[LeetCode 题解]： First Missing Positive

Given an unsorted integer array, find the first missing positive integer.

For example,
Given [1,2,0] return 3,
and [3,4,-1,1] return 2.

Your algorithm should run in O(n) time and uses constant space.

题意： 给定一个无序的序列，找到其中首次缺少的正数。

题目好抽象！！！lz表示这个题意看了老久才看明白！！！

题目有一个前提，如果是一个合法的序列，那么给定的一个长度为N的序列排序之后应该是[1,2,...,N-1,N]。这个前提很重要！！！

可是，现在序列中某些数字可能缺失：

例如长度为4的序列[3,4,-1,1]。 排序之后为[-1,1,3,4]。 那么首次缺失的数字为2.

这样看应该不直观，换个思路： 假设数组下标以1开始，那么将数组按照A[i]=i排列，那么可以得到序列[1,-1,3,4]。这样就能发现在A[2]!=2

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拿到这个题目思路：

（1）首先如果忽略时间和空间复杂度的限制，能够想到的方法，a. 排序 b.根据排序之后的序列依次查找1，2，..,n 直到第一个缺失的数字。 （易知排序后的查找问题的时间复杂度为O(N)）

（2）找到满足时间复杂度的做法： 由于前提长度为N的序列正确排列为[1,2,...,N-1,N]. 所以可以用桶排序，或者基数排序。时间复杂度为O(N). 但是，这些排序方法空间复杂度为O(N)..

（3）如何找到空间复杂度为O(1)的做法呢。

　　在组合数学里面有错排的概念，即由[1~N]组成的序列中存在 A[i] != i的情况。这和本题的意思比较接近。

      那么，问题就变成了从乱序排列还原成正序最少需要多少次两两交换。 答案是O(N)。 此处证明省略。（好吧，其实lz也没想明白怎么证明 -。-！）

      以下例子参考csdn一篇帖子： http://blog.csdn.net/famousdt/article/details/7301782

思路：



举个例子来说，2 5 4 3 1。我们让 i 从1开始判断是否在i是否在该在的位置上。此时i=1不在位置1上，而且位置1上是2。2应该放在位置2上，而位置2上是5。位置5上是1。这就说明1,2,5三个数轮换一下，就能将这三个数换到各自应该在的位置。需要换2次。



顺着这个思路想，可以把1,2,5看成一个环，3,4看成另一个环。那么最后的答案就是 整个数列中不在各自该在位置的数的数量 - 环数。此例子中，就是5-2=3



所以，一个环中，如果有x个数，那么这个环需要x-1次操作。剩下的重点就是找出所有的环了。

 

根据以上分析可知，题目思路分为两步：

（1） 在O(N)时间内，将错排还原成正序。

（2） 从头开始查找第一个不符合 A[i]==i 的数字，即为所求结果。

例子：

 A=[4 2 0 3] n=4, i=1
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序列　　　　　　4　　2　　0　　3
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起始：　　 A[1]=4    swap(A[1],A[4])

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　　　　　　　　3　　2　　0　　4

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继续交换　 A[1]=3    swap(A[1],A[3])

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　　　　　　　　0　　2　　3　　4

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A[1]=0,不能继续交换  i++.

A[2]=2, 无需交换， i=i+1, i=3

A[3]=3, 无需交换， i=i+1, i=4

A[4]=4, 无需交换， i=i+1, i=5

退出。
最终的序列为　　0　　2　　3　　4

PS：在下面的代码中，数组的下标从0开始。

 

 1 class Solution {

 2 public:

 3     int firstMissingPositive(int A[], int n) {

 4         int i=0;

 5         while(i<n)

 6         {

 7             if(A[i]<=0 || A[i]>n || A[i] == i+1)  i++; // 无法继续进行交换  8             else

 9             {

10                 int target=A[i]-1;

11                 if(A[i]!=A[target])  swap(A[i],A[target]);

12                 else i++;

13             }

14         }

15         i=0;

16         while(A[i]==i+1) i++;

17         return i+1;        

18     }

19 };

 ok！终于搞定了。。。。

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