牛顿迭代法（Newton’s Method）迭代求根的Python程序
迭代法的作用
许多复杂的求解问题，都可以转换成方程f(x)=0的求解问题。这一系列的解叫做方程的根。对于非线性方程的求解，在自变量范围内往往有多个解，我们将此变化区域分为多个小的子区间，对每个区间进行分别求解。我们在求解过程中，选取一个近似值或者近似区间，然后运用迭代方法逐步逼近真实解。
方程求根的常用迭代法有：二分法、不动点迭代、牛顿迭代法、弦截法
牛顿迭代法
牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉弗森方法（Newton-Raphson method），它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。
参考链接：
用python算微积分及牛顿迭代求解高阶方程
牛顿迭代法基本思想
考察一般形式的函数方程f(x)=0,首先运用校正技术建立迭代公式，设已知它的近似根xk,则自然要求校正值x(k+1)=xk+∆x能更好的满足所给方程,即 f(xk+∆x)≈0，将其左端用线性主部f(xk)+f’(xk)* ∆x代替,而令f(xk)+f’(xk)*∆x=0，这是关于增量∆x的线性方程，据此定出∆x=-f(xk)/f’(xk)，从而关于校正值x(k+1)=xk+∆x有如下计算公式：X(k+1)=xk-f(xk)/f’(xk)
这就是著名的牛顿公式。Newton法的突出优点是速度快，但它有个明显的缺点是每一步迭代需要提供导数值f’(xk),如果函数f(x)比较复杂，致使导数的计算比较困难，那么使用牛顿公式是不方便的。
牛顿迭代法优缺点
通常最高效的方法：牛顿法。它是求解方程f(x)=0的一种重要方法，它的最大优点是方程在单根附近具有较高的收敛速度，且算法逻辑简单。它还可以用于求代数方程的重根、复根。但是由于牛顿法是局部收敛的，它的收敛性依赖于初值x0的选取。并且每一步迭代除了需要计算f(Xk)外，还需要计算f(Xk)的导数，当f(x)比较复杂时（缺点明显），该方法是不方便的。
例题
求方程式：x = exp(-x)在0.5附近的根
即求方程式xexp(x)-1=0在0.5附近的根
约定一个误差，当误差小于某个数值的时候，迭代停止
代码如下：
from sympy import *
x = symbols('x')
x0 = 0.5
x_list = [x0]
i = 0
def f(x):
f = x * exp(x) - 1
return f
while True:
if diff(f(x),x).subs(x,x0) == 0:
print('极值点：',x0)
break
else:
x0 = x0 - f(x0)/diff(f(x),x).subs(x,x0)
x_list.append(x0)
if len(x_list) > 1:
i += 1
error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
if error < 10 ** (-6):
print(f'迭代第{i}次后，误差小于10^(-6)，误差为{error}')
break
else:
pass
print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')
结果：
迭代第4次后，误差小于10^(-6)，误差为2.17717477197250E-10
所求方程式的根为0.567143290409784
迭代至电脑默认为误差为0为止
from sympy import *
x = symbols('x')
x0 = 0.5
x_list = [x0]
i = 0
def f(x):
f = x * exp(x) - 1
return f
while True:
if diff(f(x),x).subs(x,x0) == 0:
print('极值点：',x0)
break
else:
x0 = x0 - f(x0)/diff(f(x),x).subs(x,x0)
x_list.append(x0)
if len(x_list) > 1:
i += 1
error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
if error == 0:
print(f'迭代第{i}次后，误差为0')
break
else:
pass
print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')
结果：
迭代第6次后，误差为0
所求方程式的根为0.567143290409784
画迭代图
代码：
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt
x = symbols('x')
x0 = 0.5
x_list = [x0]
x_values = []
y_values = []
i = 0
def f(x):
f = x * exp(x) - 1
return f
while True:
if diff(f(x),x).subs(x,x0) == 0:
print('极值点：',x0)
break
else:
x0 = x0 - f(x0)/diff(f(x),x).subs(x,x0)
x_list.append(x0)
if len(x_list) > 1:
i += 1
error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
x_values.append(i)
y_values.append(error)
if error == 0:
print(f'迭代第{i}次后，误差为0')
break
else:
pass
print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')
#设置绘图风格
plt.style.use('ggplot')
#处理中文乱码
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
#坐标轴负号的处理
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
#横坐标是迭代次数
#纵坐标是误差值
plt.plot(x_values,
y_values,
color = 'steelblue', # 折线颜色
marker = 'o', # 折线图中添加圆点
markersize = 3, # 点的大小
)
# 修改x轴和y轴标签
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('误差值')
# 显示图形
plt.show()
结果：
迭代第6次后，误差为0
所求方程式的根为0.567143290409784
带有区间的例题
求方程式：x3 - 0.165x2 + 3.99310**(-4) = 0在（0，0.11）的根
先看看不用迭代法计算的结果
from sympy import *
from sympy.abc import x
def func(x):
return x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)
result = solveset(func(x), x, Interval(0, 0.11))
print(result)
结果：
FiniteSet(0.0623775815137495)
约定一个误差，当误差小于某个数值的时候，迭代停止
代码：
from sympy import *
x = symbols('x')
xl = 0 #区间下限
xu = 0.11 #区间上限
x0 = (xl+xu)/2 #迭代初始值
x_list = [x0]
i = 0
def f(x):
f = x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)
return f
while True:
if diff(f(x),x).subs(x,x0) == 0:
print('极值点：',x0)
break
else:
x0 = x0 - f(x0)/diff(f(x),x).subs(x,x0)
x_list.append(x0)
if len(x_list) > 1:
i += 1
error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
if error < 10**(-6):
print(f'迭代第{i}次后，误差小于10^-6')
break
else:
pass
print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')
结果：
迭代第3次后，误差小于10^-6
所求方程式的根为0.0623775815137494
迭代至电脑默认误差为0
from sympy import *
x = symbols('x')
xl = 0 #区间下限
xu = 0.11 #区间上限
x0 = (xl+xu)/2 #迭代初始值
x_list = [x0]
i = 0
def f(x):
f = x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)
return f
while True:
if diff(f(x),x).subs(x,x0) == 0:
print('极值点：',x0)
break
else:
x0 = x0 - f(x0)/diff(f(x),x).subs(x,x0)
x_list.append(x0)
if len(x_list) > 1:
i += 1
error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
if error == 0:
print(f'迭代第{i}次后，误差等于0')
break
else:
pass
print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')
结果：
迭代第5次后，误差等于0
所求方程式的根为0.0623775815137495
画迭代图
代码：
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt
x = symbols('x')
xl = 0 #区间下限
xu = 0.11 #区间上限
x0 = (xl+xu)/2 #迭代初始值
x_list = [x0]
i = 0
def f(x):
f = x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)
return f
x_values = []
y_values = []
while True:
if diff(f(x),x).subs(x,x0) == 0:
print('极值点：',x0)
break
else:
x0 = x0 - f(x0)/diff(f(x),x).subs(x,x0)
x_list.append(x0)
if len(x_list) > 1:
i += 1
error = abs((x_list[-1] - x_list[-2]) / x_list[-1])
x_values.append(i)
y_values.append(error)
if error == 0:
print(f'迭代第{i}次后，误差等于0')
break
else:
pass
print(f'所求方程式的根为{x_list[-1]}')
#设置绘图风格
plt.style.use('ggplot')
#处理中文乱码
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
#坐标轴负号的处理
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
#横坐标是迭代次数
#纵坐标是误差值
plt.plot(x_values,
y_values,
color = 'steelblue', # 折线颜色
marker = 'o', # 折线图中添加圆点
markersize = 3, # 点的大小
)
# 修改x轴和y轴标签
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('误差值')
# 显示图形
plt.show()
结果：
迭代第5次后，误差等于0
所求方程式的根为0.0623775815137495
