POJ-2480 Longge's problem 积性函数

　　题目链接：http://poj.org/problem?id=2480

　　题意：多次求sigma(gcd(i,n), 1<=i<=n<2^32)

　　这题不能直接搜了，需要考虑函数的性质。

　　由gcd(i*j,n)=gcd(i,n)*gcd(j,n)，所以gcd(i,n)为积性函数。

　　设f(n)=Σ(gcd(i,n))，由定理：积性函数的和函数也是积性函数(具体数学上有)。

　　所以f(x)=f(p1^a1*p2^a1*...*pn^an)=f(p1^a1)*f(p2*a2)*...*f(pn^an)。

　　只要对每个f(pi^ai)求解就可以了，f(pi^ai)=1*phi(pi^ai)+pi^a1*phi(pi^(ai-1))+...+pi^ai*phi(1)。

　　由phi(pi^ai) = pi^ai - pi^(ai-1)，那么可以化简上面的式子：f(pi^ai) = ai * pi^ai - ai * pi^(ai-1) + pi^ai = pi^ai * (ai - ai/pi + 1)；

 1 //STATUS:C++_AC_47MS_116KB

 2 #include <functional>

 3 #include <algorithm>

 4 #include <iostream>

 5 //#include <ext/rope>

 6 #include <fstream>

 7 #include <sstream>

 8 #include <iomanip>

 9 #include <numeric>

10 #include <cstring>

11 #include <cassert>

12 #include <cstdio>

13 #include <string>

14 #include <vector>

15 #include <bitset>

16 #include <queue>

17 #include <stack>

18 #include <cmath>

19 #include <ctime>

20 #include <list>

21 #include <set>

22 //#include <map>

23 using namespace std;

24 //#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")

25 //using namespace __gnu_cxx;

26 //define

27 #define pii pair<int,int>

28 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))

29 #define lson l,mid,rt<<1

30 #define rson mid+1,r,rt<<1|1

31 #define PI acos(-1.0)

32 //typedef

33 typedef __int64 LL;

34 typedef unsigned __int64 ULL;

35 //const

36 const int N=110;

37 const int INF=0x3f3f3f3f;

38 const int MOD=100000,STA=8000010;

39 const LL LNF=1LL<<60;

40 const double EPS=1e-8;

41 const double OO=1e15;

42 const int dx[4]={-1,0,1,0};

43 const int dy[4]={0,1,0,-1};

44 const int day[13]={0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};

45 //Daily Use ...

46 inline int sign(double x){return (x>EPS)-(x<-EPS);}

47 template<class T> T gcd(T a,T b){return b?gcd(b,a%b):a;}

48 template<class T> T lcm(T a,T b){return a/gcd(a,b)*b;}

49 template<class T> inline T lcm(T a,T b,T d){return a/d*b;}

50 template<class T> inline T Min(T a,T b){return a<b?a:b;}

51 template<class T> inline T Max(T a,T b){return a>b?a:b;}

52 template<class T> inline T Min(T a,T b,T c){return min(min(a, b),c);}

53 template<class T> inline T Max(T a,T b,T c){return max(max(a, b),c);}

54 template<class T> inline T Min(T a,T b,T c,T d){return min(min(a, b),min(c,d));}

55 template<class T> inline T Max(T a,T b,T c,T d){return max(max(a, b),max(c,d));}

56 //End

57 

58 LL ans,n;

59 

60 int main(){

61  //   freopen("in.txt","r",stdin);

62     LL i,j;

63     LL cnt,t;

64     while(~scanf("%I64d",&n)){

65         ans=n;t=1;

66         for(i=2;i*i<=n;i++){

67             if(n%i==0){

68                 cnt=0 ;

69                 while(n%i==0){

70                     cnt++;

71                     n/=i;

72                 }

73                 ans+=ans*cnt/i*(i-1);

74             }

75         }

76         if(n>1)ans=ans*(n*2-1)/n;

77 

78         printf("%I64d\n",ans);

79     }

80     return 0;

81 }