无向加权图的最小生成树

Prim算法

原理：
（1）任意选择一点作为起始点；
（2）选择与起始点相连的权重最小的边，作为第二个点；
（3）对于剩下的所有点，比较他们与已选择的点的权重，每次选择最小的边（这里用到了贪婪算法思想），若形成环则不选择；

辅以下面的例子来帮助理解：

（1）选择v0作为起始点

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（2）选择距离v0权重最小的，这里是v1

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（3）在与v0和v1相连的边中选择一个权重最小的，这里是11，连接v0和v5

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（4）接着在与（v0,v1,v5）相连的边中，选择权重最小的边，这里是12，连接v8

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（5）如此循环，最后的完成图如下：

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Kruskal算法

原理：
对于图 G(V，E)，其中V为图中所有顶点的集合，E为所有边的集合。
（1）首先对E中所有的边按照权重进行排序；
（2）首先，取出权重最小的边，新建一个G1集合表示取出的这条边上的两个点代表的连通分量（可简单理解为图的一部分或最终生成树的子树）；
（3）取出权重第二小的边，若此边与第一条取出的边相连，则加入G1，表示同一个连通分量（逐步扩充此连通分量）；
（4）继续按权重从小到大取出各条边，若与已有的连通分量相连，则加入此连通分量中，否则新建一个集合Gi表示一个新的连通分量；若取出的边会形成环则丢掉；
（5）在不断取出各条边的过程中，可能会形成多个连通分量。当取出的边的两个顶点同时属于两个连通分量时，便可将这两个连通分量合并；
（6）最终多个连通分量合并为一个，也就是我们的最小生成树。

上述检查每一条取出的边是否属于某个连通分量，以及连通分量的合并用到了并查集。辅以下面的图示帮助理解：
（1）选择最小的边，即v4-v7，此时G1={v4-v7}

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（2）选择第二小的边，也即v2-v8,此时G1={v4-v7}, G2={v2-v8}

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（3）选择第三小的边即v1-v0,此时G1={v4-v7}, G2={v2-v8}，G3={v1-v0}

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（4）选第四小的边即v0-v5，由于v0-v5与v1-v0相连，也即属于同一连通分量，此时G1={v4-v7}, G2={v2-v8}，G3={v1-v0，v0-v5}

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（5）选择第五小的边即v8-v1,此时v8-v1把G2和G3两个连通分量联合起来合为一个连通分量G4，此时G1={v4-v7}, G4={v2-v8, v8-v1, v1-v0，v0-v5}

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（6）继续选择余下边里面最小的即16，此处选择v1-v6和v3-v7都可以，这里选v1-v6，合入连通分量G4，此时G1={v4-v7}, G4={v2-v8, v8-v1, v1-v0, v0-v5, v1-v6}

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（7）剩下的步骤与上面相同（注意，由于选v5-v6这条边会形成环，因此丢掉这条边），最后的结果如下：

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总结

对比两种算法，Kruskal主要是针对边来展开，边数少时效率会非常高，所以对于稀疏图有很大的优势；而Prim算法对于稠密图，即边数非常多的情况会更加好一些。