最长公共子序列

最长公共子序列是一个很经典的动态规划问题，最近正在学习动态规划，所以拿来这里再整理一下。
这个问题在《算法导论》中作为讲动态规划算法的例题出现。

动态规划，众所周知，第一步就是找子问题，也就是把一个大的问题分解成子问题。这里我们设两个字符串A、B，A = "a0, a1, a2, ..., am-1"，B = "b0, b1, b2, ..., bn-1"。
（1）如果am-1 == bn-1，则当前最长公共子序列为"a0, a1, ..., am-2"与"b0, b1, ..., bn-2"的最长公共子序列与am-1的和。长度为"a0, a1, ..., am-2"与"b0, b1, ..., bn-2"的最长公共子序列的长度+1。
（2）如果am-1 != bn-1，则最长公共子序列为max（"a0, a1, ..., am-2"与"b0, b1, ..., bn-1"的公共子序列，"a0, a1, ..., am-1"与"b0, b1, ..., bn-2"的公共子序列）
如果上述描述用数学公式表示，则引入一个二维数组c[][]，其中c[i][j]记录X[i]与Y[j]的LCS长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，即，搜索方向。
这样我们可以总结出该问题的递归形式表达：

recursive formula

按照动态规划的思想，对问题的求解，其实就是对子问题自底向上的计算过程。这里，计算c[i][j]时，c[i-1][j-1]、c[i-1][j]、c[i][j-1]已经计算出来了，这样，我们可以根据X[i]与Y[j]的取值，按照上面的递推，求出c[i][j]，同时把路径记录在b[i][j]中（路径只有3中方向：左上、左、上，如下图）。

flow

计算c[][]矩阵的时间复杂度是O(m*n)；根据b[][]矩阵寻找最长公共子序列的过程，由于每次调用至少向上或向左移动一步，这样最多需要（m+n）次就会i = 0或j = 0，也就是算法时间复杂度为O(m+n)。

C++代码实现

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

void LCS_Print(int **LCS_Direction, char *str, int row, int column)
{
    if(str == NULL)
        return;

    int nLen1 = strlen(str);

    if(nLen1 == 0 || row < 0 || column < 0)
        return;
    
    if(LCS_Direction[row][column] == 1)
    {
        if(row > 0 && column > 0)
            LCS_Print(LCS_Direction, str, row - 1, column - 1);
        printf("%c ", str[row]);
    }
    else if(LCS_Direction[row][column] == 2)
    {
        if(row > 0)
            LCS_Print(LCS_Direction, str, row - 1, column);
    }
    else if(LCS_Direction[row][column] == 3)
    {
        if(column > 0)
            LCS_Print(LCS_Direction, str, row, column - 1);
    }
}

int LCS(char *str1, char *str2)
{
    if(str1 == NULL || str2 == NULL)
        return 0;

    int nLen1 = strlen(str1);
    int nLen2 = strlen(str2);

    if(nLen1 <= 0 || nLen2 <= 0)
        return 0;

    // 申请一个二维数组，保存不同位置的LCS值
    int **LCS_Length = new int*[nLen1];
    // 申请一个二维数组，保存公共序列的位置
    int **LCS_Direction = new int*[nLen1];
    for(int i = 0; i < nLen1; i++)
    {
        LCS_Length[i] = new int[nLen2];
        LCS_Direction[i] = new int[nLen2];
    }

    for(int i = 0; i < nLen1; i++)
        LCS_Length[i][0] = 0;
    for(int i = 0; i < nLen2; i++)
        LCS_Length[0][i] = 0;
    
    for(int i = 0; i < nLen1; i++)
    {
        for(int j = 0; j < nLen2; j++)
        {
            LCS_Direction[i][j] = 0;
        }
    }

    cout<<"Init OK!"< LCS_Length[i][j - 1])
            {
                LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i - 1][j];
                LCS_Direction[i][j] = 2;
            }
            else
            {
                LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i][j - 1];
                LCS_Direction[i][j] = 3;
            }
        }
    }

    LCS_Print(LCS_Direction, str1, nLen1 - 1, nLen2 - 1);
    cout<