CodeForces - 560E Gerald and Giant Chess(组合数学+dp)

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题目大意：给出一个 $n\ast m$ 的矩阵，其中有 $k$ 个坏点，每次只能向右走或向下走，问从点 $(1,1)$ 到点 $(n,m)$ 共有多少种不同的路线

题目分析：刷知乎看到的一道题，心血来潮就想写题了

数据范围 $n,m$ 都是 $1e5$ 级别的，而 $k$ 却只有 $2000$，所以从坏点入手，考虑 $dp$ 和组合数学

首先对于两个点 $(x1,y1)$ 和 $(x2,y2)$ 来说，如果没有坏点的限制，那么这两个点之间的路线有 $C_{(x2-x1)+(y2-y1)}^{x2-x1}$ 条，下面可以分两步进行思考，对于每个坏点 $(x,y)$ 来说：

1. 加上点 $(1,1)$ 到点 $(x,y)$ 之间方案数
2. 对于每个满足 $xx<=x$ 且 $yy<=y$ 的坏点 $(xx,yy)$ 来说，点 $(1,1)$ 经过点 $(xx,yy)$ 然后到达点 $(x,y)$ 的这些路线显然是不合法的，减去即可

综上所述，将所有坏点排序之后的转移方程就是（设 $f_{(x1,y1)}^{(x2,y2)}$ 为坏点 $(x1,y1)$ 到坏点 $(x2,y2)$ 的方案数，$d{p}_i$ 为点 $(1,1)$ 到第 $i$ 个坏点的方案数）：
$$\begin{gathered} d{p}_i=f_{(1,1)}^{(p_i.x,p_i.y)} \\ -[p_j.x<=p_i.x\&\&p_j.y<=p_i.y]\ast d{p}_j\ast f_{(p_i.x,p_i.y)}^{(p_j.x,p_j.y)} \end{gathered}$$
将点 $(n,m)$ 设为第 $k+1$ 个坏点，那么答案自然就是 $d{p}_{k+1}$ 了

代码：

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include
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#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
     
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){
     if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
     
	if(x<0){
     x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
const int mod=1e9+7;
struct Point {
     
	int x,y;
	void input() {
     
		read(x),read(y);
	}
	bool operator<(const Point& t)const {
     
		if(x!=t.x) {
     
			return x<t.x;
		}
		return y<t.y;
	}
}p[N];
LL dp[N],fac[N],inv[N];
LL q_pow(LL a,LL b) {
     
	LL ans=1;
	while(b) {
     
		if(b&1) {
     
			ans=ans*a%mod;
		}
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
LL C(int n,int m) {
     
	if(n<m) {
     
		return 0;
	}
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
void init() {
     
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<N;i++) {
     
		fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	}
	inv[N-1]=q_pow(fac[N-1],mod-2);
	for(int i=N-2;i>=0;i--) {
     
		inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	}
}
int main()
{
     
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("data.in.txt","r",stdin);
//  freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);
	init();
	int n,m,k;
	read(n),read(m),read(k);
	for(int i=1;i<=k;i++) {
     
		p[i].input();
	}
	p[++k]={
     n,m};
	sort(p+1,p+1+k);
	for(int i=1;i<=k;i++) {
     
		dp[i]=C((p[i].x-1)+(p[i].y-1),(p[i].x-1));
		for(int j=1;j<i;j++) {
     
			if(p[i].x>=p[j].x&&p[i].y>=p[j].y) {
     
				dp[i]=(dp[i]-dp[j]*C((p[i].x-p[j].x)+(p[i].y-p[j].y),p[i].x-p[j].x)%mod+mod)%mod;
			}
		}
	}
	write(dp[k]);
    return 0;
}