指数平滑法之收入预测

时间序列平滑法包括：简单平均法、移动平均法（简单移动平均法和加权移动平均法）、一次指数平滑法（Single Exponential Smoothing）、布朗（Brown）单一参数线性指数平滑法、霍特（Holt）双参数指数平滑法、布朗三次指数平滑法、温特（Winter）线性和季节性指数平滑法等。下面介绍一次指数平滑法、布朗（Brown）单一参数线性指数平滑法（二次指数）和布朗三次指数平滑法、霍特双参数指数平滑法 。

1、指数平滑的定义及公式
（1）产生背景：指数平滑由布朗提出：时间序列的态势具有稳定性或规则性，所以时间序列可被合理地顺势推延；最近的过去态势，在某种程度上会持续的未来，所以将较大的权数放在最近的资料。
（2）基本原理：指数平滑法是移动平均法中的一种，其特点在于给过去的观测值不一样的权重，即较近期观测值的权数比较远期观测值的权数要大。根据平滑次数不同，指数平滑法分为一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。但它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且对不同的数据给予不同的权数，新数据给予较大的权数，旧数据给予较小的权数。
（3） 方法应用：指数平滑法是生产预测中常用的一种方法。也用于中短期经济发展趋势预测，所有预测方法中，指数平滑是用得最多的一种。
指数平滑法的基本公式：St=a*yt+(1-a)St-1 式中，
　　St–时间t的平滑值；
　　yt–时间t的实际值；
　　St-1–时间t-1的平滑值；
　　a–平滑常数，其取值范围为[0,1]
据平滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法、二次指数平滑和三次指数平滑法等。
2、α平滑常数的确定
指数平滑法中最重要的一个参数是平滑常数α，α的取值范围是[0-1]，α值是主观选定的，值越大表示对未来的预测中越近期的数据权重越大。在市场预测中，α的确定方法，一般是先根据经验做一个大概的预估，基本判断标准如下：
1.时间序列比较平稳时，选择较小的α值，0.05-0.20。
2.时间序列有波动，但长期趋势没大的变化，可选稍大的α值，0.10-0.40。
3.时间序列波动很大，长期趋势变化大有明显的上升或下降趋势时，宜选较大的α值，0.60-0.80。
4.当时间序列是上升或下降序列，满足加性模型，α取较大值，0.60-1。
再重复试算过程，比较不同α值下，预测的标准误差，从而选取误差较小的α值来建立模型。

其中，MSE为均方误差，MAPE为平均绝对百分误差
3、一次指数平滑
当时间数列无明显的趋势变化，可用一次指数平滑预测。其预测公式为：
　　 yt+1’=ayt+(1-a)*yt’ 式中，
• yt+1’–t+1期的预测值，即本期（t期）的平滑值St ；
• yt–t期的实际值；
• yt’–t期的预测值，即上期的平滑值St-1 。

一次指数平滑的公式跟指数平滑基本公式类似，但t+1期的预测值是t期观测值和t期预测值的加权平均值，由于观测值的获取，所以从公式来看，一次指数平滑只能预测下一期的值。
与移动平均类似，一次指数平滑法得到的平滑值与观测值相比，存在滞后性。

4、二次指数平滑
一次指数平滑直接利用平滑值作为预测值，二次指数平滑法则是利用平滑值对趋势进行修正后得到的线性平滑模型。


初始平滑值需要估计，这种估计是在所有的指数平滑法中都要进行的。但这一估计数据仅对初始阶段的相关计算有一定影响，随着预测期数的增加，其影响愈来愈小，直至彻底消除。一般情况下，取时间序列第一期的观察值，或者前几期观察值的算术平均值。
5、三次指数平滑
三次指数平滑法，与二次指数平滑法一样，对时间序列的非线性趋势进行修正。是在前两次指数平滑的基础上，使用两次平滑值再进行一次平滑，得到其关于时间的非线性发展趋势模型


式中对应参数含义与二次指数平滑中相同，三次指数平滑法也需要估计初始平滑值，一般也选择时间序列第一期的观察值，或者为前几期观察值的算术平均值。
6、霍特双参数指数平滑法
霍特双参数指数平滑法与布朗单一参数线性指数平滑法的原理相似，但它不直接应用二次指数平滑，而是分别对时间序列数据和趋势进行平滑。它使用两个平滑常数α和γ（数值均在0与1之间）和三个计算公式。三个计算公式分别为：

St为时间序列第t期的平滑值，bt为时间序列第t期趋势的平滑值，m为预测的超前期数，Ft+m为时间序列第t+m期的预测值。
　　应用霍特双参数指数平滑法的关键在于选择一对合适的平滑常数α和γ。一般根据时间序列的特点和预测经验，先预选几对α和γ，然后根据预测误差的对比分析，选择预测误差最小的α和γ的组合。S1通常取时间序列第一期的观察值或前几期观察值的算术平均值、b1通常不使用公式进行计算，而是取时间序列前两期观察值之差或前几期观察值两两之差的算术平均值。S1和b1的选择对预测值的影响与布朗单一参数线性指数平滑法相同。

7、收入预测应用
（1）布朗指数平滑法：
实际预测时，一般根据时间序列特点和预测经验，先预选几个α，然后根据预测误差的对比分析，选择预测误差最小的α，本案例测试时发现α取0.1时误差最小。

利用上图最后一个月的系数预测20年人均收入，其中2月只有29天，比正常月份少1天或2天，所以2月的收入需要进行修正，修正的方法是：2月的人均收入=1月预测值-1月预测值/31*1，得到下图结果

计算预测误差，MSE=1.7，MAPE=3.2%，从预测误差的计算结果看，平均绝对百分误差小于5%，预测精度较高。
（2）霍特双参数指数平滑法应用
其中α=0.4，γ=0.7，S1=Y1=36.4，b1=Y2-Y1=-2.1,最后利用最后一期的系数预测20年底收入。

计算预测误差，MSE=0.4，MAPE=1.2%，从预测误差的计算结果看，预测精度较高，比三次指数平滑法的预测结果更高。
8、应用excel实现平滑指数
除了用公式计算出来平滑指数之外，excel也提供了实现的方法，具体步骤如下：
选择工具菜单中的数据—数据分析命令，此时弹出数据分析对话框。
在分析工具列表框中，选择指数平滑工具。
其中阻尼系数=1-α，实例的α取的是0.13 。

重复三次，选择对应的输入区域，一次平滑指数，输入区域选择原始数据，二次平滑指数选择一次平滑指数的值作为输入区域，三次平滑指数选择二次平滑指数作为输入区域，点确定就可以得到下图的数据

9、总结

（1）时间序列无季节性特征且产品产量变动具有线性趋势，应采用二次指数平滑法或霍特双参数指数平滑法；
（2）如果时间序列无季节性特征但产品产量变动具有非线性趋势，应采用布朗三次指数平滑法；
（3）如果时间序列具有季节性而产品产量变动具有线性趋势，则应采用温特线性和季节性指数平滑法。
这四种方法中，仅布朗三次指数平滑法属于非线性平滑法，它具有预测曲线拐点的优势。

在实际应用中，使用时间序列平滑法的前提条件是：
（1）所预测的客观事物发展属于渐进式，无跳跃性的变化；
（2）过去和目前影响客观事物发展的因素也决定着客观事物未来的发展。
由于客观事物的发展变动受多种因素的影响，而各种影响因素又可能是不断发展或不断变动的，因此，时间序列平滑法在一般情况下仅适用于短期的与近期的预测。当预测如果需要延伸至较远未来，时间序列平滑法则存在较大的局限性。时间序列平滑法在客观影响因素发生较大变化可能产生较大的预测误差。为降低这些可能的预测误差，必须充分研究客观影响因素可能的发展与变动，将定性分析和定量研究结合起来，这样才能提高预测的精度。
参考文章：https://cloud.tencent.com/developer/article/1058557；
https://blog.csdn.net/nieson2012/article/details/51980943