《小学生都能看懂的快速沃尔什变换从入门到升天教程》（FWT / FMT / FMI）（最最严谨清晰的证明！零基础也能得学会！）

整理的算法模板合集： ACM模板

点我看算法全家桶系列！！！

实际上是一个全新的精炼模板整合计划

---

前置知识：FFT

开始的开始，我们先来复习一下卷积的相关概念（注：0x00 卷积的部分内容（0x02、0x03、0x04）摘自 @wangrx，他写的太好了 %%%，略作修改完善，侵删）之后本文中所有的符号也都参照他的形式书写。以及本文中所有的多项式的系数 $n$ 均为 $2$ 的整数幂的形式（学过 FFT 的都懂hhh不然就没法分治了）

自认为本文是最为清晰完整的 FWT 讲解博客，含有全套完整清晰的证明，相信小学生都能看懂 ~

前排规定本文所用符号：

多项式 / 序列卷积：$\otimes$

多项式 / 序列对应系数相乘 / 普通的乘法： $\times$

多项式 / 序列第 $k$ 项系数： $(f{)}_k$ ， $(f\otimes g{)}_k$ ，$(A)[i]$

多项式 / 序列加法： $\oplus$

多项式 / 序列减法： $\ominus$

多项式 / 序列 $\text{or}$ 卷积（ |，或）： ${\otimes }_{\text{or}}$

多项式 / 序列 $\text{and}$ 卷积（ &，或）： ${\otimes }_{\text{and}}$

多项式 / 序列 $\text{xor}$ 卷积（ ^，或）： ${\otimes }_{\text{xor}}$

0x00 卷积

0x01 多项式

我们知道对于一个普通的多项式可以表示为系数表示： $f(x)=a_0{x}^0+a_1{x}^1+\cdot \cdot \cdot +a_{n-1}{x}^{n-1}$

规定 $f=a_0{x}^0+a_1{x}^1+\cdot \cdot \cdot +a_{n-1}{x}^{n-1}$，$g=b_0{x}^0+b_1{x}^1+\cdot \cdot \cdot +b_{n-1}{x}^{n-1}$

则可将多项式的系数表示简化为： $f=(a_0,a_1,a_2\cdot \cdot \cdot a_{n-1})$，$g=(b_0,b_1,b_2\cdot \cdot \cdot b_{n-1})$

---

定义多项式加减法：$\oplus ,\ominus$
$$\begin{array}{rl}H& =f\oplus g\\ & =(a_0,a_1,a_2\cdot \cdot \cdot a_{n-1})\oplus (b_0,b_1,b_2\cdot \cdot \cdot b_{n-1})\\ & =(a_0+b_0,a_1+b_1,a_2+b_2\cdot \cdot \cdot a_{n-1}+b_{n-1})\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}H& =f\ominus g\\ & =(a_0,a_1,a_2\cdot \cdot \cdot a_{n-1})\oplus (b_0,b_1,b_2\cdot \cdot \cdot b_{n-1})\\ & =(a_0-b_0,a_1-b_1,a_2-b_2\cdot \cdot \cdot a_{n-1}-b_{n-1})\end{array}$$

其中多项式加减的第 $k$ 项系数：

$$(f\oplus g{)}_k=a_k{f}_k+b_k{g}_k$$

$$(f\ominus g{)}_k=a_k{f}_k-b_k{g}_k$$

---

定义多项式对应系数相乘 （一定注意这里不是卷积 $\otimes$）
$$\begin{array}{rl}H& =f\times g\\ & =(a_0,a_1,a_2\cdot \cdot \cdot a_{n-1})\times (b_0,b_1,b_2\cdot \cdot \cdot b_{n-1})\\ & =(a_0\times b_0,a_1\times b_1,a_2\times b_2\cdot \cdot \cdot a_{n-1}\times b_{n-1})\end{array}$$

其中多项式对应系数相乘的第 $k$ 项系数：

$$(f\otimes g{)}_k=a_k{f}_k\times b_k{g}_k$$

---

0x02 卷积的定义

对于一个序列，将其中元素一一映射到一个多项式函数的系数上， 这个多项式函数便叫做该序列的生成函数。

形式化地讲，对于序列 $f_0,f_1,\cdots ,f_{n-1}$ ， $f(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{f}_k{x}^k$ 为其生成函数。

卷积即为生成函数的乘积在对应序列的变换上的的抽象，“卷”即为其作用效果，“积”即为其本质。

对于序列 $f,g$ ，其卷积序列 $f\otimes g$ 满足 $(f\otimes g{)}_k=\sum _{i=0}^k{f}_i\times g_{k-i}=\sum _{i,j}^{i+j=k}{f}_i\times g_j$

对于多项式 $f,g$，其多项式的卷积为：$f\otimes g=\sum _{k=0}^n(\sum _{i,j}^{i+j=k}{a}_i\times b_j)x^k$

而我们所熟知的 FFT 计算的是循环卷积，也即 $(f\otimes g{)}_k=\sum _{i+j\equiv k(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)}{f}_i\times g_j$ ， $n$ 为序列长度。

0x03 卷积的基本性质

这里的卷积均为序列的卷积，因此证明时我们使用数学归纳法，即证明第 $k$ 项成立，则整个序列均成立。由于多项式实际上就是序列的生成函数，所以性质同样成立。

• $f\otimes g=g\otimes f$（交换律）

  我们使用定义 $(f\otimes g{)}_k=\sum _{i+j=k}{f}_i\times g_j$ ，以及乘法交换律 $a\times b=b\times a$ 即可证明，因为 $i+j=k$ 的 $i$ 和 $j$ 是一一对应的。

• $(f\otimes g)\otimes h=f\otimes (g\otimes h)$ （结合律）
  证明：
  $$\begin{array}{rlr}[f\otimes (g\otimes h){]}_n& =\sum _{i=0}^n{f}_{n-i}\times (g\otimes h{)}_i& \\ & =\sum _{i=0}^n{f}_{n-i}\sum _{j=0}^i{g}_j{h}_{i-j}& \\ & =\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^i{f}_{n-i}{g}_j{h}_{i-j}& \\ & =\sum _{i+j+k=n}{f}_i{g}_j{h}_k& \end{array}$$

交换顺序后反向推导即可得证。

• $(f\oplus g)\otimes h=(f\otimes h)\oplus (g\otimes h)$ （分配律）
  其中 $(f\oplus g{)}_k=a{f}_k+b{g}_k$ ，即序列 $f,g$ 的加法， $a,b$ 为常数。

证明：
$$\begin{array}{rl}[(f\oplus g)\otimes h{]}_k& =\sum _{i=0}^k(f\oplus g{)}_i{h}_{k-i}\\ & =\sum _{i=0}^k(a{f}_i+b{g}_i)h_{k-i}\\ & =\sum _{i=0}^k(a{f}_i{h}_{k-i}+b{g}_i{h}_{k-i})\\ & =a\sum _{i=0}^k{f}_i{h}_{k-i}+b\sum _{i=0}^k{g}_i{h}_{k-i}\\ & =a(f\otimes h{)}_k+b(g\otimes h{)}_k=[(f\otimes h)\oplus (g\otimes h){]}_k\end{array}$$

0x04 位运算卷积定义及其性质

一般的卷积满足 $i+j=k$ ，又称为加法卷积。

类似的，对于序列 $f=\{f_0,f_1,\cdots ,f_{2^n-1}\},g=\{g_0,g_1,\cdots ,g_{2^n-1}\}$ ，
可以定义位运算卷积 $(f{\otimes }_{\odot }g{)}_k=\sum _{i\odot j=k}{f}_i\times g_j$ ，其中 $\odot =\text{and},\text{or},\text{xor}$ 。
还有 $\max$ 卷积，这里不再拓展， 读者自行查找相关资料，现在着重讨论 ${\otimes }_{\text{xor}}$

• $f{\otimes }_{\text{xor}}g=g{\otimes }_{\text{xor}}$ （交换律）
  由于 $a\mathrm{xor}b=b\mathrm{xor}$ ，根据定义显然成立。
  $\mathrm{and},\mathrm{or}and,or$ 同样满足此性质，原因同上。
• $(f{\otimes }_{\text{xor}}g){\otimes }_{\text{xor}}h=f{\otimes }_{\text{xor}}(g{\otimes }_{\text{xor}}h)$ （结合律）
  证明： 根据定义，有 $(f{\otimes }_{\text{xor}}g{)}_k=\sum _{i\mathrm{xor}j=k}{f}_i\times g_j=\sum _{i=0}^{2^n-1}{f}_i\times g_{k\mathrm{xor}i}$ ，则

$$\begin{array}{rl}[f{\otimes }_{\text{xor}}(g{\otimes }_{\text{xor}}h){]}_m& =\sum _{i=0}^{2^n-1}{f}_{m\mathrm{xor}i}\times (g{\otimes }_{\text{xor}}h{)}_i\\ & =\sum _{i=0}^{2^n-1}{f}_{m\mathrm{xor}i}\sum _{j=0}^{2^n-1}{g}_j{h}_{i\mathrm{xor}j}\\ & =\sum _{i=0}^{2^n-1}\sum _{j=0}^{2^n-1}{f}_{m\mathrm{xor}i}{g}_j{h}_{i\mathrm{xor}j}\\ & =\sum _{i\mathrm{xor}j\mathrm{xor}k=m}{f}_i{g}_j{h}_k\end{array}$$

交换顺序后反向推导即可得证。
$\mathrm{or},\mathrm{and}$ 没有对应的逆运算，因此证明相对复杂，这里不给出证明。

• $(f\oplus g){\otimes }_{\text{xor}}h=(f{\otimes }_{\text{xor}}h)\oplus (g{\otimes }_{\text{xor}}h)$ (分配律)
  证明同加法卷积， $\mathrm{and},\mathrm{or}$ 同理。

0x10 FWT（快速沃尔什变换）

复习完上述基本概念以后，我们进入今天的正题，快速沃尔什变换（FWT）。

我们知道 FFT 是用来在 $\mathcal{O}(nlogn)$ 的时间复杂度下利用分治求解普通序列 / 多项式的卷积：

对于序列 $f,g$ ，其卷积序列 $f\otimes g$ 满足对于 $f\otimes g$ 的第 $k$ 项： $(f\otimes g{)}_k=\sum _{i=0}^k{f}_i\times g_{k-i}=\sum _{i,j}^{i+j=k}{f}_i\times g_j$

对于多项式 $f,g$，其多项式的卷积为：$f\otimes g=\sum _{k=0}^n(\sum _{i,j}^{i+j=k}{a}_i\times b_j)x^k$

上面定义了位运算卷积： $(f{\otimes }_{\odot }g{)}_k=\sum _{i\odot j=k}{f}_i\times g_j$ ，其中 $\odot =\text{and},\text{or},\text{xor}$ ，并讲解了一系列相关性质，那么我们如何求得位运算卷积呢？我们模仿 FFT 给出一种类似的求解算法：快速沃尔什变换（FWT）。

严格来讲，FWT 仅为 $\text{xor}$ 卷积，FMT 为 $\text{and}$、$\text{or}$ 卷积，这里放到一块统称为 FWT。（QWQ）

我们将两个 $(n-1)$ 次多项式 $A(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$ ，$B(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{b}_i{x}^i$ 的系数数列 $\{a_i\}$，对其进行离散傅里叶变换（DFT）得到的两个点值表示 $\{A{d}_i\}$， $\{B{d}_i\}$，其中 $A{d}_k=\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i\times {\omega }_n^{ik}$，我们使用 FFT 在 $\mathcal{O}(nlogn)$ 的时间复杂度下完成这一操作。

之后在 $\mathcal{O}(n)$ 的时间复杂度下完成两个点值表示的多项式的乘积 $C_i=A{d}_i\times B{d}_i$。

最后利用结论 $a_k=\frac{1}{n}\sum _{i=0}^{n-1}{d}_i{\omega }_n^{-ki}$ ，通过逆离散傅里叶变换（IDFT）还原系数数列 $\{c_i\}$ 得到答案，同样使用 FFT 在 $\mathcal{O}(nlogn)$ 的时间复杂度下完成这一操作。

我们借鉴多项式乘法即普通卷积的实现 FFT 得出类似的思路 FWT：

我们先求出多项式的另一种多项式表示 $FWT(A)$ ， $\mathcal{O}(n)$ 将对应的位置乘起来，最后复原即可。

即答案 $FWT(C)=FWT(A)\times FWT(B)$（其中 $\times$ 是 多项式 / 序列 对应位置相乘）

看上去思路没有什么问题。我们考虑证明。

由于位运算卷积分为三种 $\odot =\text{and},\text{or},\text{xor}$ ，所以我们分开讨论。

0x11 或（$\text{or}$）卷积

**或（ $\text{or}$ ，| ） 按位或运算符， | 有 1 为 1 无 1 为 0 **

或卷积： $(f{\otimes }_{\text{or}}g{)}_k=\sum _{i|j=k}{f}_i\times g_j$

对于序列 $A,B,C$，$A=\{a_0,a_1\cdots ,a_n\}$，$B=\{b_0,b_1,\cdots ,b_n\}$， $C=\{c_0,c_1,\cdots c_n\}$ ，我们令 $C$ 为或卷积的结果。

我们想要求的式子为 $FWT(C)=FWT(A)\times FWT(B)$ ，即：$c_k=\sum _{i\mid j=k}{a}_i{b}_j$

显然有 $i|k=k,j|k=k\to (i|j)|k=k$ 。

因此我们构造快速沃尔什变换 $FWT$ ：$FWT(A)[k]=\sum _{i|k=k}{a}_i$
$$\begin{array}{rl}FWT(A)\times FWT(B)& =\left(\sum _{i\mid k=k}{a}_i\right)\left(\sum _{j\mid k=k}{b}_j\right)\\ & =\sum _{i|k=k,j|k=k}{a}_i{b}_j\\ & =\sum _{(i\mid j)\mid k=k}{a}_i{b}_j\\ & =FWT(C)\end{array}$$

---

性质11.1： $FWT(A\pm B)=FWT(A)\pm FWT(B)$

根据 $FWT$ 变换的定义我们可以将其看作是一个 $A$ 序列的线性组合，故其加减法满足分配律。

由此我们可以得到 FWT 的递推式：

性质11.2：
$$FWT(A)=\{\begin{array}{ll}(FWT(A_0),FWT(A_0)+FWT(A_1))& n>1\\ A& n=0\end{array}$$
其中定义 $A$ 为 $2^k$ 多项式， $A_0$ 代表 $A$ 的系数序列的前半部分即前 $2^{k-1}$ 次项，$A_1$ 代表 $A$ 的后半部分即后 $2^{k-1}$ 次项，也就是下标的最高位分别为 $0$ 和 $1$ 的两部分。

式中的括号运算定义为： $A=(B,C)$ 。

表示 $B$ 这个多项式后面接上 $C$ 等于 $A$，展开后为：
$$\begin{array}{rl}(A,B)& =\left(\left(a_0,a_1,a_2\cdots a_{x-1}\right),\left(b_0,b_1,b_2\cdots b_{y-1}\right)\right)\\ & =\left(a_0,a_1,a_2\cdots a_{x-1},b_0,b_1,b_2\cdots b_{y-1}\right)\end{array}$$
可以理解为系数直接连起来。

考虑证明：

首先 $n=0$ 时显然成立。

我们知道 $A_0,A_1$ 实际上为下标的最高位分别为 $0$ 和 $1$ 的两部分，且除了最高位不同以外，其余的所有位，对于每一个下标 $A_1$ 都有一个 $A_0$ 与之相对应（仅最高位一个是 $1$ ，一个是 $0$）。

根据 FWT 的定义，合并之后左半部分下标的最高位仍然是 $0$，右半部分下标的最高位仍然是 $1$

首先对于左半部分：

由于 $FWT(A_1)$ 的最高位一定为 $1$，而此时 $j|i$ 的最高位不可能为 $0$（1 | 0 = 1），所以右半部分在合并之后对于左半部分是没有贡献的，故 $FWT(A{)}_0=FWT(A_0)$。

而对于右半部分，如果左半部分的数满足 $j|i=i$，那么在 $i$ 加上最高位 $1$ 之后， $j|i=i$ 仍然成立。而此时右半部分的原来的 $FWT(A_1)$ 本来就对右半部分的数有贡献，故 $FWT(A{)}_1=FWT(A_0)+FWT(A_1)$

故我们将这两部分使用括号运算合并即可得到：$FWT(A)=(FWT(A_0),FWT(A_0)+FWT(A_1))$

故 性质11.2 得证。

---

性质11.3： $FWT(A|B)=FWT(A)\times FWT(B)$

（注，这里的 $\times$ 指对应系数相乘，见前排符号规定）

我们可以利用上面的 性质11.1 以及 性质11.2，使用数学归纳法证明：

$$\begin{array}{rl}FWT(A|B)=& FWT((A|B{)}_0,(A|B{)}_1)\\ =& FWT(A_0|B_0,A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1)\\ =& (FWT(A_0|B_0),FWT(A_0|B_0+A_0|B_1+A_1|B_0+A_1|B_1))\\ =& (FWT(A_0)\times FWT(B_0)\\ & ,FWT(A_0)\times FWT(B_0)+FWT(A_0)\times FWT(B_1)+FWT(A_1)\times FWT(B_0)+FWT(A_1)\times FWT(B_1))\\ =& (FWT(A_0)\times FWT(B_0),(FWT(A_0)+FWT(A_1))\times (FWT(B_0)+FWT(B_1)))\\ =& (FWT(A_0),FWT(A_0+A_1))\times (FWT(B_0),FWT(B_0+B_1))\\ =& FWT(A)\times FWT(B)\end{array}$$

---

当然我们也可以使用定义将其展开来证明，这样看上去会会更加的清晰一些。

其中若 $i|k=k,j|k=k\to (i|j)|k=k$。

$$\begin{array}{rl}FWT(A)\times FWT(B)& =\left(\sum _{i\mid 0=0}{a}_i,\sum _{i\mid 1=1}{a}_i,\sum _{i\mid 2=2}{a}_i\cdots \sum _{i\mid (n-1)=(n-1)}{a}_i\right)\times \left(\sum _{i\mid 0=0}{b}_i,\sum _{i\mid 1=1}{b}_i,\sum _{i\mid 2=2}{b}_i\cdots \sum _{i\mid (n-1)=(n-1)}{b}_i\right)\\ & =\left(\left(\sum _{i\mid 0=0}{a}_i\right)\times \left(\sum _{j\mid 0=0}{b}_j\right),\left(\sum _{i\mid 1=1}{a}_i\right)\times \left(\sum _{j\mid 1=1}{b}_j\right),\left(\sum _{i\mid 2=2}{a}_i\right)\times \left(\sum _{j\mid 2=2}{b}_j\right)\cdots \left(\sum _{i\mid (n-1)=(n-1)}{a}_i\right)\times \left(\sum _{j\mid (n-1)=(n-1)}{b}_j\right)\right)\\ & =\left(\sum _{i|j|0=0}{a}_i\times b_j,\sum _{i|j|1=1}{a}_i\times b_j,\sum _{i|j|2=2}{a}_i\times b_j\cdots \sum _{i|j|(n-1)=(n-1)}{a}_i\times b_j\right)\\ & =\left(\sum _{k\mid 0=0}\sum _{i\mid j=k}{a}_i\times b_j,\sum _{k\mid 1=1}\sum _{i\mid j=k}{a}_i\times b_j,\sum _{k\mid 2=2}\sum _{i\mid j=k}{a}_i\times b_j\cdots \sum _{k\mid (n-1)=(n-1)}\sum _{i\mid j=k}{a}_i\times b_j\right)\\ & =FWT(A\mid B)\end{array}$$

---

至此，我们得到了与 FFT 类似的 FWT 的所有定义与性质。

根据 FFT 的流程，我们需要定义 IFWT，即逆沃尔什变换。

我们定义 $IFWT(FWT(A))=A$。

则：
$$IFWT(A)=\{\begin{array}{ll}(IFWT(A_0),IFWT(A_1)-IFWT(A_0))& n>1\\ A& n=0\end{array}$$
考虑证明：

根据 性质11.1
$$\begin{array}{rl}& \\ & \because FWT(A{)}_0=FWT\left(A_0\right)\\ & \therefore A_0=\mathrm{IFWT}\left(FWT\left(A_0\right)\right)=\mathrm{IFWT}\left(FWT(A{)}_0\right)\\ & \because FWT(A{)}_1=FWT\left(A_0\right)+FWT\left(A_1\right)\\ & \therefore A_1=IFWT\left(FWT\left(A_1\right)\right)=IFWT\left(FWT(A{)}_1-FWT(A{)}_0\right)\\ & \therefore IFWT(A)=IFWT((A_0,A_1))=(IFWT(A_0),IFWT(A_1)-IFWT(A_0))\end{array}$$
其实看起来非常的形象，因为 IFWT 是 FWT 的逆运算，所以公式逆过来， $+$ 变成 $-$ 就行了。

显然FWT与IFWT运算基本相同，实现的时候写成一个函数即可：

inline void OR(int *f, int x = 1) {
     
	for (int o = 2, k = 1; o <= n; o <<= 1, k <<= 1)
		for (int i = 0; i < n; i += o)
			for (int j = 0; j < k; ++ j)
				f[i + j + k] += f[i + j] * x;
}

0x12 与（$\text{and}$）卷积

同理，我们可以得到与卷积的定义式：
$$FWT(A)[k]=\sum _{i\&k=k}{a}_i$$
以及 FWT 的递推式：
$$FWT(A)=\{\begin{array}{ll}(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_1))& n>1\\ A& n=0\end{array}$$

证明同或卷积，序列 $A$ 的右半部分任意一个下标 $\&$ 左半部分即首位为 $0$ 的数，得到的结果一定在 $A$ 的左半部分，故 $A_1$ 对 左半部分有贡献，且一定对自己所在的右半部分有贡献。

性质12.1： $FWT(A\&B)=FWT(A)\times FWT(B)$

证明：

我们仍然利用性质11.1，使用数学归纳法证明
$$\begin{array}{rl}FWT(A\&B)& =FWT((A\&B{)}_0,(A\&B{)}_1)\\ & =FWT(A_0\&B_0+A_0\&B_1+A_1\&B_0,A_1\&B_1)\\ & =(FWT(A_0\&B_0+A_0\&B_1+A_1\&B_0+A_1\&B_1),FWT(A_1\&B_1))\\ & =((FWT(A_0)+FWT(A_1))\times (FWT(B_0)+FWT(B_1)),FWT(A_1)\times FWT(B_1))\\ & =(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_1))\times (FWT(B_0)+FWT(B_1),FWT(B_1))\\ & =FWT(A)\times FWT(B)\end{array}$$

---

或是继续展开证明：

$$\begin{array}{rl}FWT(A)\times FWT(B)& =\left(\sum _{i\&0=0}{a}_i,\sum _{i\&1=1}{a}_i,\sum _{i\&2=2}{a}_i\cdots \sum _{i\&(n-1)=(n-1)}{a}_i\right)\times \left(\sum _{i\&0=0}{b}_i,\sum _{i\&1=1}{b}_i,\sum _{i\&2=2}{b}_i\cdots \sum _{i\&(n-1)=(n-1)}{b}_i\right)\\ & =\left(\left(\sum _{i\&0=0}{a}_i\right)\times \left(\sum _{j\&0=0}{b}_j\right),\left(\sum _{i\&1=1}{a}_i\right)\times \left(\sum _{j\&1=1}{b}_j\right),\left(\sum _{i\&2=2}{a}_i\right)\times \left(\sum _{j\&2=2}{b}_j\right)\cdots \left(\sum _{i\&(n-1)=(n-1)}{a}_i\right)\times \left(\sum _{j\&(n-1)=(n-1)}{b}_j\right)\right)\\ & =\left(\sum _{i\&j\&0=0}{a}_i\times b_j,\sum _{i\&j\&1=1}{a}_i\times b_j,\sum _{i\&j\&2=2}{a}_i\times b_j\cdots \sum _{i\&j\&(n-1)=(n-1)}{a}_i\times b_j\right)\\ & =\left(\sum _{k\&0=0}\sum _{i\&j=k}{a}_i\ast b_j,\sum _{k\&1=1}\sum _{i\&j=k}{a}_i\times b_j,\sum _{k\&2=2}\sum _{i\&j=k}{a}_i\times b_j\cdots \sum _{k\&(n-1)=(n-1)}\sum _{i\&j=k}{a}_i\times b_j\right)\\ & =FWT(A\&B)\end{array}$$

我们定义逆沃尔什变换 $IFWT(FWT(A))=A$。

则：
$$IFWT(A)=\{\begin{array}{ll}(IFWT(A_0)-IFWT(A_1),IFWT(A_1))& n>1\\ A& n=0\end{array}$$

考虑证明：

$n=0$ 时正确性显然。

根据 性质11.1
F W T ( A ) 0 = F W T ( A 0 ) + F W T ( A 1 ) ∴ A 0 = I D F T ( F W T ( A 0 ) ) = I D F T ( F W T ( A ) 0 − F W T ( A ) 1 ) = I F W T ( A 0 ) − I F W T ( A 1 ) ∵ F W T ( A ) 1 = F W T ( A 1 ) ∴ A 1 = I D F T ( F W T ( A 1 ) ) = I D F T ( F W T ( A ) 1 ) ∴ I F W T ( A ) = I F W T ( ( A 0 , A 1 ) ) = ( I F W T ( A 0 ) − I F W T ( A 1 ) , I F W T ( A 1 ) ) \begin{aligned}& F W T(A)_{0}=F W T\left(A_{0}\right)+F W T\left(A_{1}\right)\\&\therefore A_{0}=I D F T\left(F W T\left(A_{0}\right)\right)=I D F T\left(F W T(A)_{0}-F W T(A)_{1}\right)=IFWT(A_0)-IFWT(A_1)\\&\because F W T(A)_{1}=F W T\left(A_{1}\right)\\&\therefore A_{1}=I D F T\left(F W T\left(A_{1}\right)\right)=I D F T\left(F W T(A)_{1}\right)\\& \therefore IFWT(A)=IFWT((A_0, A_1))=(IFWT(A_0)-IFWT(A_1),IFWT(A_1))\end{aligned} ​FWT(A)0​=FWT(A0​)+FWT(A1​)∴A0​=IDFT(FWT(A0​))=IDFT(FWT(A)0​−FWT(A)1​)=IFWT(A0​)−IFWT(A1​)∵FWT(A)1​=FWT(A1​)∴A1​=IDFT(FWT(A1​))=IDFT(FWT(A)1​)∴IFWT(A)=IFWT((A0​,A1​))=(IFWT(A0​)−IFWT(A1​),IFWT(A1​))​
同或卷积，我们同样可以得到一份代码：

inline void AND(int *f, int x = 1) {
     
	for (int o = 2, k = 1; o <= n; o <<= 1, k <<= 1)
		for (int i = 0; i < n; i += o)
			for (int j = 0; j < k; ++ j)
				f[i+j] += f[i+j+k] * x;
}

0x13 异或（$\text{xor}$）卷积

异或卷积与或卷积、与卷积稍有不同。

我们定义函数 $d(x)$ 表示 $x$ 在二进制下 $1$ 的数量

定义 FWT 变换为：
$$FWT(A)[i]=\sum _{d(j\&i)\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2}{A}_j-\sum _{d(k\&i)\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2}{A}_k$$
则可得到递推式：
$$FWT(A)=\{\begin{array}{ll}(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1))& n>0\\ A& n=0\end{array}$$
考虑证明：

首先左半部分的公式为：$FWT(A_0)+FWT(A_1)$

因为 $A_0$ 即前 $2^{k-1}$ 项下标 $[0,2^{k-1}]$ 的最高位都为 $0$，故 $A_0$ 的下标与 $A_0$ “与” 运算之后最高位不变，仍然是 $0$ ，所以要加上$A_0$ 的贡献 $FWT(A_0)$， $A_1$ 的下标在与 $A_0$ “与”运算之后，最高位 $1\text{and}0=0$ ，故后半部分也会对前半部分有贡献。

右半部分的公式为：$FWT(A_0)-FWT(A_1)$

同理 $A_0$ 的下标和 $A_1$ “与” 运算之后最高位保持不变。而 $A_1$ 的下标的最高位多了一个 $1$，“与” 上一个最高位为 $1$ 的数之后奇偶性就变了，所以要取反 。

---

性质13.1： $FWT(A\oplus B)=FWT(A)\times FWT(B)$

该性质在这里同样成立。

证明：
$$\begin{array}{rl}FWT(A\oplus B)& =FWT((A\oplus B{)}_0,(A\oplus B{)}_1)\\ & =FWT(A_0\oplus B_0+A_1\oplus B_1,A_0\oplus B_1+A_1\oplus B_0)\\ & =(FWT(A_0\oplus B_0+A_1\oplus B_1+A_0\oplus B_1+A_1\oplus B_0),\\ & FWT(A_0\oplus B_0+A_1\oplus B_1-A_0\oplus B_1-A_1\oplus B_0))\\ & =((FWT(A_0)+FWT(A_1))\times (FWT(B_0)+FWT(B_1)),\\ & (FWT(A_0)-FWT(A_1))\times (FWT(B_0)-FWT(B_1)))\\ & =(FWT(A_0+A_1),FWT(A_0-A_1))\times (FWT(B_0+B_1),FWT(B_0-B_1))\\ & =FWT(A)\times FWT(B)\end{array}$$

同样可以展开来证明：
F W T ( A × B ) = ( ∑ ( − 1 ) p c ( i & 0 ) a i , ∑ ( − 1 ) p c ( i & 1 ) a i ⋯ ∑ ( − 1 ) p c ( i & ( n − 1 ) ) a i ) × ( ∑ ( − 1 ) p c ( i & 0 ) b i , ∑ ( − 1 ) p c ( i & 1 ) b i ⋯ ∑ p ( − 1 ) p c ( i & ( n − 1 ) ) b i ) = (