傅里叶变换尺度变换性质_傅里叶变换纪实

本文将以自言自语的角度整理作者学习傅里叶时的部分公式与定理

简而言之，定理、性质及其推导的速查表

某些推导会可以忽略成立条件以求简洁。（因为一般都成立

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一，傅里叶级数

我觉得这个像呼吸一样自然的东西应该是十分简单明了：

周期函数可以写成三角级数的和

只需要满足：

1. 在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；
2. 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。

似乎也是呼吸一样自然啊(喜)

写点直观的：

若

则存在

为什么直流项要用a呢，因为直流也是偶的。(笑)

实际上也很显然分为三部分：

直流，偶，奇。

接下来给出一些看算能看得过去的计算过程

这里不做数学上的严谨而追求形式上的浪漫。

规定完全正交基

为啥完全呢，我也说不好，但正交很好解释，就是两两内积是0嘛.

有没有觉得最后一条不好看，是叛徒，我也这样想，要把

里的1换成

罢，也不好看。

规定内积括号

我们把式

抓过来，易得：

可得

同理可得

好，傅里叶级数出来了。

但是因为我们选取的1.1式不够漂亮，搞得一起用正余弦，那么就用欧拉公式把正余弦统一。

就让

好了。

还是看看正交性：

注意对于复数函数，内积中第二函数要变为共轭

即

类似于上面的推导，我们得到

赞美啊！直流项和交流项的系数统一了，这是因为正负的共轭项相抵消了。

那么就是傅里叶级数变换对：

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易证当

时

(这一点会在傅里叶变换里仔细说明)

那么就有

继续赞美！这也解释为啥直流量要多除一个2了。它2出来了。

同时我们也发现了一写小性质，

比如说若

则

什么的，这些在傅里叶里会细讲。

这里说一下帕塞瓦尔定理：

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二，傅里叶变换

看来我也得类似的推广一下

就是一个傅里叶级数的周期趋向于无穷，然后频谱就连续了什么的。

然后要说这个虽然在这个过程每个幅度都趋向于0然后但仍然有相对大小，然后乘上一个正在趋向于无穷大的周期T，就刚好变成了一个大小差不多的东西...

但我不太喜欢这个东西，我更喜欢把这个定义当作呼吸一样自然的东西。：

记作

存在条件是绝对可积。

我开始呼吸了，嘶哈嘶哈。

她好漂亮啊。

物理意义？就是每个频率上的相对幅度大小，或者说“密度”。

你要说反变换的系数不漂亮？

要么一边一半，要么把模拟角频率换成模拟频率。

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这里我想介绍一下卷积：

，性质略

知道交换律结合律就差不多

还有一个

然后说一下我最喜欢的deltan

函数

就这样慢慢体会。

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然后给出几条傅里叶变换的性质

设

1，线性：

其实就是积分的线性

2，对偶性

对反变换式做变量代换

得

，对比正变换易证

3，尺度变换

也是变量代换。

4，时移性质

证：

5，频移性质

证：

6，时域微分

证：

显然得证

(若f(t)有直流量会被求导掉，需要单独做广义傅里叶变换)

7，频域微分

证：

显然得证

8，时域卷积

证：

9，频域卷积

证：

我们有了这九条性质...就算几个看看吧

什么时域越宽频域越窄也体现出来了。

然后接着讲性质：

这四条很容易证明，用

把积分拆成实部和虚部两个就能证出来。

然后是帕塞瓦尔定理

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然后顺便说一下希尔伯特变换

对于一个因果信号，即

举一例：

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现在我们在回去看一下周期函数的傅里叶变换

设单个周期为

则以周期

延拓之后就是

问题是，后者的傅里叶变换是什么？

那么

呼吸顺畅，你看看，就是频域以

间隔抽样了嘛。

由此我们推导出了傅里叶级数。

最后简单讲讲应用：

电路分析里用复数分析能够得到一个电路的增益

就是

，这个刚好是这个的电路单位冲激响应

的傅里叶变换

输入信号

的响应就是

我觉得要是用FT分析电路的话，不如在拉普拉斯变换里一起讲，我更原意把拉氏变换当作分析系统的手段，所以我目前的思路里没有拉普拉斯变换。

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三，离散时间傅里叶变换

预备知识：

离散函数

仅当宗量为0时取1，否则为0

和连续的

物理含义稍有差距

直接切入

就是时间域被以

等间隔

采样了

理想的采样就是乘上

这个东西

但物理上没法实现，所以就是直接测量获取幅度就是了

那么

注意抽样之后还有多了一个系数

我对

的理解是

在单位长度上的平均值

而另一方面：

即：

把上式视作频域周期函数得傅里叶变换，根据逆变换得

引入数字频域量：

其中

是数字角频率，可以认为是

的角频率

上面的就是离散时间信号傅里叶变换对

这里说一下我理解的数字角频率是啥

首先，有个东西叫做奈奎斯特抽样定理，就是你做以

等间隔采样后，最高的有效频率是

，这个似乎不难理解就是采样结果是1，-1，1，-1这种就是最高频率了，抽样频率的一半。

第二，它实际上是把

映射到

第三，数字角频率的最高值

对应的是抽样频率的一半。

最后，频率混叠的问题我没写，建议自己了解。

然后说一下反变换

这里可以做一个数学上的变化

其实这里可以进一步引入

变换，也很漂亮，举一道例题：

对于

，在单位圆内只有

一个极点

对于

,在单位圆内有一级极点

和

级极点

.

综上

虽然是抽样，但还是傅里叶的，所以那些对称性质，DTFT都有

比如时移：

这里就说一个不太一样的

定义离散卷积

还有一个非常重要的帕塞瓦尔定理

我们说了这么多

大概可以发现：

一边周期化对应另一边的离散化

那么我们已经研究了

时域连续

频域连续：一般非周期连续信号

时域周期

频域离散：傅里叶级数

时域离散

频域周期：离散时间傅里叶变换

那么还剩什么呢：

就是最特殊的情况，时域和频域都是周期离散的情况，这种东西是便于计算机分析和存储的。

那就是：离散傅里叶变换DFT

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四，离散傅里叶级数与离散傅里叶变换

我们在前面三部分提出两个主要的变换对

FT：

DTFT

但他们二者的频域都是连续量，没有办法被计算机有效处理，所以我们需要引入使频域离散的办法：时域周期化。

令

是一个周期为

的序列，即

对于任意正整数

总有

我们先看一个比较一般的周期函数的DTFT

设门函数

则

若有

，那么

好的，频域在周期化的基础上离散化了

取

我们就得到了一个在频域上周期同为

的序列

。

再回去看看IDTFT的定义

令

集合

对于长度为N的序列是一组完备的离散正交函数系。

可得如下推导

综上：

这就是

变换对

离散傅里叶级数。

什么对称性啊，线性啊，DTFT有的，它都有。

在此不多赘述。

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接下来扯一扯循环卷积了。

若有周期都为的

两序列

，对应的DFS为

循环卷积为

对称得：

----------------

，就是选取

的主周期截断了一下，毕竟周期序列，一个周期就浓缩了所有内容。所有的性质都可以参照DFS。

但是

可不是一个长度N的序列，而是周期为N的序列的一个周期。

所以很多和它相关的性质都会带一个循环

比如

这里我们要引入一个运算符号

是取模运算，就是

我们把DFS截断一下进而得到

的定义

我们可以知道DFT是DTFT的频域等间隔采样。

(在

域中

)

或者看时域区别

结果一致。说明只要DFT点数大于

长度，总能重构DTFT的结果。

不过，既然我们之前知道DFT是对DTFT的抽样，那么只要增加抽样密度，获取的DFT的点连接也会更光滑，更加逼近DTFT的结果。具体的实施方法就是补零。这种操作不增加信息量，只是让我们获取了更多的信息。

紫，橙，红，松绿依次是点列

的4，8，16点DFT和DTFT,采样这一点也显而易见了。

然后正式讲一些DFT的性质：

1，线性：略

2，反转定理

3，序列循环移位

4，对称性

虽然和前面的差不多，但是因为DFT是从0到N，没有负项。

写法和之前有些小区别：

设

若

,即

共轭对称

特别的，

顺便说一下：

最高频率在

5，循环卷积

若有长度都为的

两序列

，对应的DFS为

循环卷积为

对称得：

6，帕塞瓦尔定理

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再然后写几个奇妙性质

是长度为

的序列，其

为

......

有关于FS,FT,DTFT,DFT及其反变换的总结就到这里，快速傅里叶变换的推导我会另写一篇文章，因为FFT是算法，而不是新的变换。