姓名：方文 19021210911
转载自：https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/45130793
【嵌牛导读】压缩感知以信号的稀疏特性为基础，相较于奈奎斯特采样定理，可以以较少的采样值来恢复出原始信号，因此压缩感知理论被广发应用信号处理等领域中。
【嵌牛鼻子】压缩感知 OMP
【嵌牛提问】压缩感知算法的思想？
【嵌牛正文】
本篇给出正交匹配追踪(OMP)算法的MATLAB函数代码，并且给出单次测试例程代码、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码、信号稀疏度K与重构成功概率关系曲线绘制例程代码。
0、符号说明如下：
压缩观测y=Φx，其中y为观测所得向量M×1，x为原信号N×1（M< (1) y为观测所得向量，大小为M×1 (2)x为原信号，大小为N×1 (3)θ为K稀疏的，是信号在x在某变换域的稀疏表示 (4)Φ称为观测矩阵、测量矩阵、测量基，大小为M×N (5)Ψ称为变换矩阵、变换基、稀疏矩阵、稀疏基、正交基字典矩阵，大小为N×N (6)A称为测度矩阵、传感矩阵、CS信息算子，大小为M×N 上式中，一般有K< 1、OMP重构算法流程： 2、正交匹配追踪(OMP)MATLAB代码(CS_OMP.m) function [ theta ] = CS_OMP( y,A,t ) %CS_OMP Summary of this function goes here %Version: 1.0 written by jbb0523 @2015-04-18 % Detailed explanation goes here % y = Phi * x % x = Psi * theta % y = Phi*Psi * theta % 令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta % 现在已知y和A，求theta [y_rows,y_columns] = size(y); if y_rows y = y';%y should be a column vector end [M,N] = size(A);%传感矩阵A为M*N矩阵 theta = zeros(N,1);%用来存储恢复的theta(列向量) At = zeros(M,t);%用来迭代过程中存储A被选择的列 Pos_theta = zeros(1,t);%用来迭代过程中存储A被选择的列序号 r_n = y;%初始化残差(residual)为y for ii=1:t%迭代t次，t为输入参数 product = A'*r_n;%传感矩阵A各列与残差的内积 [val,pos] = max(abs(product));%找到最大内积绝对值，即与残差最相关的列 At(:,ii) = A(:,pos);%存储这一列 Pos_theta(ii) = pos;%存储这一列的序号 A(:,pos) = zeros(M,1);%清零A的这一列，其实此行可以不要，因为它与残差正交 %y=At(:,1:ii)*theta，以下求theta的最小二乘解(Least Square) theta_ls = (At(:,1:ii)'*At(:,1:ii))^(-1)*At(:,1:ii)'*y;%最小二乘解 %At(:,1:ii)*theta_ls是y在At(:,1:ii)列空间上的正交投影 r_n = y - At(:,1:ii)*theta_ls;%更新残差 end theta(Pos_theta)=theta_ls;%恢复出的theta end 3、OMP单次重构测试代码(CS_Reconstuction_Test.m) 代码中，直接构造一个K稀疏的信号，所以稀疏矩阵为单位阵。 %压缩感知重构算法测试 clear all;close all;clc; M = 64;%观测值个数 N = 256;%信号x的长度 K = 10;%信号x的稀疏度 Index_K = randperm(N); x = zeros(N,1); x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的 Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵 A = Phi * Psi;%传感矩阵 y = Phi * x;%得到观测向量y %% 恢复重构信号x tic theta = CS_OMP(y,A,K); x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta toc %% 绘图 figure; plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号 hold on; plot(x,'r');%绘出原信号x hold off; legend('Recovery','Original') fprintf('\n恢复残差：'); norm(x_r-x)%恢复残差 4、测量数M与重构成功概率关系曲线绘制例程代码 %压缩感知重构算法测试CS_Reconstuction_MtoPercentage.m % 绘制参考文献中的Fig.1 % 参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert % Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching % Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12, % DECEMBER 2007. % Elapsed time is 1171.606254 seconds.(@20150418night) clear all;close all;clc; %% 参数配置初始化 CNT = 1000;%对于每组(K,M,N)，重复迭代次数 N = 256;%信号x的长度 Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta K_set = [4,12,20,28,36];%信号x的稀疏度集合 Percentage = zeros(length(K_set),N);%存储恢复成功概率 %% 主循环，遍历每组(K,M,N) tic for kk = 1:length(K_set) K = K_set(kk);%本次稀疏度 M_set = K:5:N;%M没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了 PercentageK = zeros(1,length(M_set));%存储此稀疏度K下不同M的恢复成功概率 for mm = 1:length(M_set) M = M_set(mm);%本次观测值个数 P = 0; for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次 Index_K = randperm(N); x = zeros(N,1); x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的 Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵 A = Phi * Psi;%传感矩阵 y = Phi * x;%得到观测向量y theta = CS_OMP(y,A,K);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P = P + 1; end end PercentageK(mm) = P/CNT*100;%计算恢复概率 end Percentage(kk,1:length(M_set)) = PercentageK; end toc save MtoPercentage1000 %运行一次不容易，把变量全部存储下来 %% 绘图 S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*']; figure; for kk = 1:length(K_set) K = K_set(kk); M_set = K:5:N; L_Mset = length(M_set); plot(M_set,Percentage(kk,1:L_Mset),S(kk,:));%绘出x的恢复信号 hold on; end hold off; xlim([0 256]); legend('K=4','K=12','K=20','K=28','K=36'); xlabel('Number of measurements(M)'); ylabel('Percentage recovered'); title('Percentage of input signals recovered correctly(N=256)(Gaussian)'); 5、信号稀疏度K与重构成功概率关系曲线绘制例程代码 %压缩感知重构算法测试CS_Reconstuction_KtoPercentage.m % 绘制参考文献中的Fig.2 % 参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert % Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching % Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12, % DECEMBER 2007. % Elapsed time is 1448.966882 seconds.(@20150418night) clear all;close all;clc; %% 参数配置初始化 CNT = 1000;%对于每组(K,M,N)，重复迭代次数 N = 256;%信号x的长度 Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta M_set = [52,100,148,196,244];%测量值集合 Percentage = zeros(length(M_set),N);%存储恢复成功概率 %% 主循环，遍历每组(K,M,N) tic for mm = 1:length(M_set) M = M_set(mm);%本次测量值个数 K_set = 1:5:ceil(M/2);%信号x的稀疏度K没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了 PercentageM = zeros(1,length(K_set));%存储此测量值M下不同K的恢复成功概率 for kk = 1:length(K_set) K = K_set(kk);%本次信号x的稀疏度K P = 0; for cnt = 1:CNT %每个观测值个数均运行CNT次 Index_K = randperm(N); x = zeros(N,1); x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的 Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵 A = Phi * Psi;%传感矩阵 y = Phi * x;%得到观测向量y theta = CS_OMP(y,A,K);%恢复重构信号theta x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta if norm(x_r-x)<1e-6%如果残差小于1e-6则认为恢复成功 P = P + 1; end end PercentageM(kk) = P/CNT*100;%计算恢复概率 end Percentage(mm,1:length(K_set)) = PercentageM; end toc save KtoPercentage1000test %运行一次不容易，把变量全部存储下来 %% 绘图 S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*']; figure; for mm = 1:length(M_set) M = M_set(mm); K_set = 1:5:ceil(M/2); L_Kset = length(K_set); plot(K_set,Percentage(mm,1:L_Kset),S(mm,:));%绘出x的恢复信号 hold on; end hold off; xlim([0 125]); legend('M=52','M=100','M=148','M=196','M=244'); xlabel('Sparsity level(K)'); ylabel('Percentage recovered'); title('Percentage of input signals recovered correctly(N=256)(Gaussian)');