少则无味多则醉

题目

题目描述
有 $n$ 种美酒，第 $i$ 种美酒有 $a_i$ 两（即 $\frac{a_i}{10}$ 升）。有 $m$ 条好汉，第 $i$ 位最多能喝 $b_i$ 两酒，但是没有人会喝某一种酒超过 $1$ 两。由于酒杯容积是 $1$ 两，喝酒也只能喝 $k(k\in \mathbb{N})$ 两。为了不引起纷争，要求酒被喝完，但是人不一定要喝醉，甚至可以不喝。

有时候，人的酒量会有 $1$ 两的变化，或者某种酒的量有 $1$ 两的变化。你需要回答，是否存在一种方案。

数据范围与提示
$n\le 10^5,q\le 10^5$ 。

思路

考虑网络流，源点连出 $a_i$ 容量的边，汇点连入 $b_i$ 容量的边，中间的边容量均为 $1$ 。

跑最大流肯定不行，考虑 手算最小割。设割为 $CUT(S,T)$ 则割的容量为
$$|S|\cdot |T|+\sum _{i\notin S}{a}_i+\sum _{i\notin T}{b}_i$$

第一项是容量为 $1$ 的边的数量嘛。显然 $S,T$ 应当选最大的 $a_i,b_i$（求最小割嘛）。

不妨固定 $S$ 那么 $b$ 放入 $T$ 则贡献 $|S|$ 否则贡献 $b_i$ 。所以 $b$ 的贡献是 $\min (|S|,b_i)$ 。

现在考虑 $a,b$ 的变化。由于变化只有 $1$ ，所以大小顺序不会变。线段树维护每种 $|S|$ 对应的最小值，那么 $a_i$ 的变化会导致 $|S|\le n-i$ 的值变化（不妨设 $a$ 是从小到大排序的）而 $b_i$ 的变化会导致 $|S|\ge b_i$ 的值变化。线段树可以维护。

复杂度 $\mathcal{O}(n\log n)$ 。