【算法导论】笔记-第三章 分治策略

第3章 分治策略

• 步骤：
  • 分解
  • 解决
  • 合并
• 递归情况：当子问题足够大
• 基本情况：当子问题足够小
• 递归式：刻画分治算法的运行时间
• 求解递归式的方法：
  • 代入法
  • 递归树法
  • 主方法

3.1 最大子数组

• 例题： 买股票，使利益最大化

• 思路：低价买进，高价卖出

• 暴力解决问题：尝试每对可能的买进和卖出日期组合。n天中共有${(}_2^n)$种日期组合。运行时间为$\Omega (n^2)$

• 问题变换：寻找一段日期，使得从第一天到最后一天的股票净变值。问题转化为寻找A的和最大的非空连续子数组。称这样的连续子数组为最大子数组。

• 使用分治策略的求解方法：将子数组划分为两个规模尽量相等的子数组，分别求解两个子数组的最大子数组。

  FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A, low, mid, high)

  left-sum = 负无穷
  sum = 0
  for i = mid downto low
      sum = sum + A[i]
      if sum > left-sum
          left-sum = sum
          max-left = i
  
  right-sum = 负无穷
  sum = 0
  for j = mid + 1 to high
      sum = sum + A[j]
      if sum > right-sum
          right-sum = sum
          max-right = j
  return(max-left, max-right, left-sum + reght-sum)
  

  FIND-MAXIMUN-SUBARRAY(A, low, high)

  if high == low
      return(low, high, A[low])
  else mid=(low+high)/2的下限
      (left-low, left-high, left-sum) = FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A, low, mid)
      (right-low, right-high, right-sum) = FIND-MAXIMUM-SUBARRAY(A, mid+1, high)
      (cross-low, cross-high, cross-sum) = FIND-MAX-CROSSING-SUBARRAY(A, low, mid, high)
      if left-sum>=right-sum and left-sum>=cross-sum
          return (left-low, left-high, left-sum)
      elseif right-sum>=left-sum and right-sum>=cross-sum
          return (right-low, right-high, right-sum)
      else return (cross-low, cross-high, cross-sum)
  

• python代码

  def FIND_MAX_CROSSING_SUBARRAY(A, low, mid, high):
      left_sum = 0
      sum = 0
      for i in range(low, mid):
          sum = sum + A[i]
          if sum > left_sum:
              left_sum = sum
      right_sum = 0
      sum = 0
      for j in range(mid+1, high):
          sum = sum + A[j]
          if sum > right_sum:
              right_sum = sum
      return left_sum, right_sum, left_sum + right_sum
  
  def FIND_MAXIMUM_SUBARRAY(A, low, high):
      if high == low:
          return low, high, A[low]
      else:
          mid = (low+high)//2
          left_low, left_high, left_sum = FIND_MAXIMUM_SUBARRAY(A, low, mid)
          right_low, right_high, right_sum = FIND_MAXIMUM_SUBARRAY(A, mid+1, high)
          cross_low, cross_high, cross_sum = FIND_MAX_CROSSING_SUBARRAY(A, low, mid, high)
      if left_sum>=right_sum and left_sum>=cross_sum:
          return left_low, left_high, left_sum
      elif right_sum>=left_sum and right_sum>=cross_sum:
          return right_low, right_high, right_sum
      else:
          return cross_low, cross_high, cross_sum
      
  B = [2,4,5,-3,-5,2,-6,2,7,-5,4,1,3,6,-9,-2,-4,8]
  B_low = 0
  B_high = 16
  B_mid = 8
  print(FIND_MAXIMUM_SUBARRAY(B, B_low, B_high))
  

• 分治算法的分析

  • 运行时间：
    $$\{\begin{array}{c}\theta ,n=1\\ 2T(n/2)+\theta (n),n>1\end{array}$$

3.2 矩阵乘法的Strassen算法

• SQUARE-MATRIX-MULTIPLY(A,B)

  n = A.rows
  let C be a new n×n matrix
  for i = 1 to n
      for j = 1 to n
          Cij = 0
          for k = 1 to n
              Cij = Cij + aik * bkj
  return C
  

• 运行时间：$\theta (n^3)$

• 分治算法:

  • 伪代码：SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A,B)

    n = A.rows
    let C be a new n×n matrix
    if n == 1
        c11=a11 * b11
    else partition A, B, and C as in equations(4,9)
        C11=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11,B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12,B21)
        C12=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A11,B12) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A12,B22)
        C21=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21,B11) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22,B21)
        C22=SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A21,B12) + SQUARE-MATRIX-MULTIPLY-RECURSIVE(A22,B22)
    return C
    

  • 运行时间：
    $$T(n)=\{\begin{array}{c}\theta (1),n=1\\ 8T(n/2)+\theta (n^2),n>1\end{array}$$

• Strassen方法

  • 步骤：

    • 将输入矩阵A，B和输出矩阵C各分解为四个$n/2\times n/2$的子矩阵。
    • 创建10个$n/2\times n/2$的空矩阵$S_1,S_2,\cdot \cdot \cdot ,S_{10}$，每个矩阵保存步骤1中创建的两个子矩阵的和与差。花费时间为$\theta (n^2)$。
    • 用步骤1中创建的子矩阵和步骤2中创建的10个矩阵，递归地计算7个矩阵积$P_1,P_2,\cdot \cdot \cdot ,P_7$。每个矩阵$P_i$都是$n/2\times n/2$的。
    • 通过$P_i$矩阵的不同组合进行加减运算，计算出结果矩阵C的子矩阵$C_{11},C_{12},C_{21},C_{22}$。花费时间$\theta (n^2)$。

  • 运行时间：
    $$T(n)=\{\begin{array}{c}\theta (1),n=1\\ 7T(n/2)+\theta (n^2),n>1\end{array}$$

3.3 用代入法求解递归式

• 代入法求解递归式：
  • 步骤：
    • 猜测解的形式
    • 用数学归纳法求出解中的常数，并证明解是正确的
• 做出好的猜测
• 避免陷阱
• 改变变量

3.4 用递归树方法求解递归式

• 递归树中，每个结点表示一个单一子问题的代价，子问题对应某次递归函数调用。创建递归树之后，对树的每层的各子问题的代价进行求和，得到每一层的代价，然后将所有层的代价加起来，得到整棵递归树的总代价，这个总代价就是递归式的解。

3.5 用主方法求解递归式

• 主定理：令 a≥1和b>1是常数，$f(n)$是一个函数，$T(n)$是定义在非负整数上的递归式：$$T(n)=aT(n/b)+f(n)$$