树上倍增求LCA
洛谷P3379
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题目描述
如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。
输入格式
第一行包含三个正整数 N,M,SN,M,S，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。
接下来 N-1N−1 行每行包含两个正整数 x, yx,y，表示 xx 结点和 yy 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。
接下来 MM 行每行包含两个正整数 a, ba,b，表示询问 aa 结点和 bb 结点的最近公共祖先。
输出格式
输出包含 MM 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。
输入输出
样例 1
输入
5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5
输出
4
4
1
4
4
说明/提示
对于 30% 的数据，N≤10，M≤10。
对于 70% 的数据，N≤10000，M≤10000。
对于 100% 的数据，N≤500000，M≤500000。
PICTURE:/home/ldu/.config/tencent-qq//AppData/file//sendpix2.jpg
在进行倍增的时候，考虑跳的步长从大到小进行安排，并且求一下log来优化
一些小细节：
对于该题可以采取链式前向星建图（vector也无所谓），再加边的时候应该注意是双向边，而不是单向的边
代码详解：
一：初始化头结点为-1
void init(){
for(int i=1;i<=n;i++) head[i] = -1;
}
二：对输入数据进行加边操作：
void add(int u,int v){
e[cnt].u = u;
e[cnt].v = v;
e[cnt].next = head[u];
head[u] = cnt ++;
}
三：对于里面的DFS操作，就是对某一个节点的2^j级祖先进行预处理，采用DFS的方式来进行递归，表示在数组里面就是fa[x][j] ,在求解的过程中还要递归处理节点的深度，对给出的树根，可以巧妙的处理为这颗树根的祖先节点是0这个点，然后他的深度是1，在递归的过程中cur表示当前节点，而rt表示这个节点的根节点（也就是祖先节点），然后就可以在递归的过程中，将这个点的深度depth[cur] = depth[fa] + 1。然后下面的for循环处理fa数组，这个循环所能走的最大2^j级祖先最大的j可以对他预处理一个log，也就是下面的 cal 函数。处理完之后就可以遍历和这个节点相连的所有节点，当这个点不是这个节点的根节点也就是rt的时候，对他进行递归的DFS处理，此时在传递参数的时候父亲节点就是cur，当前节点就是与其相连的节点
void dfs(int cur,int rt){
fa[cur][0] = rt,dep[cur] = dep[rt] + 1;/// the depth of the current node changed
for(int i=1;i <= lg[dep[cur]];i++){
fa[cur][i] = fa[fa[cur][i-1]][i-1];
}
for(int i=head[cur];~i;i = e[i].next){
/// visit all linked nodes
if(e[i].v != rt) dfs(e[i].v,cur);
}
}
四：lca函数
我们在处理的过程中，默认x节点的深度比y深，所以说如果说x深度比y深度小，就直接交换两个节点，方便下次进行处理
然后一直遍历，当x深度一直大于y深度的时候，我们对x一直进行转移
然后我们在下面从大到小转移节点，同时对两个节点进行转移处理，从大到小的过程中我们对他处理的过程是：根据预先处理的log大小到0，来进行从大到小的跳转，在跳转的过程中，我们要避免讲两个点跳转到同一个节点，如果能跳转到的节点不相同我们就跳转，相同的情况下不进行跳转；
关于为什么从大到小：从大到小的过程中一定有一种方式能够将这个数唯一的表示出来，而且不存在所谓的“反悔”的情况
在最后返回的时候，返回fa[x][0]即为答案
int lca(int x,int y){
if(dep[x] < dep[y]) swap(x,y);
while(dep[x] > dep[y]) x = fa[x][lg[dep[x] - dep[y]] - 1];
if(x == y) return y;
/// big -> small
for(int k = lg[dep[x]] - 1;k >= 0;k --){
if(fa[x][k] != fa[y][k]){
x = fa[x][k];
y = fa[y][k];
}
}
return fa[x][0];
}
有待完善
欢迎批评指正
版本一时间：2021-03-07-22:11
int n,m;
int root;
int head[maxn];
struct node{
int u;
int v;
int next;
}e[maxn];
int dep[maxn];/// save the depth of every node
int fa[maxn][30];
int lg[maxn];
int cnt = 0;
void init(){
for(int i=1;i<=n;i++) head[i] = -1;
}
void add(int u,int v){
e[cnt].u = u;
e[cnt].v = v;
e[cnt].next = head[u];
head[u] = cnt ++;
}
void dfs(int cur,int rt){
fa[cur][0] = rt,dep[cur] = dep[rt] + 1;/// the depth of the current node changed
for(int i=1;i <= lg[dep[cur]];i++){
fa[cur][i] = fa[fa[cur][i-1]][i-1];
}
for(int i=head[cur];~i;i = e[i].next){
/// visit all linked nodes
if(e[i].v != rt) dfs(e[i].v,cur);
}
}
void cal(){
for(int i=1;i<=n;i++){
lg[i] = lg[i-1] + (1 << lg[i-1] == i);/// 2 ^ lg[i-1] == i true + 1
}
}
int lca(int x,int y){
if(dep[x] < dep[y]) swap(x,y);
while(dep[x] > dep[y]) x = fa[x][lg[dep[x] - dep[y]] - 1];
if(x == y) return y;
/// big -> small
for(int k = lg[dep[x]] - 1;k >= 0;k --){
if(fa[x][k] != fa[y][k]){
x = fa[x][k];
y = fa[y][k];
}
}
return fa[x][0];
}
int main() {
///freopen("1.in","r",stdin);
///freopen("1.out","w",stdout);
cin >> n >> m >> root;
cal();
init();
for(int i=1;i<n;i++){
int x = read,y = read;
add(x,y);
add(y,x);
}
dfs(root,0);
for(int i=1;i<=m;i++){
int x = read,y = read;
printf("%d\n",lca(x,y));
}
return 0;
}/// ac_code