那些经典算法：字符串匹配算法KMP

KMP算法是Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法的简称，是一种单模式串匹配算法， 这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris三人于1977年联合发表，故取这3人的姓氏命名此算法。

KMP算法原理

这个算法也是超级复杂，也不打算实现它，只是对它的原理了解下即可。KMP的算法其实思想和BM算法又点像，都是在匹配的时候，如果不匹配，想让模式串对后多滑动几步，这样性能就更好了。

好前缀坏字符

模式串在滑动过程中，其实相当于用好前缀的子串 在模式串中查找前缀字串，假设最长的可匹配的那部分前缀子串是{v},长度是k。我们把模式串一次性对后滑动j-k的距离，相当于每次遇到坏字符时候，把j更新下，然后i不变继续比较，这样跳过k长度的字符串比较。

移动规律

我们把主串中的可匹配的后缀字串叫做最长可匹配后缀子串；对应的在模式串中的最长前缀子串，成为最长可匹配前缀字串。

最长可匹配后缀子串

在这个算法中关键是求好前缀的最长可匹配前缀，这个问题直接用模式串来求，预先计算好，己生计算时间。
KMP算法提前构建一个数组，用来存储模式串中的每个前缀的最长可匹配前缀字串结尾的字符下标。

我们把这个数组定义为next数组。

next数组

• 首先next数组的下标很好计算，就是前缀子串最后一个字符的下标。
• next数组对应的值为最长匹配前缀的结束字符下标，这个比较难理解，我举个例子：
  如上图中的好前缀：
  abab
  涉及到的后缀有：
  b ：因为要和模式串匹配，所以没有匹配的。
  ab ：有匹配的，b的下标为1
  bab：模式串开头为a，所以也不匹配。
  所以最终：next[3] =1
  只所以存储长度就够了，因为是好前缀规则，前缀是开始字符，所以只要存长度就行了。

Next数组求值

假如我们要计算上述例子中模式串b的next[4],我们把b[0,4]的所有后缀子串都找出来，然后跟模式串的前缀字串匹配：

查找所有后缀子串

如果按照这种next数组上面的方法来求值，虽然可以求出来，但是性能会很慢。
我们可以观察到：

互联网图

• 红色： 模式串b中K是已经匹配好的前后缀。
• 蓝色： 模式串b中当前匹配的位置，就是j。
• 橙色： 模式串中当前匹配的最长前缀的后一位，即为k。

如果b[j]== b[k],那么next[j]= nex[j-1]+1，因为匹配所以直接加一位即可。
如果b[j] != b[k],那么只能寻找更短的仙童前后缀匹配：

互联网图2

• 灰色 ：当前已经匹配好相同前后缀中的最长公共前后缀。
• 紫色： 当前已经匹配好的相同前后缀中的前缀的后一位。

查看蓝色和紫色是否匹配，此时又回到最初那一步，求解某个位置的next值是一个循环过程，不断检查上一位的最长前缀的后一位：
如果相等：next[j] = next[k] +1 否则：k = next[k]。

代码示例：

下面就借助next数组实现KMP算法：

// a, b 分别是主串和模式串；n, m 分别是主串和模式串的长度。
public static int kmp(char[] a, int n, char[] b, int m) {
  int[] next = getNexts(b, m);
  int j = 0;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    while (j > 0 && a[i] != b[j]) { // 一直找到 a[i] 和 b[j]
      j = next[j - 1] + 1;
    }
    if (a[i] == b[j]) {
      ++j;
    }
    if (j == m) { // 找到匹配模式串的了
      return i - m + 1;
    }
  }
  return -1;
}

next数组的求值如下：

// b 表示模式串，m 表示模式串的长度
private static int[] getNexts(char[] b, int m) {
  int[] next = new int[m];
  next[0] = -1;
  int k = -1;
  for (int i = 1; i < m; ++i) {
    while (k != -1 && b[k + 1] != b[i]) {
      k = next[k];
    }
    if (b[k + 1] == b[i]) {
      ++k;
    }
    next[i] = k;
  }
  return next;
}

算法复杂度分析

算法复杂度分为两部分：1，构建next数组；2.借助next数组匹配。
代码中i 从1增加到m，但是k并不是每次for循环都会增加，因此k增加的值肯定小于m。而while循环中k = next[k]，实际上在减少k的值，所以while循环中k = next[k]总执行次数不会超过m，故此得到next数组的复杂度为O(m)。

第二部分的时间复杂度：
i从0增加到n-1，j的增长量不超过i，所以肯定小于n，while中的那条语句j = next[j-1]+1,不会让j增长的，那又没有可能让j不变那，也没可能，因为next[j-1]的值肯定小于j-1，所以while循环实际上是让j在减少，j总共增长量不超过n，那么减少的量不可能超过n，所以while循环的总执行次数不会超过n，所以这部分时间复杂度为O(n).

综合来看，KMP的时间复杂度为O（m+n）。