图-最小生成树

什么是最小生成树

三点：

• 是一棵树，
  无回路
  |V|个顶点，一定有|V-1|条边
• 生成树
  包含全部顶点
  |V|-1条边都在图中
  （向生成树中任意加一条边就会产生回路了）

如图,第一个是完全图。其他三个是其生成树。

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• 边的权重和最小

充分必要：
最小生成树存在  = 图联通

贪心算法

贪：一步一步解决，但是每一步都是眼前最好的。

这个问题中，什么是好：权重小的边

#约束条件：
{
    只能用图里有的边
    只能正好用掉|V|-1条边
    不能有回路
}

prim 算法

Prim算法：
从一个根节点，让一棵小树，慢慢长大

void Prim(){
    MST={s};//一棵最小生成树
    while(1){
        V=未收录顶点中dist最小者；//dist 是V 到整个集合的距离。
        if(这样的V不存在)
            return;
        将V收录进 MST：dist[V]=0
        for(V 的 邻接点 W){
            if(dist[W]!=0)//未收录
                if( E(V,W） < dist[W]){
                    dist[W] = E(V,W);
                    parent[W] = V;
                }
        }

    }
    if(MST 中收的顶点 数 <|V| ){
        Error("图不连通，生成树不存在")
    }
}

T=O(|V|*|V|)

适合 稠密图

#BB

有点和dijkstra 算法相似，
不过它选点的时候，选下一个点，距离该集合最近的点。
dijkstra选的是：距离 源点 S 最近的点。

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Kruskal 算法
把森林合成一棵树

void Kruskal(Graph G){
     MST={}
      while(MST 中不到|V|-1 条 && E中还有边存在){
          从E 中取一条权重最小的边E(V,W);/*适用最小堆来存储*/
          将E(V,W)从E中删除
          if(E(V,W) 不在MST中构成回路)/*并查集*/
              将E(V,W)加入MST;
            else
                无视E(V,W)
      }
      if(MST 边 < |V|-1 条){
          Error（"不连通，生成树不存在"）
      }
}

T=O(|E|log|E|) 
其中log|E|是 最小堆和并查集

演示图

最小生成树一定唯一么？

不一定。

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