计算几何之 点在直线上的投影 代码模板与证明

点在直线上的投影

已知直线上两点a、b和直线外一点p，求p在直线ab上的投影点

代码模板

Point projection(Point p,Point a,Point b)
{
     
	Vector v = b - a,u = p - a;
	return a + v * (dot(v,u) / dot(v,v));	//dot是两向量的点积
}

证明

如下图，p的投影点p’就是a+$x$（直线的点向式），所以我们只要求出$x$就能求出p’了。

而$x$ = t$v$，这个t就是$|x|$和$|v|$的比值，$v\cdot u=|v|\cdot |u|\cdot cos\theta$，所以$v$和$u$的点积就是$|v|$乘$|x|$，然后我们除以$|v|$再除以$|v|$就得到了比值t，而除以两次就相当于除以$|v{|}^2$，就等于$v$和$v$自己的点积。

求出比值t就能求出向量x；求出向量x就能求出点p’。