任意四面体的外接球的半径(克列尔(A.L.Crelle)公式)

【问题提出】克列尔(A.L.Crelle)公式

对任意四面体 ABCD A B C D ，其体积 V V 和外接球半径 R R 满足

6RV=p(p−aa1)(p−bb1)(p−cc1)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√. 6 R V = p ( p − a a 1 ) ( p − b b 1 ) ( p − c c 1 ) .

其中 p=12(aa1+bb1+cc1) p = 1 2 ( a a 1 + b b 1 + c c 1 ) ， a,a1,b,b1,c,c1 a , a 1 , b , b 1 , c , c 1 分别为四面体的三组对棱的长.

 

允许我先跑个题且在正文里介绍下近代欧氏几何学中的布洛卡点. 克列尔(1780-1855)法国数学家和数学教育家，布洛卡点早在1816年就被克列尔首次发现，1875年被法国军官布洛卡(Brocard)重新发现此特殊点并用他的名字命名，这才引起莱莫恩，图克等一大批数学家兴趣，一时形成了一股研究“三角形几何”的热潮.

 

【布洛卡点】 2013年全国卷I第17题的背景是也

点 P P 是 △ABC △ A B C 内部一点，若 ∠PAB=∠PBC=∠PCA=α ∠ P A B = ∠ P B C = ∠ P C A = α ，则称 α α 为布洛卡角，点 P P 为布洛卡点.

这里说个特殊情况，当 α=30∘ α = 30 ∘ 时，则此 △ABC △ A B C 为正三角形，这是个看似简单实难的几何题.

 

【简单引理】四面体的体积公式之一

V=23a⋅S1S2⋅sinθ V = 2 3 a ⋅ S 1 S 2 ⋅ sin ⁡ θ ，其中， S1,S2 S 1 , S 2 为以 a a 为公共棱的两个面的面积， θ θ 为这两个面所成的二面角.

此式的证明极易，只需要将 V=13Sh V = 1 3 S h 中的 h h 用这两个面的夹角表示即可.

 

【问题解决】 辅助线爽心悦目，千锤百炼，叹为观止

证明：如图所示，过 A A 作四面体外接球的切面 α α ，过 D D 作平面 ABC A B C 平行平面 β β .

平面 α α ，平面 β β ，平面 ABD A B D 相交于点 E E ；

平面 α α ，平面 β β ，平面 ACD A C D 相交于点 F F .

平面 β\sslash β \sslash 平面 ABC A B C ，平面 ACD A C D 与这两面均相交，由平面平行性质可知 AC\sslashDF A C \sslash D F ，需要提醒的是， AC A C 与 DF D F 是否相等无法判断.

于是 ∠ADF=∠DAC ∠ A D F = ∠ D A C ，由于平面 α α 是四面体外接球的{\FZK \color{red}切面}，所以在平面 ACD A C D 中， AF A F 是 ⊙ACD ⊙ A C D 在点 A A 的切线，由弦切角定理，知 ∠FAD=∠ACD ∠ F A D = ∠ A C D ，所以

△FAD∼△DCA⇒AFa=cb⇒AF=acb. △ F A D ∼ △ D C A ⇒ A F a = c b ⇒ A F = a c b .

同理由 AB\sslashDE A B \sslash D E ，有 ∠ADE=∠DAB ∠ A D E = ∠ D A B 在平面 ABD A B D 中 AE A E 为 ⊙ABD ⊙ A B D 的切线，有 ∠EAD=∠ABD ∠ E A D = ∠ A B D ，所以

△EAD∼△DBA⇒AEb1=ca1⇒AE=b1ca1. △ E A D ∼ △ D B A ⇒ A E b 1 = c a 1 ⇒ A E = b 1 c a 1 .

下面求 EF E F 的长.

同样的方法，如图，作平面 γ \sslash γ   \sslash 平面 ACD A C D ，这样三面相交得到点 G G ， H H .

同样可得

AG=a1c1b,AH=a1b1c. A G = a 1 c 1 b , A H = a 1 b 1 c .

平面 α ∩ α   ∩ 平面 ABC=AG A B C = A G ，平面 α ∩ α   ∩ 平面 β=EF β = E F ，平面 ABC\sslash A B C \sslash 平面 β β ，于是 AG\sslashEF A G \sslash E F ，同理知 GH\sslashAF G H \sslash A F ，而 H,A,E H , A , E 在一条线(平面 α α 与平面 ABD A B D 的交线)上，所以

△EFA∼△AGH⇒EFAG=AEAH⇒EF=c2c1a1b. △ E F A ∼ △ A G H ⇒ E F A G = A E A H ⇒ E F = c 2 c 1 a 1 b .

将 △AEF △ A E F 放缩 a1bc a 1 b c 倍，就得到三边为 aa1 a a 1 ， bb1 b b 1 ， cc1 c c 1 的三角形，由海伦公式，将此三角形的面积记为

S=p(p−aa1)(p−bb1)(p−cc1)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√. S = p ( p − a a 1 ) ( p − b b 1 ) ( p − c c 1 ) .

设点 D D 在四面体 ABCD A B C D 外接球过 A A 的直径上的投影为 D′ D ′ ，则

h=AD′=AD22R=c22R. h = A D ′ = A D 2 2 R = c 2 2 R .

这样一来，

V1=VD−AEF=13S(ca1b)2h=c4a21b2⋅S6R. V 1 = V D − A E F = 1 3 S ( c a 1 b ) 2 h = c 4 a 1 2 b 2 ⋅ S 6 R .

另一方面，四面体 ADEF A D E F 与四面体 ABCD A B C D 的体积比为

V1V=S△ADF⋅S△ADES△ACD⋅S△ABD=S△ADFS△ACD⋅S△ADES△ABD=(AFa)2⋅(AEb1)2=c2b2⋅c2a21=c4a21b2 V 1 V = S △ A D F ⋅ S △ A D E S △ A C D ⋅ S △ A B D = S △ A D F S △ A C D ⋅ S △ A D E S △ A B D = ( A F a ) 2 ⋅ ( A E b 1 ) 2 = c 2 b 2 ⋅ c 2 a 1 2 = c 4 a 1 2 b 2

∴V1=c4a21b2⋅V. ∴ V 1 = c 4 a 1 2 b 2 ⋅ V .

从而

6RV=p(p−aa1)(p−bb1)(p−cc1)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√ 6 R V = p ( p − a a 1 ) ( p − b b 1 ) ( p − c c 1 )

. \qed

 

PS:高考中的热点与难点
PSS:1988年赵光明 、武建沛在《数学教学》发表了“任意四面体外接球半径的计算公式”，从角出发；本文从六条边出发，即 克列尔(A.L.Crelle)公式，参考了唐立华著的《向量与立体几何》；沈文选、张垚、冷岗松著的《奥林匹克数学中的几何问题》
PSSS:\sslash 表示平行