二叉查找树，平衡二叉树，B树，红黑树（图解）

1、二叉查找树

二叉查找树 BST（binary search/sort tree）又叫二叉搜索树或者二叉排序树，它首先是一个二叉树，而且必须满足下面的条件：

1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根节点的值（左小）

2）若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值（右大）

3）左、右子树也分别为二叉排序树

2、平衡二叉树

平衡二叉树（AVL树)，又称自平衡二叉查找树。平衡二叉树必定是二叉搜索树，反之则不一定。满足下面的条件：

1、左结点小于根节点，右结点大于根节点

2、左子树和右子树的高度差不得超过1。这里通过平衡因子记录左右子树的高度差。平衡因子：左子树的高度减去右子树的高度。由平衡二叉树的定义可知，平衡因子的取值只可能为0,1,-1.分别对应着左右子树等高，左子树比较高，右子树比较高。

引用： https://blog.csdn.net/sdujava2011/article/details/69943857  

AVL树失衡旋转调整过程

引用：https://blog.csdn.net/sdujava2011/article/details/69943857      

       AVL树的查找稳定，查找、插入、删除的时间复杂度都为O（logN），但是由于要维持自身的平衡，所以进行插入和删除结点操作的时候，需要对结点进行频繁的旋转。

      AVL树的失衡调整主要是通过旋转最小失衡子树来实现的。最小失衡子树：在新插入的结点向上查找，以第一个平衡因子的绝对值超过1的结点为根的子树称为最小不平衡子树。只要调整最小不平衡子树，就能够将不平衡的树调整为平衡树。

还有一种情况：通过旋转后仍然不平衡

这种情况属于LR型

第一个字母表示最小不平衡子树根结点的平衡因子，第二个字母表示最小不平衡子树较高子树的根结点的平衡因子。使用L表示左子树较高，R表示右子树较高，E表示左右子树等高。

当然还有其他情况：LL型、LE型、RR型、RL型、RE型...

B树的引出：

       AVL树每一个节点只能存放一个元素，并且每个节点只有两个子节点。当进行查找时就需要多次磁盘IO（数据是存放在磁盘中的，每次查询是将磁盘中的一页数据加入内存，树的每一层节点存放在一页中，不同层数据存放在不同页）这样如果需要多层查询就需要多次磁盘IO。为了解决AVL树的这个问题，就出现了B树。

引用：https://blog.csdn.net/z_ryan/article/details/79685072

我们为了减少磁盘ＩＯ的次数，就必须降低树的深度，将“瘦高”的树变得“矮胖”。一个基本的想法就是： 
　　（1）、每个节点存储多个元素 
　　（2）、摒弃二叉树结构，采用多叉树

　   这样就引出来了一个新的查找树结构 ——多路查找树。 根据AVL给我们的启发，一颗平衡多路查找树(B~树)自然可以使得数据的查找效率保证在O(logN)这样的对数级别上。

 

3、B树

B树（Blance-Tree）平衡树，也叫作B-树。一个m阶的B树规定了：

1.根结点至少有两个子女。

2.每个中间节点都包含k-1个元素和k个孩子，其中 m/2 <= k <= m 。

3.每一个叶子节点都包含k-1个元素，其中 m/2 <= k <= m。

4.所有的叶子结点都位于同一层。

5.每个节点中的元素从小到大排列，节点当中k-1个元素正好是k个孩子包含的元素的值域分划。

时刻保证：左子小于根节点小于右子

引用：http://blog.jobbole.com/111757/

查找节点8时，在二叉搜索树中4次IO操作，B树只用了3次。虽然B树节点所含的元素多不过只是多了几次内存交互而已。

B树的特点：树的高度越低，IO操作足够少，内存交互可以忽略，查找性能越好。

 

B树插入和删除元素

时刻保证：左子小于根节点小于右子这个规则旋转

B树主要用于数据库索引（非关系型MongoDB），文件系统等。

 

4、B+树

在B树基础上的优化，查找性能更好。一个m阶的B+树具有如下几个特征：

1.有k个子树的中间节点包含有k个元素（B树中是k-1个元素），每个元素不保存数据，只用来索引，所有数据都保存在叶子节点。

2.所有的叶子结点中包含了全部元素的信息，及指向含这些元素记录的指针，且叶子结点本身依关键字的大小自小而大顺序链接。

3.所有的中间节点元素都同时存在于子节点，在子节点元素中是最大（或最小）元素。

 

B+树的优势：

1.单一节点存储更多的元素，使得查询的IO次数更少。

2.所有查询都要查找到叶子节点，查询性能稳定。

3.所有叶子节点形成有序链表，便于范围查询。

5、红黑树

      红黑树（RB-Tree）是一种自平衡的二叉查找树，它的节点的颜色为红色和黑色。它不严格控制左、右子树高度或节点数之差小于等于1。也是一种解决二叉查找树极端情况的数据结构。红黑树的特性:

1.节点是红色或黑色。

2.根节点是黑色。

3.每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL节点）。

4 每个红色节点的两个子节点都是黑色。也就是说从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点。

5.从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

      红黑树能够以O(logN)的时间复杂度进行搜索、插入、删除操作。红黑树在查找方面和AVL树操作几乎相同。但是在插入和删除操作上，AVL树每次插入删除会进行大量的平衡度计算，红黑树是牺牲了严格的高度平衡的优越条件为代价，它只要求部分地达到平衡要求，结合变色，降低了对旋转的要求，从而提高了性能。任何不平衡都会在三次旋转之内解决。

      红黑树广泛用于TreeMap、TreeSet，以及JDK1.8的HashMap。
 

结束。