浅谈 分而治之-欧几里得算法

此问题讨论来源于《算法图解》[美] Aditya Bhargava

一、抛出问题

假设你有一小块田地，面积是1680*640。你要将这块地均匀地分成方块，并且分出地方块要尽可能大，你该如何分？

首先你可能想到，我直接对半分一下就好了，但是题中是需要分成的是方块；那你可能想到，我先按方块来分，然后对剩下不是方块的部分，我再分成方块。但是这就违背了均匀的题意。所以，应该如何来分呢？

我们可以使用分而治之的思想来解决问题。首先找出一个条件：一条边的长度是另一条边的整数倍。这样分出的土地正好是方块。另外一个就是如何把问题逐步分解来满足这个条件。

• 首先根据长方形最短的边来分得正方形，但是这会余下一块土地，如图。
  

• 然后对余下的土地重复上述步骤，如图。
  

• 最终会分成一条边是另一条边的倍数，也就达到了第一个条件。所以这块土地可以分成80*80的最大均匀方块。

这个问题用到的就是分而治之的思路，同时里面也有递归的映射，这里就不做讨论了。

但是为什么会有这么一种方法呢？它背后的原理是什么呢？如果深究，就请继续看下面的欧几里得算法。

二、欧几里得算法及证明

一、算法

上面问题的解决归结到数学上，其实就属于求解两个数的最大公约数。说到这里可能很多人明白了，让我们继续往下看吧。
欧几里得算法是求解最大公约数。A和B的最大公约数使用GCD(A,B)（Greatest Common Divisor）表示。它的性质是：

• 如果A=0，GCD(0,B) = B,GCD(A,B) = B;
• 如果B=0，GCD(A,0) = A,GCD(A,B) = A;
• 如果A,B不为0.那么找出A = B*Q + R.得出GCD(A,B) = GCD(B,R)。然后重复此步骤直到满足性质一或者性质二，也即A=0或B=0;其中Q为整数，R为在0到B-1之间的整数；

使用此算法来计算上述例子，你就会发现上述例子思想就是欧几里得算法。

若你想继续深究，可以继续往下阅读欧几里得算法的性质证明，看看它是如何得出上面三个性质的。

二、证明

下面我们来证明欧几里得算法如何求得A和B的最大公约数。
首先看前两条性质，如果B=0，GCD(A,0) = B,GCD(A,B) = A;

• 能整除A的最大整数是A；
• 对于任何整数C，我们写成 C*0 = 0，我们可以得到任何整数都可以整除0；所以我们可以得出A可以整除0。也可以理解成，A是0的约数，0是A的约数；
• 所以在在0和A中选取最大公约数，那么就是A，所以GCD(A,0) = A;
• 同理用在A=0的情况

下面我们来看第三条性质。我们需要逐步证明，来让过程看得简单：

要证明GCD(A,B) = GCD(B,R)，我们先证明GCD(A,B) = GCD(B,A-B)
我们驾驶有三个数A,B,C，其中C=A-B
1、证明：GCD(A,B)整除C

• 通过GCD(A,B)的定义来看，GCD(A,B)可以整除A，所以A一定是GCD(A,B)的倍数。例如 X*GCD(A,B) = A
• 同理B也是GCD(A,B)的倍数Y*GCD(A,B) = B；
• 因为A - B = C,所以
  X * GCD(A,B) - Y * GCD(A,B) = C,
  (X-Y)GCD(A,B) = C
  所以得证GCD(A,B)可以整除C

2、证明：GCD(B,C)可以整除A

• 同上通过定义，GCD(B,C)可以整除B和C，B,C均为GCD(B,C)的倍数，有:
  M * GCD(B,C) = B; N * GCD(B,C) = C
• 由A-B=C得B+C=A
  M * GCD(B,C) + N * GCD(B,C) = A
  (M+N) GCD(B.C) = A 所以得证

3、证明：GCD(A,B)=GCD(A,A-B)

• GCD(A,B)可以整除B，上述已证明也可以整除C，所以得出GCD(A,B)是B和C的公约数（不一定是最大公约数）
• 所以GCD(A,B)一定是小于等于B和C的最大公约数，也即GCD(A,B)小于等于GCD(B,C)
• 同理，GCD(B,C)可以整除B和A，所以是B和A的公约数，所以有GCD(B,C)小于等于GCD(A,B)
• 所以得出GCD(A,B) = GCD(B,C)，也即GCD(A,B) = GCD(B,C) = GCD(B,A-B)
  上述三个证明课=可归纳为此图：
  

4、最后证明：GCD(A,B) = GCD(B,R)

• GCD(A,B) = GCD(B,A-B),其中括号内可以互换顺序，GCD(A,B) = GCD(A-B,B)
• 由前面证明1和2可知：
  GCD(A,B)=GCD(A-B,B)=GCD(A-2B,B)=GCD(A-3B,B)=…=GCD(A-Q⋅B,B)
• 因为A = B * Q + R,所以R = A-Q * B
• 所以得证GCD(A,B) = GCD(B,R)

证毕

人在学习的时候，总会听自己想听的内容，从而会忽略一些重要知识，所以温故知新，建议收藏。

参考网站：https://www.khanacademy.org/computing/computer-science/cryptography/modarithmetic/a/the-euclidean-algorithm