C++ 实现全区间上的n阶拉格朗日插值多项式、分段线性插值式和三次样条插值式(第一种边界条件)(附源码)

已经知道函数y=e^(-2x)，对应区间为[0, 6]

把区间n等分，给定各结点上的函数值。编写下列插值函数的程序：

... 打字好慢， 看图

大概就是这样：

下面解题：

1.1 全区间上的n阶拉格朗日插值多项式

      

//对应的算法表述为:
for (int k = 0; k < n; k++) {
		xi = x[k];
		for (int i = 0; i < n; i++)
		{
			ln[i] = 1.0;
			for (int j = 0; j < n; j++)
			{
				if (i == j)
					continue;
				ln[i] *= ((xi - standX[j]) / (standX[i] - standX[j]));
			}
			res[k] += (standY[i] * ln[i]);
		}
	}

1.2  分段线性插值式

      

      

//对应的算法表述为:

for (int j = 0; j < n; j++) {
		xm = x[j];

		for (int i = 0; i

1.3 三次样条插值式(第一种边界条件)

      实际应用中，很多情况都需要有二阶光滑度，即具有二阶连续微商，但是分段线性插值的一阶微商并不连续，所以为了保证插值函数及其导数，在插值区间上处处充分接近被插值函数，需要样条函数作插值函数。

为了构造三次样条插值函数，我们需要给定区间[a, b]上的n+1个点，使得插值函数在每一个小的区间上都是一个三次多项式，构造三次样条插值函数的过程如下：

double * spl2(
	int n,						/*输入数据个数*/
	double x[],					/*x坐标序列*/
	double y[],					/*y坐标序列*/
	double ddy1, double ddyn,	/*第一点和最末点二阶导数*/
	double t[],					/*插值点的x坐标序列*/
	int m                      /*插值点个数*/
)
{
	cout << endl << "三次样条..." << endl;
	int i, j;
	double h0, h1, alpha, beta, *s, *dy;
	double z[1000];
	s = new double[n];
	dy = new double[n];
	dy[0] = -0.5;
	h0 = x[1] - x[0];
	s[0] = 3.0*(y[1] - y[0]) / (2.0*h0) - ddy1*h0 / 4.0;
	for (j = 1; j <= n - 2; j++)
	{
		h1 = x[j + 1] - x[j];
		alpha = h0 / (h0 + h1);
		beta = (1.0 - alpha)*(y[j] - y[j - 1]) / h0;
		beta = 3.0*(beta + alpha*(y[j + 1] - y[j]) / h1);
		dy[j] = -alpha / (2.0 + (1.0 - alpha)*dy[j - 1]);
		s[j] = (beta - (1.0 - alpha)*s[j - 1]);
		s[j] = s[j] / (2.0 + (1.0 - alpha)*dy[j - 1]);
		h0 = h1;
	}
	dy[n - 1] = (3.0*(y[n - 1] - y[n - 2]) / h1 + ddyn*h1 / 2.0 - s[n - 2]) / (2.0 + dy[n - 2]);
	for (j = n - 2; j >= 0; j--)        
		dy[j] = dy[j] * dy[j + 1] + s[j];
	for (j = 0; j <= n - 2; j++)        
		s[j] = x[j + 1] - x[j];
	cout << "y: " << endl;
	for (j = 0; j <= m - 1; j++)
	{
		if (t[j] >= x[n - 1]) i = n - 2;
		else
		{
			i = 0;
			while (t[j]>x[i + 1]) i = i + 1;
		}
		h1 = (x[i + 1] - t[j]) / s[i];
		h0 = h1*h1;
		z[j] = (3.0*h0 - 2.0*h0*h1)*y[i];
		z[j] = z[j] + s[i] * (h0 - h0*h1)*dy[i];
		h1 = (t[j] - x[i]) / s[i];
		h0 = h1*h1;
		z[j] = z[j] + (3.0*h0 - 2.0*h0*h1)*y[i + 1];
		z[j] = z[j] - s[i] * (h0 - h0*h1)*dy[i + 1];
		cout << z[j] << " ";

	}
	delete[] s;
	delete[] dy;
	return z;
}

5.    使用说明

使用VS 2015或者更高版本的编辑器打开sln文件，运行即可，程序运行结果将保存在D:\result.txt文件中

6.    算例结果及分析

当插值点为20个的时候：

当插值点为30个的时候

程序源码参见：链接

或者：https://download.csdn.net/download/wql2014302721/10331108

参考文章：

https://blog.csdn.net/twicave/article/details/2808038

https://blog.csdn.net/shaguabufadai/article/details/53026626