普通克里金插值
普通克里金插值
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有sill的理论模型
球状模型公式
γ ( d ) = { 0 , d = 0 C 0 + C ( 3 2 ∗ d a − 1 2 ∗ d 2 a 2 ) , 0 < d ≤ a C 0 + C , d > a \gamma(d) = \begin{cases} 0,\quad d=0\\ C_{0}+C(\frac{3}{2}*\frac{d}{a}-\frac{1}{2}*\frac{d^2}{a^2}), \quad 0<d \leq a\\ C_{0}+C, \quad d>a\\ \end{cases} γ(d)=⎩⎪⎨⎪⎧0,d=0C0+C(23∗ad−21∗a2d2),0<d≤aC0+C,d>a
- 球状模型中的变程为a
指数模型公式
γ ( d ) = { 0 , d = 0 C 0 + C ( 1 − e d a ) , d > 0 \gamma(d) = \begin{cases} 0,\quad d=0\\ C_{0} +C(1-e^{\frac{d}{a}}), \quad d>0 \end{cases} γ(d)={ 0,d=0C0+C(1−ead),d>0
- 指数模型中的变程为3a
高斯模型公式
γ ( d ) = { 0 , d = 0 C 0 + C ( 1 − e d 2 a 2 ) , d > 0 \gamma(d) = \begin{cases} 0,\quad d=0 C_{0} +C(1-e^{\frac{d^2}{a^2}}), \quad d>0 \end{cases} γ(d)={ 0,d=0C0+C(1−ea2d2),d>0
- 高 斯 模 型 中 的 变 程 为 3 2 a 高斯模型中的变程为 \sqrt[2]{3} a 高斯模型中的变程为23a
无sill的理论模型
幂函数模型公式
γ ( d ) = { d a , 0 < a ≤ 2 \gamma(d) = \begin{cases} d^a,\quad 0<a \leq 2\\ \end{cases} γ(d)={ da,0<a≤2
对数函数模型公式
γ ( d ) = { l o g d \gamma(d) = \begin{cases} log_{d} \end{cases} γ(d)={ logd
纯块金效应模型公式
γ ( d ) = { 0 , h = 0 C 0 ( > 0 ) , h > 0 \gamma(d) = \begin{cases} 0,\quad h=0\\ C_{0} (>0) , \quad h>0 \end{cases} γ(d)={ 0,h=0C0(>0),h>0
克里金插值法公式
Z ( s 0 ) ^ = ∑ i = 1 n λ i Z ( s i ) \hat{Z(s_0)} = \sum_{i=1}^n \lambda_{i}Z(s_i) Z(s0)^=i=1∑nλiZ(si)
- 该公式表示的是估值 Z ( s 0 ) ^ \hat{Z(s_0)} Z(s0)^ 在栅格点S0 处的插值等于权重系数 λi 与散点值Z(Si)的累加。其中Z(si)表示在范围内的离散点。权重系数λi 并非距离倒数的平方。它是基于无偏估计条件下：
E ( Z ( 0 ) ^ − Z 0 ) = 0 E(\hat{Z(0)} -Z_{0} ) = 0 E(Z(0)^−Z0)=0
满足插值点估计值 $ \hat{Z(0)} $ 与真实值Z0
m i n λ i V a r ( Z ( 0 ) ^ − Z 0 ) min \quad \lambda_{i} Var(\hat{Z(0)} -Z_{0} ) minλiVar(Z(0)^−Z0)
最小的一组解
假设条件
普通克里金插值的条件：对于整个空间来说，空间中的每一个变量都有着相同的期望E和方差σ2。
E [ z ( x , y ) ] = c V a r [ z ( x , y ) ] = σ 2 E[ z(x,y) ] = c \\ Var[z(x,y)] = \sigma^2 E[z(x,y)]=cVar[z(x,y)]=σ2
空间内容一点都等于常量c 和随机偏差量R（X,Y）之和
z ( x , y ) = E [ z ( x , y ) + R ( x , y ) ] = c + R ( x , y ) z(x,y) = E[z(x,y) + R(x,y) ] = c+R(x,y) z(x,y)=E[z(x,y)+R(x,y)]=c+R(x,y)
R ( x , y ) = V a r [ z ( x , y ) ] = σ 2 R(x,y) = Var[z(x,y)] =\sigma^2 R(x,y)=Var[z(x,y)]=σ2
变差函数
https://en.wikipedia.org/wiki/Variogram
γ ( i j ) = 1 2 E [ ( Z i − Z j ) 2 ] \gamma(ij)=\frac{1}{2}E[(Z_i-Z_j)^2] γ(ij)=21E[(Zi−Zj)2]
-
Zi 、Zj 分别为空间中位置i、位置j 对应的变量值。
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由于普通克里金插值的特性 ：空间中任一点都等于恒定空间期望C 与随机偏差R 之和
Z i − Z j = R i − R j Z_i - Z_j = R_i - R_j Zi−Zj=Ri−Rj公式变形
γ ( i j ) = 1 2 E [ ( R i − R j ) 2 ] = 1 2 E [ R i 2 ] + 1 2 E [ R j 2 ] − E [ R i ∗ R j ] = σ 2 − c o v ( R i , R j ) \gamma(ij)=\\\frac{1}{2}E[(R_i-R_j)^2]\\ =\\\frac{1}{2} E[R_i^2]+ \frac{1}{2} E[R_j^2]-E[R_i*R_j] =\\ \sigma^2 - cov(R_i,R_j) γ(ij)=21E[(Ri−Rj)2]=21E[Ri2]+21E[Rj2]−E[Ri∗Rj]=σ2−cov(Ri,Rj)
-
相似空间距离表述
d i j = d ( Z i , Z j ) = d [ ( x i , y i ) , ( x j , y j ) ] = ( x i − x j ) 2 + ( y i − y j ) 2 d_ij = d(Z_i,Z_j) = d[(x_i,y_i),(x_j,y_j)] = \\ \sqrt{(x_i-x_j)^2+(y_i-y_j)^2} dij=d(Zi,Zj)=d[(xi,yi),(xj,yj)]=(xi−xj)2+(yi−yj)2
注
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