vrp 节约算法 c++_图与网络 Euler回路的Fleury算法讲解之邮递员与旅行商问题
Euler 图和 Hamilton图
基本概念
定义
经过G 的每条边的迹叫做G 的 Euler 迹；闭的 Euler 迹叫做 Euler 回路或 E 回路；含 Euler 回路的图叫做 Euler 图。
直观地讲，Euler 图就是从一顶点出发每边恰通过一次能回到出发点的那种图，即 不重复地行遍所有的边再回到出发点。
定理 6
(i)G 是 Euler 图的充分必要条件是G 连通且每顶点皆偶次。
( ii ) G 是 Euler 图的充分必要条件是 G 连通且
Ci是圈
(iii)G 中有 Euler 迹的充要条件是G 连通且至多有两个奇次点。
定义
包含G 的每个顶点的轨叫做 Hamilton(哈密顿)轨；闭的 Hamilton 轨叫做 Hamilton 圈或 H 圈；含 Hamilton 圈的图叫做 Hamilton 图。
直观地讲，Hamilton 图就是从一顶点出发每顶点恰通过一次能回到出发点的那种 图，即不重复地行遍所有的顶点再回到出发点。
Euler 回路的 Fleury 算法
1921 年，Fleury 给出下面的求 Euler 回路的算法。
Fleury 算法：
∀v0 ∈V(G )，令 W 0 = v0 。
假设迹 Wi = v0 e1 v1...ei vi = 0 1 1 已经选定，那么按下述方法从 E − {e1 ,... , e2} 中选取边e i+1 ：
(i) i+1 e 和 i v 相关联；
(ii)除非没有别的边可选择，否则e i+1不是Gi= = G − {e1, ... ,ei }的割边(cut edge)。(所谓割边是一条删除后使连通图不再连通的边)。
当第 2 步不能再执行时，算法停止。
应用
邮递员问题
中国邮递员问题
一位邮递员从邮局选好邮件去投递，然后返回邮局，当然他必须经过他负责投递的 每条街道至少一次，为他设计一条投递路线，使得他行程最短。
上述中国邮递员问题的数学模型是：在一个赋权连通图上求一个含所有边的回路， 且使此回路的权最小。显然，若此连通赋权图是 Euler 图，则可用 Fleury 算法求 Euler 回路，此回路即为 所求。
对于非Euler 图，1973 年，Edmonds 和 Johnson 给出下面的解法：
设G 是连通赋权图。
(i)求
(ii)对每对顶点 u,v ∈V0，求d(u,v)(d(u,v) 是u 与v 的距离，可用 Floyd 算法求得)。
(iii)构造完全赋权图K|V0| ，以V0 为顶点集，以d(u,v) 为边uv 的权。
(iv)求K |V0| 中权之和最小的完美对集 M 。
(v)求 M 中边的端点之间的在G中的最短轨。
(vi)在(v)中求得的每条最短轨上每条边添加一条等权的所谓“倍边”(即共端点共权的边)。
(vii)在(vi)中得的图G' 上求 Euler 回路即为中国邮递员问题的解。
邮局有 k(k ≥ 2) 位投递员，同时投递信件，全城街道都要投递，完成任务返回邮局，如何分配投递路线，使得完成投递任务的时间最早？我们把这一问题记成 kPP。
kPP 的数学模型如下：
旅行商(TSP)问题
一名推销员准备前往若干城市推销产品，然后回到他的出发地。如何为他设计一条 最短的旅行路线(从驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回驻地)？
这个问题称为旅行商问题。用图论的术语说，就是在一个赋权完全图中，找出一个有最小权的 Hamilton 圈。称这种圈为最优圈。与最短路问题及连线问题相反，目前还没有求解旅行 商问题的有效算法。所以希望有一个方法以获得相当好(但不一定最优)的解。一个可行的办法是首先求一个 Hamilton 圈C ，然后适当修改C 以得到具有较小权 的另一个Hamilton圈。修改的方法叫做改良圈算法。设初始圈C=v1v2...vnv1
(i)对于1 < i +1 < j < n ，构造新的 Hamilton 圈:
它是由C中删去边vivi+1 vjvj+1,添加边vivj和vi+1vj+1而得到的。
若
，则以Cij 代替C ，Cij 叫做C 的改良圈。
(ii)转(i)，直至无法改进，停止。
用改良圈算法得到的结果几乎可以肯定不是最优的。为了得到更高的精确度，可以 选择不同的初始圈，重复进行几次算法，以求得较精确的结果。
这个算法的优劣程度有时能用 Kruskal 算法加以说明。假设C 是G 中的最优圈。
则对于任何顶点v ，C − v 是在G − v 中的 Hamilton 轨，因而也是G − v 的生成树。由此推知：若 T 是 G − v 中的最优树，同时 e 和 f 是和 v 关联的两条边，并使得 w(e) + w( f ) 尽可能小，则 w(T ) + w(e) + w( f ) 将是 w(C) 的一个上界。
这里介绍的方法已被进一步发展。圈的修改过程一次替换三条边比一次仅替换两条边更为有效；然而，有点奇怪的是，进一步推广这一想法，就不对了。
例
从北京(Pe)乘飞机到东京(T)、纽约(N)、墨西哥城(M)、伦敦(L)、巴黎(Pa) 五城市做旅游，每城市恰去一次再回北京，应如何安排旅游线，使旅程最短？各城市之间的航线距离如表 7。
解：编写程序如下：
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function main
clc,clear
global a
a=zeros(6);
a(1,2)=56;a(1,3)=35;a(1,4)=21;a(1,5)=51;a(1,6)=60;
a(2,3)=21;a(2,4)=57;a(2,5)=78;a(2,6)=70;
a(3,4)=36;a(3,5)=68;a(3,6)=68; a(4,5)=51;a(4,6)=61;
a(5,6)=13; a=a+a'; L=size(a,1);
c1=[5 1:4 6];
[circle,long]=modifycircle(c1,L);
c2=[5 6 1:4];%改变初始圈，该算法的最后一个顶点不动
[circle2,long2]=modifycircle(c2,L);
if long2
long=long2;
circle=circle2;
end
circle,long
%*******************************************
%修改圈的子函数
%*******************************************
function [circle,long]=modifycircle(c1,L);
global a
flag=1;
while flag>0
flag=0;
for m=1:L-3
for n=m+2:L-1
if a(c1(m),c1(n))+a(c1(m+1),c1(n+1))<...>
a(c1(m),c1(m+1))+a(c1(n),c1(n+1))
flag=1;
c1(m+1:n)=c1(n:-1:m+1);
end
end
end
end
long=a(c1(1),c1(L));
for i=1:L-1
long=long+a(c1(i),c1(i+1));
end
circle=c1;
旅行商问题的数学表达式
设城市的个数为 n ， dij 是两个城市 i 与 j 之间的距离， xij = 0 或 1(1 表示走过城市 i 到城市 j 的路，0 表示没有选择走这条路)。则有
其中| s |表示集合 s 中元素个数。
将旅行商问题写成数学规划的具体形式还需要一定的技巧，下面的例子我们引用 LINGO 帮助中的一个程序。
例
已知 SV 地区各城镇之间距离见表 8，某公司计划在 SV 地区做广告宣传， 推销员从城市 1 出发，经过各个城镇，再回到城市 1。为节约开支，公司希望推销员走 过这 10 个城镇的总距离最少。
解
编写 LINGO 程序如下：
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