后有一天冷却期
• 714. 买卖股票的最佳含手续费²：可以交易无数次，但完成一笔交易后需要交手续费

PS：交易一次的意思是一买一卖，也可以理解成卖出次数

现在我们要通过一种动态规划的思路去通解上面六道题！

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我们都知道，动态规划的第一步是状态定义，当成功且合适的定义了状态，一道动态规划问题就解决一半了。那上面的股票问题如何定义状态呢？

因为最后求的都是最大利润，所以状态的含义肯定是maxprofit。但应该定义成几维状态呢？我们下面就从一维到三维逐一尝试…

1.一维状态：maxprofit[i]

• 状态定义：MP[i]。第i天的最大利润，取值[0, n)
• 状态递推：对于股票无非就两种操作，买入和卖出
  • 买入：MP[i] = MP[i - 1] + (-p[i])
  • 卖出：MP[i] = MP[i - 1] + (p[i])
• 最终状态：MP[n - 1]。第n天的最大利润

问题：因为只能持有一股，所以买入和卖出的前提分别是未持有和持有，但是只用这一位 i，根本就没法知道是否持有啊，所以无法正确进行状态递推，所以只用一维不太行…

2.二维状态：maxprofit[i][j]

• 状态定义：MP[i][j] 。第 i 天未持有股票(j=0)或持有股票(j=1)的最大利润
  • i表示第i天，取值[0, n)
  • j表示当前天是否持有股票，取值为 0或1
• 状态递推：因为是二维状态，所以照理说 i、j 是嵌套循环关系，但由于 j 只有01两种情况，所以直接枚举出来了：
  • MP[i][0]：我第 i 天没有股票。
    ==>MP[i][0] = max（MP[i-1][0], MP[i - 1][1] + p[i])
    • MP[i][0] = MP[i-1][0] ，我前一天没股票且今天不操作
    • MP[i][0] = MP[i - 1][1] + p[i]，我前一天有股票然后卖出了
  • MP[i][1]：我第 i 天有股股票。
    ==>MP[i][1] = max（MP[i-1][1], MP[i - 1][0] - p[i])
    • MP[i][1] = MP[i-1][1] ，我前一天持有股票但今天我不操作
    • MP[i][1] = MP[i - 1][0] - p[i] ，我前一天没有股票今天买入了
• 最终状态：MP[n-1][0]。i=n-1没什么说的，j=0是因为市场都熄火了，你还持有着股票(j=1)肯定是不值的，就算亏了也要卖掉回点老本

问题一：上面说的是交易无限次（122题），那如果是限制只能交易1次（121题）怎么搞？
答：可以这么想，如果是允许交易无数次，那么我们在买入股票时的最大利润受前面交易结果的影响，即maxprofit=MP[i-1][0]-p[i]；但如果只能交易一次，我买入了股票就是只用减去花的钱，不考虑之前的状态（MP[i-1][0]），即maxprofi=-p[i]。
所以，只能交易一次的状态定义不用变，只是在递推时MP[i][1] = max（MP[i-1][1], - p[i])。

问题二：交易一次用二维状态够了，那如果是限制交易次数为2次（123题）甚至变量k次（188题）怎么搞？
答：这个…好像二维状态携带的信息不够进行状态递推了，还需要加一维去保存交易几次了。所以，二维状态虽然可行，但是不够通用…

3.三维状态：maxprofit[i][k][j]

• 状态定义：MP[i][k][j] 。表数第 i 天且已经交易了k次的时，未持有和持有股票的最大利润

  • i表示第i天，取值[0, n)
  • k表示到今天（第i天）已经交易了k次（注：这里说的是已经卖出了k次），取值 [0, K]
  • j表示当前天是否持有股票，取值为 0或1

• 状态递推：因为是三维状态，所以照理说要 i,k,j 三层嵌套循环，但由于 j 只有01两种情况，所以 j 可以直接枚举：

  • MP[i][k][0]：我第 i 天没有股票且已经交易 k 次 。
    ==>MP[i][k][0] = max（MP[i-1][k][0], MP[i - 1][k-1][1] + p[i])

    • MP[i][k][0] = MP[i-1][k][0]，我前一天没股票且今天不操作（k不用变，因为今天没操作）

    • MP[i][k][0] = MP[i - 1][k-1][1]+ p[i]，我前一天有股票然后卖出了（k要减一，因为今天卖出了）

  • MP[i][k][1]：我第 i 天持有股票且已经交易 k 次。
    ==>MP[i][k][1] = max（MP[i-1][k][1], MP[i - 1][k][0] - p[i])

    • MP[i][k][1] = MP[i-1][k][1]，我前一天没股票且今天不操作（k不用变，因为今天没操作）

    • MP[i][k][1] = MP[i - 1][k][0] - p[i]，我前一天没有股票今天买入了（k不用变，因为这是买入不是卖出，是在一次交易内的（切记））

• 最终状态：MP[n-1][K][0]。

问题一：在状态递推时可以将 j 直接列出，那 k 如何处理？
答：分成两种情况

• 123题中 K=2，再结合上 j 具体就是6种状态，所以可以直接枚举出来。mp[i][0][0],mp[i][0][1],mp[i][1][0],mp[i][1][1],mp[i][2][0],mp[i][2][0]。
• 188题中 k 是变量形式给出的，所以就需要遍历 k。时间复杂度O（N*K*2），空间复杂度也是O（N*K*2）。

问题二：那这以交易次数作为条件的我们分析完了，但如果是有冷却期的（309题）或者说收手续费（714题）怎么搞？
答：这个两个题都是不限制交易次数的，所以二维状态就够了，只不过在状态递推时有所不同。具体请看后面题解…

好了，思路分析就到这里，具体动态规划代码请看：

• 【必备算法】动态规划：LeetCode（七）121. 买卖股票的最佳时机，122. 买卖股票的最佳时机 II，123. 买卖股票的最佳时机 III，188. 买卖股票的最佳时机 IV
• 【必备算法】动态规划：LeetCode（八），309. 最佳买卖股票时机含冷冻期，714. 买卖股票的最佳含手续费