复变函数积分

本篇记录一下复变函数积分（沿指定闭曲线）的求解方法，主要为了串联一下级数，留数和积分的关系，方便理解和记忆。

1. 级数

在此，不再记录级数的基本概念，直接从泰勒级数开始。

泰勒级数：公式称为在的泰勒展开式，它右端的级数称为在的泰勒级数。

如果在解析，那么使在的泰勒展开式成立的圆域的半径就等于从到的距最近的一个奇点之间的距离，即。

为了跨过奇点，使得解析函数的级数表示方法适用范围更广，由此产生了洛朗级数。

洛朗级数：公式称为在以为中心的圆环域：内的洛朗展开式，它右端的级数称为在此圆环域内的洛朗级数。

洛朗级数是泰勒级数的延拓版，其与泰勒级数形式上的一个主要区别就是含有负幂次项。系数有如下计算公式，其中为圆环域内绕的任一正向简单的闭曲线。

但以上公式并不常用来计算函数的洛朗展开式，主要是采用间接展开法。因此，记忆一些常见的函数的展开式就很是有必要了。

2. 留数

对于上面计算的公式，我们令，有，此处的即为留数，记作。（实际是对的洛朗展开式进行逐项积分，发现除了一项外，其余均为）。

留数定理：设函数在区域内除有限个孤立奇点外处处解析，是内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那么

利用这个定理，求沿封闭曲线的积分，就转化为求被积函数在中的各孤立奇点处的留数。

定理二：如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那么在所有各奇点（包括点）的留数的总和必等于零。

3. 积分

有了以上内容，我们可得：求沿指定闭曲线的积分，可以有如下方法。

1)

直接用留数定理：求区域内各孤立奇点的留数，即易得积分值。

2)

用留数定理加定理二：如果区域内有某点处的留数计算十分繁琐，可考虑同时使用定理二，转为求区域外所有奇点的留数。

因此，在求积分时，需要注意如何更简单的得到奇点的留数。

4. 留数的求法

1)

直接洛朗展开，然后找到。

2)

如果为的一级极点，那么

如果为的级极点，那么

3)

在无穷远处的留数，除了以下直接洛朗展开求得外，

还可以用公式