中国剩余定理（孙子定理）详解

题目引出

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

解决方法

• 1.找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。
• 2.用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗2得到和233。
• 3.用233除以3，5，7三个数的最小公倍数105，得到余数23，即233%105=23。这个余数23就是符合条件的最小数。

思路探讨

为什么要这样做呢？
我们先把题目理清楚：
我们假设一个x，x为要求的数字
那么根据题意：x%3 = 2，x%5 = 3,x%7 = 2

• 我们假设一个x1，x2，x3，其中三个未知数满足以下条件
• 一：x1%3 = 2
• 二：x2%5 = 3（假设三个未知数与上面的x没有联系）
• 三：x3%7 = 2
  我们假设，如果（x1+x2）%3 = 2的话，那x2必为3的倍数
  同理就可以得到（x1+x3）%3 = 2的话，那x3必为3的倍数

如此下来可以假设到：

x1为5和7的倍数
x2为3和7的倍数
x3为3和5的倍数

那么我们可以发现，是不是把x1和x2，x3加起来就是x的解？
（x1+x2+x3）%3 = x1%3 = 2（因为x2，x3是3的倍数）
（x1+x2+x3）%5 = x2%5 = 3（因为x1，x3是5的倍数）
（x1+x2+x3）%7 = x3%7 = 2（因为x1，x2是7的倍数）

既然我们找到了x，那怎么求解x1，x2，x3？

在这里我们先引用一个定理：
如果a%b=c，那么ka%b=a%b+a%b…(k个a%b)…+a%b=kc（k为常数）（把c=a%b代入公式）

因为x1是5和7的倍数，那x1可以用35 *k1表示（x1=35 *k1）
所以35 *k1%3 = 2
那么35 *k1 *1/2%3=1（k1乘以1/2）
那么再转换就可以得出35 *k1 *1/2= 1 mod（3）（没错，这个就化成了费马小定理求逆元）
至此，k1就求出了，再用x1=35 *k1求出x1。
同理可求出k2，k3

那x真的只是（x1+x2+x3）?
答案是否定的
应该是（x1+x2+x3）%（3 *5 *7）

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原题解答

根据上面的推导，原题的
35 *k1 *1/2%3=1算出的k1为4
21 *k2 *1/3%5=1算出的k2为3
15 *k3 *1/2%7=1算出的k3为2
那么x=（x1+x2+x3）=（35 *k1 + 21 *k2 + 15 *k3）=（35 *4+21 *3+15 *2）=233
x%（3 *5 *7）=233%105=23
则问题的答案为23
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方法延伸

如果有k组数要你求x呢？
比如
x除以m1得到a1
x除以m2得到a2
…
x除以mk得到ak
此时要你求x该怎么求？
我们来看上面得到的x1
x1=35 *k1
35=5 *7
那么35可以简单看做除了3之外所有除数的乘积
k1可以看做35关于3的逆元（35 *k *1/2%3=1）···下面有引用

e对于phi的模逆元素d可以表示为：
e*d ≡1(mod phi)（取自我的上一篇博客RSA）

所以x1-xk的所有表达可为（这里使用上面m1，a1,k条件）

x=（M₁*a1 *M₁^-1+M₂ *a2 *M₂^-1…+M_k *a_k *M_K^-1）
（其中M=m₁ *m₂ *… *m_k）
（M_i=M/m_i）
（M_i^-1是M_i关于模m_i的逆元）

可能看起来有点晦涩难懂，遂给出点解释希望能容易懂一点
解释：
先来看看第一个：M₁*a1 *M₁^-1
M₁=M/m₁（因为M_i=M/m_i）
而M=m₁ *m₂ *… *m_k
遂M₁=m₂ *m₃ *… *m_k（没有m1）是不是就是上面说的35的拆解

再来看看第二和第三个：a1 *M₁^-1
因为M₁^-1=M₁关于模m₁的逆元（再在前面乘个a1）
上个式子可以简单表示为M₁ *a1 *M₁^-1%m₁=1
再看看下面的这个

k1可以看做35关于3的逆元（35 *k~1~ *1/2%3=1）

这个k1可以这么化解呢？
把k₁ *1/2看成一个整体，35是不是可以看成M₁？（原因见上面棕字）3不就是m1?（这还要我解释吗？）
然后再看这个公式：M₁ * a1 *M₁^-1%m₁=1
是不是k₁ *1/2就是a1 *M₁^-1
而1/2可以看做a1
k₁上面也有说明是可以看做M₁^-1

至此第一个：M₁*a1 *M₁^-1便解释清楚了，后面的第二个第三个一次类推于是构成了中国剩余定理公式

文章部分内容参考自：https://www.cnblogs.com/MashiroSky/p/5918158.html，侵删