高等数学——导数与微分

0. 预备

0.0 三角函数

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0.1 三角函数公式

• 和差角公式
• 和差化积公式
• 积化和差公式
• 二倍角公式

0.2 等差数列

• 其中等差数列的首项为 ，末项为 ，项数为 ，公差为 ，前 项和为 。
• 通项公式
• 求和公式

0.3 等比数列

• 其中 为首项， 为等比数列公比，为等比数列前 项和。
• 通项公式
• 求和公式

1. 集合

1.1 集合的运算法则

• 交换律：,
• 结合律：
• 分配律：
• 对偶律：，

2. 极限

2.1 无穷小

定理 1     有限个无穷小的和也是无穷小

定理 2     有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

推论 1     常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积是无穷小；

定理 3     如果 ，那么
(1)
(2)
(3) 若又有，则：

推论 2     如果 存在，而 为常数，则

推论 3     如果 存在，而 是正整数，则

定理 4     如果 ，而 ，那么

2.2 无穷小的比较

和 都是同一自变量的变化过程中的无穷小，且 ， 是在这个变化过程中的极限，则有以下定义：

• 如果 ，就说 是比 高阶的无穷小，记作
• 如果 ，就说 是比 低阶的无穷小
• 如果 ，就说 与 是同阶无穷小
• 如果 ，就说 是关于 的 阶无穷小
• 如果 ，就说 与 是等阶无穷小，记作

定理 1     和 是等价无穷小的充分必要条件为

定理 2     设 ，且 存在，则

2.3 极限存在准则

准则 1     如果数列 、 及 满足下列条件：
(1) 从某项起，即 ，当 时，有
(2)
那么数列 的极限存在，且

准则 1'     如果
(1) 当 （或 ）时，
(2)
那么 存在，且等于

准则 2     单调有界数列必有极限

柯西极限存在准则     数列 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ，存在着这样的正整数 ，使得当 时，就有 。

应用：

2.4 极限的求法

• 提取因式，做等价替换
• 改写成 或
• 有分母就通分，无分母创造分母
• 、、 套用以下公式
  
• 用泰勒公式进行展开时遵循两个原则
• 型 上下同阶原则：若分母（分子）是 的 次方，则将分子（分母）展开至 次方；
• 型 幂次最低原则：将 、 分别展开至系数不相等的 的最低次幂为止。

2.5 函数的连续性

结论 1     基本初等函数在它们的定义域内都是连续的
注：
(1) 高等数学将基本初等函数归为五类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
(2) 数学分析将基本初等函数归为六类：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常数函数。

结论 2     一切初等函数在其定义区间内都是连续的
注：
(1) 初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生，并且能用一个解析式表示的函数。

零点定理     设函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即 ），那么在开区间 内至少有一点 ，使

介值定理     设函数 在闭区间 上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 ，那么对于 与 之间的任意一个数 ，在开区间 内至少有一点 ，使

2. 导数

2.1 定义

设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 在 处取得增量 （点 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量 ；如果 与 之比当 时极限存在，则称函数 在点 处可导，并称这个极限为函数 在点 处的导数，记为 ，即

2.2 函数可导性与连续性

函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

2.3 基本求导法则与导数公式

• 常数和基本初等函数的导数公式

• 函数的和、差、积、商的求导法则
  如果函数 及 都在点 具有导数，那么他们的和、差、积、商（分母为零的点除外）都在点 具有导数，且
  (1)
  (2)
  (2)
  (3)

• 反函数的求导法则
  反函数的导数等于直接函数的导数的倒数，即

• 参数方程求导
  设函数 由
  
  确定， 为参数，则

• 隐函数求导
  方程两边分别对 求导即可，把方程中的 看作 。

• 对数求导法
  例如：

• 幂指函数求导
  例如：

• 复合函数的求导法则
  设 ，而 且 及 都可导，则复合函数 的导数为

• 变限积分求导
  

• 阶导数

2.4 导数的应用

极值的判别     设 在 处 阶可导，且 ，但，则当 为偶数时，

拐点的判别     设 在 处 阶可导，且 ，但，则当 为奇数时， 为曲线的拐点。

渐近线    
(1) 则函数存在渐近线 ；
(2) 则函数存在渐近线 ；
(3)
则函数存在渐近线

3. 微分

3.1 定义

设函数 在某区间内有定义， 及 在这区间内，如果增量 可以表示为 其中 是不依赖于 的常数，那么称函数 在点 是可微的，而 叫做函数 在点 相应于自变量增量 的微分，记作 ，即

结论 1     函数 在点 可微的充分必要条件是函数 在点 可导，且当 在点 可微时，其微分一定是

3.2 微分公式

• 基本初等函数的微分公式

• 
  注：其他也与导数类似

• 微分近似公式（假定 是较小的数值）

3.3 微分中值定理

费马引理     设函数 在点 的某领域 内有定义，并且在 处可导，如果对任意的 ，有 那么

罗尔定理     如果函数 满足
(1) 在闭区间 上连续
(2) 在开区间 内可导
(3) 在区间端点处的函数值相等，即
那么在 内至少有一点 ，使得

拉格朗日中值定理     如果函数 满足
(1) 在闭区间 上连续
(2) 在开区间 内可导
那么在 内至少有一点 ，使等式 成立

柯西中值定理     如果函数 及 满足
(1) 在闭区间 上连续
(2) 在开区间 内可导
(3) 对任一
那么在 内至少有一点 ，使等式 成立

3.4 泰勒展开式

百科：   若函数 在包含 的某个闭区间 上具有 阶导数，且在开区间 上具有 阶导数，则对闭区间 上任意一点 ，下式成立：

其中 是泰勒公式的余项，是 的高阶无穷小。

泰勒中值定理     如果函数 在含有 的某个开区间 内具有直到 阶的导数，则对任一 ，有其中 这里 是 与 之间的某个值。

麦克劳林公式     在泰勒公式中，如果取 ，则 在 与 之间，因此，可以令 ，则泰勒公式可以写成

常用函数的泰勒展开式