【2021-MOOC-浙江大学-陈越、何钦铭-数据结构】树

1.查找

1.1 静态查找

顺序查找

顺序查找算法的时间复杂度为O(n)

二分查找

要查找的元素是存在的

要查找的元素是不存在的

二分查找算法

2.树的定义

怎么判定 树与非树呢？

3.树的基本术语

4.树的表示

儿子-兄弟 表示法

旋转45度，就可以变成二叉树了

5.二叉树

二叉树的定义

怎么判断完美二叉树 和 完全二叉树呢？

一棵深度为k且有 2^k - 1 个结点的二叉树称为满二叉树(完美二叉树)

分析：上图中树的深度是4，结点个数是 2^4 - 1 = 15

那么，将编号为15, 14, …, 9的叶子结点从右到左依次拿掉或者拿掉部分，则是一棵完全二叉树,例如，将上图中的编号为15, 14, 13, 12, 11叶子结点都拿掉(从右到左的顺序)

下图就不是一棵完全二叉树

分析：如果将编号11(K)结点从编号6(E)的左儿子位置移动到编号5(E)的右儿子位置，则变成一棵完全二叉树。

二叉树的几个重要性质

思考题：

有一颗二叉树，其两个儿子的结点个数为15个，一个儿子的结点个数为32个，问该二叉树的叶结点个数是多少？

n2 = 15；n1 = 32;

n0 = n2 - 1 = 16

所以该二叉树的叶结点个数是16

该二叉树总共有 n0 + n1 + 2 * n2 = 0 + 32 + 30 = 62 条边

也可以用 n0 + n1 + n2 = 63 表示该二叉树的总结点树，总边数 = 总结点数 - 1 = 62

二叉树基本操作

思考题

1、如果一个完全二叉树最底下一层为第六层（根为第一层）且该层共有8个叶结点，那么该完全二叉树共有多少个结点？

解析：

完全二叉树，除最后一层可以不满外，其他各层都必须是满的

前五层的结点个数是：2^5 - 1 = 31

加上最后一层 8 个结点

总共是 31 + 8 = 39

2、若有一二叉树的总结点数为98，只有一个儿子的结点数为48，则该树的叶结点数是多少？

解析：这样的树是不存在的，二叉树的总结点树是n0 + n1 + n2 = 98，又因为n1 = 48，

所以n0 + n2 = 50，n0 = n2 - 1，代入得n2 = 51/2，故这样的树是不存在的

3、设深度为d（只有一个根结点时，d为1）的二叉树只有度为0和2的结点，则此类二叉树的结点数至少为2d-1？

解析：正确。考虑结点最少的情况：

可以看到，该树每一级都只有一个节点有两个子节点。深度为d，即除了第一级，其余每一级都有2个节点，故总共2d-1个节点。

二叉树的存储结构

顺序存储结构

链式存储

二叉树遍历

先序遍历

中序遍历

后序遍历

总结

二叉树的递归遍历

void InorderTraversal( BinTree BT ) //中序遍历
{
     
    if( BT ) {
     
        InorderTraversal( BT->Left );
        /* 此处假设对BT结点的访问就是打印数据 */
        printf("%d ", BT->Data); /* 假设数据为整型 */
        InorderTraversal( BT->Right );
    }
}

void PreorderTraversal( BinTree BT ) //前序遍历
{
     
    if( BT ) {
     
        printf("%d ", BT->Data );
        PreorderTraversal( BT->Left );
        PreorderTraversal( BT->Right );
    }
}

void PostorderTraversal( BinTree BT ) //后序遍历
{
     
    if( BT ) {
     
        PostorderTraversal( BT->Left );
        PostorderTraversal( BT->Right );
        printf("%d ", BT->Data);
    }
}

void LevelorderTraversal ( BinTree BT )
{
      
    Queue Q; 
    BinTree T;

    if ( !BT ) return; /* 若是空树则直接返回 */
    
    Q = CreatQueue(); /* 创建空队列Q */
    AddQ( Q, BT );
    while ( !IsEmpty(Q) ) {
     
        T = DeleteQ( Q );
        printf("%d ", T->Data); /* 访问取出队列的结点 */
        if ( T->Left )   AddQ( Q, T->Left );
        if ( T->Right )  AddQ( Q, T->Right );
    }
}

二叉树的非递归遍历

基本思路：使用堆栈

中序遍历非递归算法

先序遍历非递归算法

无图，直接上代码

void InOrderTraversal(BinTree BT) {
     
    BinTree T = BT;
    Stack S = CreateStack(MaxSize);
    while (T || !IsEmpty(S)) {
      //如果二叉树存在，并且堆栈不为空
        while (T) {
      //先打印该结点，并压入堆栈，再向左一直遍历
            printf("%5d", T->Data);
            Push(S, T);
            T = T->Left;
        }
        if (!IsEmpty(S)) {
     
            T = Pop(S); //将结点弹出堆栈
            T = T->Right; //将该结点向右遍历
        }
    }
}

层序遍历

遍历二叉树的应用

由两种遍历序列确定二叉树

注意：必须要有中序遍历，才能确定二叉树

先由先序序列的第一个元素，确定根结点

再把根结点放到中序序列，确定左子树有哪些元素

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思考题

1、假定只有四个结点A、B、C、D的二叉树，其前序遍历序列为ABCD，则下面哪个序列是不可能的中序遍历序列？

A、ABCD

B、ACDB

C、DCBA

D、DABC

解析：

选项A有可能：

选项B有可能：

选项C有可能：

选项D：首先根据中序，A在中间，所以左子树的节点只有一个D，而右子树节点是B和C，但问题是根据前序遍历的规则，打印出A以后应该接着打印B，但是若D在左子树，B在右子树，则前序遍历不可能先打印出B再打印出D，所以这种情况不可能。

2、对于二叉树，如果其中序遍历结果与前序遍历结果一样，那么可以断定该二叉树

解析：所有结点都没有左儿子

3、已知一二叉树的后序和中序遍历的结果分别是FDEBGCA 和FDBEACG,那么该二叉树的前序遍历结果是什么？