（8.1）James Stewart Calculus 5th Edition：Arc Length

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Arc Length

我们知道，圆是由无数个三角形的边长求和得到的，如下图：

我们的函数的弧长也类似：

当我们的点取得比较多的时候，就会：

对应的弧长，也就是线段的和，可以表示为：

这个时候，每一段可以表示为：

有之前的中值定理，我们可以知道在 [xi-1, xi]的区间上，有

所以，对应的这2点的距离可以表示为：

所以，对应的长度，就是对应线段的和：

我们知道，可以表示为：

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The Arc Length Formula 弧长公式

或者 用 莱布尼兹写法：

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例子1

半立方抛物线？？ 这名词....
也就是求一个函数，2个点之间的弧长
这2个点，我们知道对应的x取值范围
可以得到对应的表达式为

在具体去掉y，可以得到：

设

则:

当x=1， u = 13/4， 当 x = 4， u = 10
所以有：

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x和y交换

之前是在 a，b 范围内， 求 x 的积分
其实， 我们反过来想， 是一样的（当然，对应y的函数反过来要连续）
这个时候， 范围就变成 c，d 了，即：

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例子2

由 x = y^2 ， 有 dx / dy = 2y
可以得到：

我们可以设y = tanθ / 2，则

简单化简得：

我们由tanα = 2， 可以得到

有

所以：

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The Arc Length Function 弧长函数

我们看一下定义：

也就是
在[a，b]上， y = f(x) 沿着初始点P(a，f(a))，到 点Q（x，f(x)）
对应的长度的函数
【其实，就是把常量换成了变量，扯了这么久....】

一些其他的写法：

或者

或者

或者反过来：

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例子4

我们可以简单求得：

有：

则：

所以，弧长的函数为：