统计基础09：置信区间与p值的计算

计算置信区间（Confidence Intervals，CI）的方法有很多种，bootstrapping仅仅是其中的一种。

1.bootstrap计算置信区间(CI)

Bootstrapping定义：对观测数据集进行有放回（replacement）的随机抽样，以评估总体的各项统计指标。
bootstrapping示例：对12个小鼠体重数据进行bootstrap计算，主要分以下步骤：
1）从该12个数据中有放回的随机选取12个样本(有些样本可能被抽2次及以上)；
2）计算第一次有放回随机选取12个样本的均值；
3）重复前两步的数据，直至计算出很多的均值（如均值数＞10,000）。

将bootstrapping重复10,000以上获得的均值们数据绘制在坐标轴上。

95%CI: 计算包含有95%均值们的区间，该含有95%均值们的区间被称之为95%CI。

99%CI: 计算包含有99%均值们的区间，该含有99%均值们的区间被称之为99%CI。

2.CI的作用

「小概率事件：95%CI包含95%的均值们，所以任何发生在95%CI之外事件的概率小于5%」。也就是说，任何发生在95%CI之外事件的p值小于5%，说明具有显著差异。

单样本与已知总体的检验

假设某样本均值位于95%CI范围内，那么说明该事件来自我们的样本总体，说明该样本与我们的总体不具有显著差异性；
假设某样本均值＜20，也就是说它不位于95%CI范围内，说明该事件不是来自我们的样本总体，该样本与我们的总体具有显著差异性。

两样本检验

假设上方的结果为雌性小鼠的体重结果，下方的结果为雄性小鼠的体重结果。黑色横线对应的部分分别为两样本的95%CI。当两样本的95%CI未发生重叠时，说明两样本数据具有显著差异性。
当两样本的95%CI未发生重叠时，对结果的判定稍微有点麻烦。在这种情况下，两样本数据仍然有可能性具有显著差异性，此时我们需要借助两样本t-test进行判定。

3.p值与概率（Probability）

p值与概率是相关的，但不是完全等同的。
「概率的定义较简单，概率（probability）=目标事件的发生次数/总事件的发生次数。」
「p值是随机生成某数据的概率，某数据由3部分组成：目标事件、概率等于或小于目标事件的其他事件。」

原文表述：P value is the probility that rendom chance generated the data,

P值计算的实例展示

1）分类变量中计算p值与概率（简单的例子）：随机掷两次硬币，两次结果均是正面朝上（HH）的概率（probability）为1/4；两次结果均是背面朝上（TT）的概率为1/4；一正一反（HT或TH）的概率为1/2。那么两次结果均是正面朝上（HH）的p值为多少呢？

HH的P值 = probability(HH，HH目标事件)+probabiltity(TT，与HH概率相等事件)+ probability(比HH概率更小事件)=0.25+0.25+0 = 0.5

2）分类变量中计算p值与概率（稍微复杂一点的例子）：如果掷5次硬币，那么5次均得到正面向上（HHHHH）的结果的概率为多少？对应的p值为多少呢？

Probability（HHHHH） = 1/32=0.03125

P-value(HHHHH)=probability(HHHHH，目标事件)+probabiltity(TTTTTT，与HHH HH概率相等事件)+ probability(比HHHHH概率更小事件)=1/32+1/32+0=0.0625

3）连续变量中计算概率与p值:

某个区间对应的 曲线下面积 代表该区 间范围内事件发生的 概率。142cm-169cm区间对应的分布曲线下面积为95%，提示样本中大多数身高数据居于142cm-169cm区间。

计算某人身高为142cm的P值：

P-value(142) = probability(142,目标事件)+probability(169,与142概率相等的事件)+probability（<142 和>169，比142概率更小的事件）= probability(≤142)+probability(≥169)=0.05

计算身高在155.4到156cm之间的概率和p值：

接着，在同样的案例中，再计算身高在155.4到156cm之间的概率和p值。由于区间非常窄，在155.4-156cm范围的概率仅为0.04，其对应的曲线下面积基本就相当于一条红线了，如下所示：

同前面的计算：

P-value(155.4-156)=probability(155.4-156) + probability(与155.4-156概率相同的事件)+probability(比155.4-156概率低的事件)=probability(155.4-156) + probability(与155.4-156概率相同的事件)+probability(<155.4或＞156)=0.04+0+(0.48+0.48)=1

注意，在该示例中，虽然身高在155.4-156cm范围的概率很小（0.04），但身高在155.4-156cm范围的p-value却很大（为1）。所以p值和概率是存在差异的。

4.小结

这一小节中，小编主要跟大家介绍了置信区间和p值的计算，相信大家对CI与p值的印象更加深刻了。我们的终极目标是，以后在运用中能够更加深刻的了解什么是CI,什么是P值。

参考视频：
1.https://www.youtube.com/watch?v=TqOeMYtOc1w&list=PLblh5JKOoLUK0FLuzwntyYI10UQFUhsY9&index=27
2.https://www.youtube.com/watch?v=vemZtEM63GY&list=PLblh5JKOoLUK0FLuzwntyYI10UQFUhsY9&index=10
3.https://www.youtube.com/watch?v=JQc3yx0-Q9E&list=PLblh5JKOoLUK0FLuzwntyYI10UQFUhsY9&index=11