近世代数理论基础9：几个例子·群的乘法表

几个例子·群的乘法表

例

1.整数模m的剩余类加群

设m是任一正整数,记为整数模m的所有剩余类的集合,则集合构成整数集Z的一个划分,,,在上定义运算""：,是一个交换群,称为整数模m的剩余类加群

证明：

2.二面体群

中心在原点,边与坐标轴平行的正方形,设R表示将正方形ABCD逆时针旋转的旋转变换,分别表示以x轴,y轴,直线AC,直线BD为对称轴的反射,设I为恒等变换,,关于变换的乘法构成一个群

1.关于变换的乘法封闭

2.中的乘法满足结合律

3.恒等变换I为中的单位元,即,有

4.,故可逆,且逆元为自身,,故与互逆,的逆为

是一个群,称为8阶二面体群

3.四元数群

设复数域C上的四个二阶矩阵为

令,则为一个非交换群,显然H对乘法封闭,且满足结合律,I为单位元,,,,群H称为四元数群(Hamilton群)

有限群的乘法表

由群的定义,当群中任意两个元的乘积知道后,该群就完全确定,对有限群,可用一个表来描述G中的乘法

称为群G的乘法表

注：若群为交换群,则乘法表关于其主对角线对称