【数论】线性筛与积性函数

一篇总结很全面的blog：
http://blog.csdn.net/tc_to_top/article/details/48025849

欧拉函数：

定义： φ(n) 表示1~n中和n互素的数目
性质：
首先可以根据概念得知，当n为素数时，显然 ϕ(n)=n−1
欧拉函数是个不完全积性函数，证明过程较复杂，贴个链接赶紧跑
根据它积性函数的性质和唯一分解定理，我们就可以把任意一个 φ(n) 分解为

φ(n)=∏φ(pkii)

那么我们只需求出 φ(pk) 就可以求出任意数的欧拉函数值
1 ~ pk 一共有 pk 个数，其中是p的倍数的有{ p,2p,3p,……pk }共 pk−1 个数，据上述

我们就得到了欧拉函数的一般求解公式

求解时分三种情况：

1. 当i为素数时，显然 ϕ(i)=i−1
2. 当  i%prime[j]≠0 时， prime[j] 一定是 i×prime[j] 的最小的质因子，所以有 gcd(i,prime[j])=1 ，由积性函数的性质可得 ϕ[i∗prime[j]]=ϕ[i]∗(prime[j]−1)
3. 当 i×prime[j]=0 时，根据欧拉函数的定义式： ϕ[n]=n×∏ki=1(1−1pi) ，故若 i×prime[j]=0 , prime[j] 在之前已经筛过， i∗prime[j] 的质因子数不变
   则 ϕ[i∗prime[j]]=ϕ[i]×prime[j]

下面是线性筛+求欧拉函数\莫比乌斯函数\约数个数的代码

#include
#include
#include
#include
using namespace std;

const int N=10000010;
int prime[N],cnt,phi[N],mob[N],fac[N],d[N];
bool isprime[N];

void Get_table()
{
    mob[1]=1;
    phi[1]=1;
    fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!isprime[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
            mob[i]=-1;
            fac[i]=2;
            d[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&(long long)i*prime[j]<=N;j++)
        {
            isprime[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                mob[i*prime[j]]=0;
                fac[i*prime[j]]=fac[i]/(d[i]+1)*(d[i]+2);
                d[i*prime[j]]=d[i]+1;
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            mob[i*prime[j]]=-mob[i];
            fac[i*prime[j]]=fac[i]*2;
            d[i*prime[j]]=1;
        }
    }
}

int main()
{
    int n;
    Get_table();
    while(cin>>n)
        cout<" "<" "<return 0;
}