程序员的数学I

递归——自己定义自己2

• 思考：和的定义

假设n为0以上的整数，使用递归的方式从0到n的整数之和。

1. n=0时, S(n)=0
2. n>1时，n=S(n-1) (n=1,2,3...)
   解析式 S(n)= n x (n+1) / 2 (高斯的断言)

斐波那契数列

• 思考：有一种动物，TA出生2天后，就开始以每天1只的速度繁殖后代。假设第1天，有一只这样的动物（该动物刚出生，从第3天起繁殖后代）。问，到第11天，共有多少只？

思路，按顺序思考，找出规律。

1. 第1天，只有1只动物
2. 第2天，只有1只动物，还没有繁衍后代
3. 第3天，第1天的1只动物，繁殖1个后代，合计2只
4. 第4天，第1天的1只动物，又繁殖1个后代
   第3天出生的还没有开始繁殖，总共3只
5. 第1天和第3天出生的2只动物各繁殖1个后代。
   第4天出生的1只动物还没繁殖后代，合计5只。
   进行归纳的时候，不用想着第n天几只，可以如下思考：

• 第n-1天出生的动物，在第n天还活着
• 第n-2天以前出生的动物，在第n天后会繁殖1个后代
• 总结出递推公式：
  若设第n天的动物总数为F(n)，则
  F(n)=F(n-1)+F(n-2)
  第n天的动物数 = 第n-1天前的动物数 + 第n-2天前出生的动物数
  在这里，为了让等式成立（即让n=2时，公式成立），定义F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)
  由此，我们可以推断出:
  F(0) = 0
  F(1) = 1
  F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1
  F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2
  F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3
  F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5
  ...
  F(11) = F(10) + F(9) = 55 + 34 = 89

• 问题中出现的数列:
  0,1,1,2,3,4,5,13,18,21,34,55,89, ...
  是在13世纪由数学家斐波那契发现的，因此称为斐波那契数列

斐波那契数列是非常优美的，用它出现的变形非常多，我找了几个利用TA作的图：

斐波那契数列作图

斐波那契螺旋

自然界的斐波那契

帕斯卡三角形

这个用文字描述非常累赘，公式不太好表达，因为不支持LaTex，所以就不写了。

杨辉三角形: 除每行最左侧与最右侧的数字以外，每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和：

初始

加好之后

杨辉三角形

思考题：

1. 递归形式画一棵树
2. 谢尔平斯基三角形

总结，把握结构是“分解”整个问题的突破口