2021第十二届蓝桥杯C++ B组第一场省赛赛后总结

试题 A: 空间

答案：256 * 1024 * 1024 / 4 = 67108864

试题 B: 卡片

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int s[10];

bool check(int x)
{
     
    while (x)
    {
     
        int t = x % 10;
        x /= 10;
        if ( -- s[t] < 0) return false;
    }
    return true;
}

int main()
{
     
    for (int i = 0; i < 10; i ++ ) s[i] = 2021;

    for (int i = 1; ; i ++ )
        if (!check(i))
        {
     
            cout << i - 1 << endl;
            return 0;
        }
    return 0;
}

答案：3181

试题 C: 直线

在平面直角坐标系中，两点可以确定一条直线。如果有多点在一条直线上，那么这些点中任意两点确定的直线是同一条。

给定平面上 $2\times 3$ 个整点 $\left\{(x,y)|0\le x<2,0\le y<3,x\in Z,y\in Z\right\}$，即横坐标是 0 到 1 (包含 0 和 1)

之间的整数、纵坐标是 $0$ 到 $2 $(包含 $0$和 $2$) 之间的整数的点。这些点一共确定了 $11$ 条不同的直线。

给定平面上 $20\times 21$个整点 $\left\{(x,y)|0\le x<20,0\le y<21,x\in Z,y\in Z\right\}$，即横坐标是 0 到 19 (包含 0

和 19) 之间的整数、纵坐标是 0 到 20 (包含 0 和 20) 之间的整数的点。请问这些点一共确定了多少条不同的直

线。

分析：
set存浮点数有误差，不妨将所有直线放到vector中，然后排序，相邻元素的差值>1e-8就可以判为不相等

#include 
#include 
#include 
#include
using namespace std;
struct Line{
     
    double k,b;
    bool operator<(const Line &t) const{
     
        if(k!=t.k) return k<t.k;
        else return b<t.b;
    }
};
vector<Line> v;
int main(){
     
    for(int x1=0;x1<20;x1++){
     
        for(int y1=0;y1<21;y1++){
     
            for(int x2=0;x2<20;x2++){
     
                for(int y2=0;y2<21;y2++){
     
                    if(x1!=x2){
     
                        double k=(double)(y1-y2)/(x1-x2);
                        double b=y1-k*x1;
                        v.push_back({
     k,b});
                    }
                    
                }
            }
        }
    }
    sort(v.begin(),v.end());
    int res=1;
    for(int i=0;i<v.size()-1;i++){
     
        if(fabs(v[i].k-v[i+1].k)>1e-8 || fabs(v[i].b-v[i+1].b)>1e-8){
     
            res++;
        }
    }
    cout<<res+20;
}

试题 D: 货物摆放

小蓝有一个超大的仓库，可以摆放很多货物。

现在，小蓝有 $n$ 箱货物要摆放在仓库，每箱货物都是规则的正方体。小蓝规定了长、宽、高三个互相垂直的方向，每箱货物的边都必须严格平行于长、宽、高。

小蓝希望所有的货物最终摆成一个大的立方体。即在长、宽、高的方向上分别堆 $L、W、H$ 的货物，满足 $n=L\times W\times H$。

给定 $n$，请问有多少种堆放货物的方案满足要求。

例如，当 $n=4$ 时，有以下 $6$种方案：$1\times 1\times 4、1\times 2\times 2、1\times 4\times 1、2\times 1\times 2、2\times 2\times 1、4\times 1\times 1$。

请问，当 $n=2021041820210418$ （注意有 16 位数字）时，总共有多少种方案？

提示：建议使用计算机编程解决问题。

分析：

预处理出n的所有约数，大约有100多个，然后三重for循环判断三个数乘积是否等于n即可

时间复杂度$O(n^3)$

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
vector<ll> v;
int main(){
     
    ll n=2021041820210418;
    
    for(ll i=1;i*i<=n;i++){
     
        if(n%i==0){
     
            v.push_back(i);
            if(n/i!=i){
     
                v.push_back(n/i);
            }
        }
    }
    int res=0;
    for(auto a:v){
     
        for(auto b:v){
     
            for(auto c:v){
     
                if(a*b*c==n){
     
                    res++;
                }
            }
        }
    }
    cout<<res;
    return 0;
}

试题 E: 路径

小蓝学习了最短路径之后特别高兴，他定义了一个特别的图，希望找到图中的最短路径。

小蓝的图由 $2021$ 个结点组成，依次编号 $1$至 $2021$。

对于两个不同的结点 $a,b$，如果 $a$ 和$b$ 的差的绝对值大于 $21$，则两个结点之间没有边相连；如果 $a$ 和 $b$ 的差的绝对值小于等于 $21$，则两个点之间有一条长度为 $a$和 $b$ 的最小公倍数的无向边相连。

例如：结点 $1$ 和结点 $23$ 之间没有边相连；结点 $3$ 和结点 $24$ 之间有一条无向边，长度为 $24$；结点 $15$ 和结点 $25$ 之间有一条无向边，长度为 $75$。

请计算，结点 $1$ 和结点 $2021$ 之间的最短路径长度是多少。

提示：建议使用计算机编程解决问题。

分析：

简单的最短路问题，可以用spfa，dijkstra，甚至是floyd算法解决

#include
using namespace std;
const int N=2030,M=100005;
int h[N],e[M],w[M],ne[M],idx;
int dist[N];
bool st[N];
void add(int a,int b,int c){
     
    e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void spfa(){
     
    queue<int> q;
    memset(dist,0x3f,sizeof dist);
    dist[1]=0;
    q.push(1);
    st[1]=true;
    while(!q.empty()){
     
        int t=q.front();
        q.pop();
        st[t]=false;
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
     
            int j=e[i];
            if(dist[j]>dist[t]+w[i]){
     
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                if(!st[j]){
     
                    st[j]=true;
                    q.push(j);
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
     
    memset(h, -1, sizeof h);
    for(int i=1;i<=2021;i++){
     
        for(int j=i+1;j<=2021;j++){
     
            if(abs(i-j)<=21){
     
                add(i,j,i*j/__gcd(i,j));
                add(j,i,i*j/__gcd(i,j));
            }
        }
    }
    spfa();
    cout<<dist[2021];
    return 0;
}

试题 F: 时间显示

小蓝要和朋友合作开发一个时间显示的网站。

在服务器上，朋友已经获取了当前的时间，用一个整数表示，值为从 $1970$ 年 $1$ 月 $1$ 日 $00:00:00$ 到当前时刻经过的毫秒数。

现在，小蓝要在客户端显示出这个时间。

小蓝不用显示出年月日，只需要显示出时分秒即可，毫秒也不用显示，直接舍去即可。

给定一个用整数表示的时间，请将这个时间对应的时分秒输出。

输入格式

输入一行包含一个整数，表示时间。

输出格式

输出时分秒表示的当前时间，格式形如 HH:MM:SS，其中 HH 表示时，值为 $0$ 到 $23$，MM 表示分，值为 $0$ 到 $59$，SS 表示秒，值为 $0$ 到 $59$。

时、分、秒不足两位时补前导 $0$。

数据范围

对于所有评测用例，给定的时间为不超过 $10^{18}$ 的正整数。

输入样例1：

46800999

输出样例1：

13:00:00

输入样例2：

1618708103123

输出样例2：

01:08:23

分析：

$n/=1000$，得到秒数

一天有$24\ast 60\ast 60=86400$秒，$n\%=86400$可以得到最后一天的秒数

最后一天的小时数$h=n/3600$，然后$n\%=3600$

分钟数$m=n/60$，最后的秒数$s=n\%60$

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
     
    ll n;
    cin>>n;
    n/=1000;
    n%=86400;
    ll h=n/3600;
    n%=3600;
    ll m=n/60;
    ll s=n%60;
    printf("%02lld:%02lld:%02lld",h,m,s);
}

考场上的源代码（没有考虑公式，直接枚举做的，能过60%数据）：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
int main(){
     
    ll n;
    cin>>n;
    n/=1000;
    ll h=0,m=0,s=0;
    while(n--){
     
        s++;
        if(s==60){
     
            m++;
            s=0;
            if(m==60){
     
                m=0;
                h++;
                if(h==24){
     
                    h=0;
                }
            }
        }
    }
    printf("%02lld:%02lld:%02lld",h,m,s);
}

试题 G: 砝码称重

你有一架天平和 $N$ 个砝码，这 $N$ 个砝码重量依次是 $W_1,W_2,\cdot \cdot \cdot ,W_N$。

请你计算一共可以称出多少种不同的正整数重量？

注意砝码可以放在天平两边。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $N$。

第二行包含 $N$ 个整数：$W_1,W_2,W_3,\cdot \cdot \cdot ,W_N$。

输出格式

输出一个整数代表答案。

数据范围

对于 $50$ 的评测用例，$1\le N\le 15$。
对于所有评测用例，$1\le N\le 100$，$N$ 个砝码总重不超过 $10^5$。

输入样例：

31 4 6

输出样例：

10

样例解释

能称出的 1010 种重量是：$1、2、3、4、5、6、7、9、10、11$。

1 = 1；2 = 6 − 4 (天平一边放 6，另一边放 4)；3 = 4 − 1；4 = 4；5 = 6 − 1；6 = 6；7 = 1 + 6；9 = 4 + 6 − 1；10 = 4 + 6；11 = 1 + 4 + 6。

分析：

方法1：背包dp（有限制的选择问题）

状态表示$f[i,j]$：集合：只从前$i$个物品中选，且总重量为$j$的所有方案的集合

​ 属性：是否非空(bool)

状态计算：【1】不选$w_i$：$f[i,j]=f[i-1,j]$

​ 【2】选$+w_i$：$f[i,j]=f[i-1][j-w[i]]$

​ 【3】选$-w_i$：$f[i,j]=f[i-1][j+w[i]]$

#include
using namespace std;
const int N=110,M=200005,B=M/2;
int w[N],n,m;
bool f[N][M];
int main(){
     
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&w[i]),m+=w[i];
    f[0][B]=true;
    for(int i=1;i<=n;i++){
     
        for(int j=-m;j<=m;j++){
     
            f[i][j+B]=f[i-1][j+B];
            if(j-w[i]>=-m) f[i][j+B]|=f[i-1][j-w[i]+B];
            if(j+w[i]<=m) f[i][j+B]|=f[i-1][j+w[i]+B];
        }
    }
    int res=0;
    for(int j=1;j<=m;j++){
     
        if(f[n][j+B]) res++;
    }
    cout<<res;
    return 0;
}

方法2：母函数

这里套用了母函数的模板，没有用dp方法做，因为恰好是不久前学到的一个原题

#include 
using namespace std;
const int N=1050,M = 1000005;
int c1[M],c2[M],w[N];
int main(){
     
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int maxl=0;
    for(int i=0;i<n;i++) {
     
        scanf("%d",&w[i]);
        maxl+=w[i];
    }
    c1[0]=1;c1[w[0]]=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
     
        for(int j=0;j<=maxl;j++){
     
            for(int k=0;k<=w[i];k+=w[i]){
     
                c2[j+k]+=c1[j];
                c2[abs(j-k)]+=c1[j];
            }
        }
        for(int j=0;j<=maxl;j++){
     
            c1[j]=c2[j];
            c2[j]=0;
        }
    }
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=maxl;i++){
     
        if(c1[i]) cnt++;
    }
    cout<<cnt;
}

试题 H: 杨辉三角形

下面的图形是著名的杨辉三角形：

如果我们按从上到下、从左到右的顺序把所有数排成一列，可以得到如下数列：

1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 4, 6, 4, 1, ...

给定一个正整数 $N$，请你输出数列中第一次出现 $N$ 是在第几个数？

输入格式

输入一个整数 $N$。

输出格式

输出一个整数代表答案。

数据范围

对于 $20$ 的评测用例，$1\le N\le 10$；
对于所有评测用例，$1\le N\le 10^9$。

输入样例：

6

输出样例：

13

如图所示，从最后一个斜条开始枚举到第一个斜条，每一个斜条的第一个数均为$C(2k,k)$，在每一个斜条中二分查找，时间复杂度$O(16logn)$

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll C(int a,int b){
     
	ll res=1;
	for(int i=a,j=1;j<=b;i--,j++){
     
		res=res*i/j;
		if(res>n) return res;//防止爆long long 
	}
	return res;
}
bool check(int k){
     
	ll l=k*2,r=max((ll)n,l);
	while(l<r){
     
		ll mid=l+r>>1;
		if(C(mid,k)>=n) r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	if(C(r,k)!=n) return false;
	cout<<r*(r+1)/2+k+1;//r的前面有r行
	return true;
}
int main(){
     
	cin>>n;
	for(int k=16;;k--){
     
		if(check(k)) break;
	}
	return 0;
} 

试题 I: 双向排序

给定序列 $(a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_n)=(1,2,\cdot \cdot \cdot ,n)$，即 $a_i=i$。

小蓝将对这个序列进行 $m$ 次操作，每次可能是将 $a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_{q_i}$ 降序排列，或者将 $a_{q_i},a_{q_{i+1}},\cdot \cdot \cdot ,a_n$升序排列。

请求出操作完成后的序列。

输入格式

输入的第一行包含两个整数 $n,m$，分别表示序列的长度和操作次数。

接下来 $m$ 行描述对序列的操作，其中第 $i$ 行包含两个整数 $p_i,q_i$表示操作类型和参数。当 $p_i=0$ 时，表示将 $a_1,a_2,\cdot \cdot \cdot ,a_{q_i}$ 降序排列；当 $p_i=1$ 时，表示将 $a_{q_i},a_{q_{i+1}},\cdot \cdot \cdot ,a_n$升序排列。

输出格式

输出一行，包含 $n$ 个整数，相邻的整数之间使用一个空格分隔，表示操作完成后的序列。

数据范围

对于 $30\%$ 的评测用例，$n,m\le 1000$；
对于 $60\%$ 的评测用例，$n,m\le 5000$；
对于所有评测用例，$1\le n,m\le 10^5，0\le p_i\le 1，1\le q_i\le n$。

输入样例：

3 3
0 3
1 2
0 2

输出样例：

3 1 2

样例解释

原数列为 $(1,2,3)$。

第 $1$ 步后为 $(3,2,1)$。

第 $2$ 步后为 $(3,1,2)$。

第 $3$ 步后为 $(3,1,2)$。与第 $2$ 步操作后相同，因为前两个数已经是降序了。

#include 
#include 
#include 

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 100010;

int n, m;
PII stk[N];
int ans[N];

int main()
{
     
    scanf("%d%d", &n, &m);
    int top = 0;
    while (m -- )
    {
     
        int p, q;
        scanf("%d%d", &p, &q);
        if (!p)
        {
     
            while (top && stk[top].x == 0) q = max(q, stk[top -- ].y);
            while (top >= 2 && stk[top - 1].y <= q) top -= 2;
            stk[ ++ top] = {
     0, q};
        }
        else if (top)
        {
     
            while (top && stk[top].x == 1) q = min(q, stk[top -- ].y);
            while (top >= 2 && stk[top - 1].y >= q) top -= 2;
            stk[ ++ top] = {
     1, q};
        }
    }
    int k = n, l = 1, r = n;
    for (int i = 1; i <= top; i ++ )
    {
     
        if (stk[i].x == 0)
            while (r > stk[i].y && l <= r) ans[r -- ] = k -- ;
        else
            while (l < stk[i].y && l <= r) ans[l ++ ] = k -- ;
        if (l > r) break;
    }
    if (top % 2)
        while (l <= r) ans[l ++ ] = k -- ;
    else
        while (l <= r) ans[r -- ] = k -- ;

    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        printf("%d ", ans[i]);
    return 0;
}

试题 J: 括号序列

给定一个括号序列，要求尽可能少地添加若干括号使得括号序列变得合法，当添加完成后，会产生不同的添加结果，请问有多少种本质不同的添加结果。

两个结果是本质不同的是指存在某个位置一个结果是左括号，而另一个是右括号。

例如，对于括号序列 ((()，只需要添加两个括号就能让其合法，有以下几种不同的添加结果：()()()、()(())、(())()、(()()) 和 ((()))。

输入格式

输入一行包含一个字符串 $s$，表示给定的括号序列，序列中只有左括号和右括号。

输出格式

输出一个整数表示答案，答案可能很大，请输出答案除以 $1000000007$ (即 $10^9+7$) 的余数。

数据范围

对于 $40$ 的评测用例，$|s|\le 200$。
对于所有评测用例，$1\le |s|\le 5000$。

输入样例：

((()

输出样例：

5

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 5010, MOD = 1e9 + 7;

int n;
char str[N];
LL f[N][N];

LL work()
{
     
    memset(f, 0, sizeof f);
    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (str[i] == '(')
        {
     
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                f[i][j] = f[i - 1][j - 1];
        }
        else
        {
     
            f[i][0] = (f[i - 1][0] + f[i - 1][1]) % MOD;
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                f[i][j] = (f[i - 1][j + 1] + f[i][j - 1]) % MOD;
        }

    for (int i = 0; i <= n; i ++ )
        if (f[n][i])
            return f[n][i];
    return -1;
}

int main()
{
     
    scanf("%s", str + 1);
    n = strlen(str + 1);
    LL l = work();
    reverse(str + 1, str + n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        if (str[i] == '(') str[i] = ')';
        else str[i] = '(';
    LL r = work();
    printf("%lld\n", l * r % MOD);
    return 0;
}