本文介绍了ICP算法及其MATLAB实现
经典的ICP(iterative closet point)算法是由McKay和Besl1提出的,它的核心思想是迭代调姿使距离偏差最小化。原始ICP算法的基本描述是:对于点云P的每个点,在另一个点云Q中求取距离它最近的点(理想状态下本应重合的点),计算对应点的欧式距离平方的平均值,然后通过迭代算法,最小化平均值,这样不断更新点云片间的相对位置,达到点云片之间配准对齐的效果,如图6所示。
扫描点云与CAD模型最佳拟合对齐是利用奇异值分解法、四元组法找出扫描点云与模型表面对应点的变换矩阵,多次迭代直至目标函数满足一定的精度为止。其目标函数为:
式中:pi(i=0,1,…,n) 为待配准的扫描点; qi(i=0,1,…,n)为pi在CAD模型表面上的匹配点; R,T分别为待求的旋转矩阵与平移向量。
具体计算步骤如下:
Step1. 计算两个待配准点集的质心:
Step2. 计算两个待配准点集相对于各自质心的位移:
Step3. 计算协方差矩阵:
Step4. 构造对称矩阵:
Step5. 计算旋转矩阵
Step6. 计算平移变换矢量
ICP有以下局限性:
(1)初始位置的依赖性
初始位置对它的影响很大,ICP算法的收敛速度及收敛的最终位置直接受制于求取的匹配点(最近点)是否精确,而只有在扫面点云与CAD模型有较好的初始位置关系时,匹配点才能精准地获取到。
(2)局部最优性
ICP算法得到的是局部最优解,从本质上来讲,该算法每次迭代总是选择距离差的最小值,并不能得到全局最优解。
(3)不区分正负性
ICP算法是以最小二乘的方式最小化距离差,其收敛结果趋向于使得各配对点的差值均匀化,并且该距离差不具有正负性和方向性。
(4)计算匹配点复杂度较高
ICP算法的时间复杂度非常高:计算扫描点的匹配点(求取最近点)时,对于点云片P中的每个点,需要遍历CAD模型的曲面集合 中每个面,计算匹配点集 时间复杂度为 ,并且点到曲面最近点的计算也是较为耗时的。为了提高最佳拟合对齐的效率,点云数据需要精简,计算最近点的方式需要改进。
代码如下:
function [data_q,T] = rotate(data,x,y,z,t)
%欧拉角转旋转矩阵
x = x/180*pi;
y = y/180*pi;
z = z/180*pi;
Rx = [1 0 0;
0 cos(x) -sin(x);
0 sin(x) cos(x)];
Ry = [cos(y) 0 sin(y);
0 1 0;
-sin(y) 0 cos(y)];
Rz = [cos(z) -sin(z) 0;
sin(z) cos(z) 0;
0 0 1];
T = Rz*Ry*Rx; %旋转矩阵
T = [T(1,1),T(1,2),T(1,3),t(1);
T(2,1),T(2,2),T(2,3),t(2);
T(3,1),T(3,2),T(3,3),t(3);
0 0 0 1]; % 复合
rows=size(data,2);
rows_one=ones(1,rows);
data=[data;rows_one]; %化为齐次坐标
data_q=T*data;
data_q=data_q(1:3,:); %返回三维坐标
代码如下:
% ICP 算法
clear;
close all;
clc;
data_source=load('16-3.txt');
data_source=data_source';
%旋转角度
alpha = 20;
theta = 5;
grama = 5;
t=[1,1,30]; %平移向量
[data_target,T0]=rotate(data_source,alpha ,theta,grama,t);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%绘制两幅原始图像
x1=data_source(1,:);
y1=data_source(2,:);
z1=data_source(3,:);
x2=data_target(1,:);
y2=data_target(2,:);
z2=data_target(3,:);
figure(1);
title('初始位置');
scatter3(x1,y1,z1,'b*');
hold on;
scatter3(x2,y2,z2,'r*');
hold off;
T_final=eye(4,4); %旋转矩阵初始值
iteration=0;
Rf=T_final(1:3,1:3);
Tf=T_final(1:3,4);
data_target=Rf*data_target+Tf*ones(1,size(data_target,2)); %初次更新点集(代表粗配准结果)
err=1;
while(err>0.0001)
iteration=iteration+1; %迭代次数
disp(['迭代次数ieration=',num2str(iteration)]);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%利用欧式距离找出对应点集 搜索每个点
k=size(data_target,2);
for i = 1:k
data_q1(1,:) = data_source(1,:) - data_target(1,i); % 两个点集中的点x坐标之差
data_q1(2,:) = data_source(2,:) - data_target(2,i); % 两个点集中的点y坐标之差
data_q1(3,:) = data_source(3,:) - data_target(3,i); % 两个点集中的点z坐标之差
distance = data_q1(1,:).^2 + data_q1(2,:).^2 + data_q1(3,:).^2; % 欧氏距离
[min_dis, min_index] = min(distance); % 找到距离最小的那个点
data_mid(:,i) = data_source(:,min_index); % 将那个点保存为对应点
error(i) = min_dis; % 保存距离差值
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%去中心化
% 质心
data_target_mean=mean(data_target,2);
data_mid_mean=mean(data_mid,2);
data_target_c=data_target-data_target_mean*ones(1,size(data_target,2));
data_mid_c=data_mid-data_mid_mean*ones(1,size(data_mid,2));
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%SVD分解
W=zeros(3,3);
% 计算协方差矩阵
for j=1:size(data_target_c,2)
W=W+data_mid_c(:,j)*data_target_c(:,j)';
end
[U,S,V]=svd(W);
Rf=U*V';
% 计算质心平移矢量
Tf=data_mid_mean-Rf*data_target_mean;
err=mean(error);
T_t=[Rf,Tf];
T_t=[T_t;0,0,0,1];
T_final=T_t*T_final; %更新变换矩阵
disp(['误差err=',num2str(err)]);
disp('变换矩阵T=');
disp(inv(T_final));
data_target=Rf*data_target+Tf*ones(1,size(data_target,2)); %更新点集
if iteration >= 200
break
end
end
disp('真值');
disp(T0); %旋转矩阵真值,对矩阵求逆
x1=data_source(1,:);
y1=data_source(2,:);
z1=data_source(3,:);
x2=data_target(1,:);
y2=data_target(2,:);
z2=data_target(3,:);
figure(2);
title('配准后');
scatter3(x1,y1,z1,'r*');
hold on;
scatter3(x2,y2,z2,'b*');
hold off;
注:代码中的导入的文件是零件的点云数据。
戴静兰, 陈志杨, 叶修梓. ICP算法在点云配准中的应用[J]. 中国图象图形学报, 2007(03):517-521. ↩︎