R语言：作业二（矩阵：求行列式、逆矩阵、特征值、特征向量）【补充：矩阵相关运算知识】

本次作业二为2.2与2.4，先从2.2开始：

准备：

首先分别生成题目要求的矩阵A和B。

> A <- matrix(1:20,nrow=4,ncol=5)
> A

得：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 5 9 13 17
[2,] 2 6 10 14 18
[3,] 3 7 11 15 19
[4,] 4 8 12 16 20

> B <- matrix(1:20,nrow=4,ncol=5,byrow=T)
> B

得：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 2 3 4 5
[2,] 6 7 8 9 10
[3,] 11 12 13 14 15
[4,] 16 17 18 19 20

=============================================

解题：

(1)：

> C <- A + B;C

(注：“;c”是为了能够回车即输出结果而不需要再输入一次C获取结果)

结果：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 2 7 12 17 22
[2,] 8 13 18 23 28
[3,] 14 19 24 29 34
[4,] 20 25 30 35 40

(2):

一开始我是这么写的：

> D <- A%*%B;D

结果：

Error in A %*% B : non-conformable arguments

显然，这是因为矩阵的乘法规则要求左边向量的长度等于右边矩阵的行宽。我们只需要将矩阵B转置即可。

> D <- A%*%t(B);D

结果：

[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 175 400 625 850
[2,] 190 440 690 940
[3,] 205 480 755 1030
[4,] 220 520 820 1120

(3):

这个直接矩阵对应元素相乘即可：

> E <- A*B;E

结果：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 10 27 52 85
[2,] 12 42 80 126 180
[3,] 33 84 143 210 285
[4,] 64 136 216 304 400

(4):

观察A：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 5 9 13 17
[2,] 2 6 10 14 18
[3,] 3 7 11 15 19
[4,] 4 8 12 16 20

我们只需要将第四行和第四、五列去除即可。

> F <- A[-4,-(4:5)];F

结果：

[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 5 9
[2,] 2 6 10
[3,] 3 7 11

(5):

观察B：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 2 3 4 5
[2,] 6 7 8 9 10
[3,] 11 12 13 14 15
[4,] 16 17 18 19 20

我们只需要将第三列去除即可。

• 方法一：

> G <- B[-5,-3];G

（注："-5" 这个数是自己定的，只要小于-4即可（避免误删B矩阵的这四列））

结果：

[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 4 5
[2,] 6 7 9 10
[3,] 11 12 14 15
[4,] 16 17 19 20

• 方法二：

> G <- cbind(B[,1],B[,2],B[,4],B[,5]);G

（注：cbind() 把矩阵横向合并成一个大矩阵（列方式），而rbind()是纵向合并（行方式）。）

结果：

[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 2 4 5
[2,] 6 7 9 10
[3,] 11 12 14 15
[4,] 16 17 19 20

接下来是2.4:

准备：

关于按照题目生成一个5阶的Hilbert矩阵，我一开始是这么做的：

> n = 5
> i <- (1:n)
> j <- (1:n)
> hij <- 1/(i+j-1)
> H <- matrix(hij,nrow = 5,ncol = 5)
> H

结果如下：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000 1.0000000
[2,] 0.3333333 0.3333333 0.3333333 0.3333333 0.3333333
[3,] 0.2000000 0.2000000 0.2000000 0.2000000 0.2000000
[4,] 0.1428571 0.1428571 0.1428571 0.1428571 0.1428571
[5,] 0.1111111 0.1111111 0.1111111 0.1111111 0.1111111

好像不太对劲……

于是后期改进：

1、首先计算 i（行）：（使用each = n可以让每一个数字重复n次），正好可以填充成矩阵（列）

> n = 5
> i <- matrix(rep(1:n,each = n), nrow = n)
> i

结果：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 2 3 4 5
[2,] 1 2 3 4 5
[3,] 1 2 3 4 5
[4,] 1 2 3 4 5
[5,] 1 2 3 4 5

2、随后计算 j（行）：（这里使用byrow = T （即TRUE缩写），可以参照 i 矩阵，使用byrow = T以行优先的次序转换成矩阵）

> j <- matrix(rep(1:n,each = n), nrow = n, byrow = T)
> j

结果：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 1 1 1 1
[2,] 2 2 2 2 2
[3,] 3 3 3 3 3
[4,] 4 4 4 4 4
[5,] 5 5 5 5 5

3、最后就可以得到矩阵H了：

> H = 1/(i+j-1)
> H

结果：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1.0000000 0.5000000 0.3333333 0.2500000 0.2000000
[2,] 0.5000000 0.3333333 0.2500000 0.2000000 0.1666667
[3,] 0.3333333 0.2500000 0.2000000 0.1666667 0.1428571
[4,] 0.2500000 0.2000000 0.1666667 0.1428571 0.1250000
[5,] 0.2000000 0.1666667 0.1428571 0.1250000 0.1111111

=============================================

解题：

（1）、求行列式：

我们通常使用det()函数来求矩阵行列式。

> det(H)

得到结果：

[1] 3.749295e-12

（2）、求逆矩阵：

solve()函数可以求矩阵逆矩阵。

> solve(H)

得到结果：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 25 -300 1050 -1400 630
[2,] -300 4800 -18900 26880 -12600
[3,] 1050 -18900 79380 -117600 56700
[4,] -1400 26880 -117600 179200 -88200
[5,] 630 -12600 56700 -88200 44100

（3）、求特征值和特征向量：

函数eigen()可以求对称矩阵的特征值与特征向量，其存放着对称矩阵Sm特征值和特征向量，是由列表形式给出的。

> eigen(H)

得到结果：

eigen() decomposition
$values
[1] 1.567051e+00 2.085342e-01 1.140749e-02 3.058980e-04 3.287929e-06
$vectors
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] -0.7678547 0.6018715 -0.2142136 0.04716181 0.006173863
[2,] -0.4457911 -0.2759134 0.7241021 -0.43266733 -0.116692747
[3,] -0.3215783 -0.4248766 0.1204533 0.66735044 0.506163658
[4,] -0.2534389 -0.4439030 -0.3095740 0.23302452 -0.767191193
[5,] -0.2098226 -0.4290134 -0.5651934 -0.55759995 0.376245545

其中values是特征值：

[1] 1.567051e+00 2.085342e-01 1.140749e-02 3.058980e-04 3.287929e-06

vectors是特征向量：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] -0.7678547 0.6018715 -0.2142136 0.04716181 0.006173863
[2,] -0.4457911 -0.2759134 0.7241021 -0.43266733 -0.116692747
[3,] -0.3215783 -0.4248766 0.1204533 0.66735044 0.506163658
[4,] -0.2534389 -0.4439030 -0.3095740 0.23302452 -0.767191193
[5,] -0.2098226 -0.4290134 -0.5651934 -0.55759995 0.376245545

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矩阵的其他知识（搜集资料）：

1、dim() 将向量定义成数组

注意：生成矩阵是按列排列的。

eg:

> z=1:12;
> dim(z)=c(3,4);
> z;

结果：

[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,] 1 4 7 10
[2,] 2 5 8 11
[3,] 3 6 9 12

2、array() 构造多维数组

用法为：array(data=NA,dim=length(data),dimnames=NULL)
data：是一个向量数据。
dim：是数组各维的长度，缺省时为原向量的长度。
dimname：是数组维的名字，缺省时为空。

eg:

> x=array(1:20,dim=c(4,5))
> x

结果：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 5 9 13 17
[2,] 2 6 10 14 18
[3,] 3 7 11 15 19
[4,] 4 8 12 16 20

3、matrix() 构造矩阵

函数matrix)是构造矩阵(二维数组)的函数，其构造形式为
matrix(data=NA，nrow=1，ncol=1，byrow=FALSE，dimnames=NULL)
其中data是一个向量数据，nro、是矩阵的行数，ncol是矩阵的列数.当byrow=TRUE时，生成矩阵的数据按行放置，缺省时相当于byrow=FALSE，数据按列放置.dimname。是数组维的名字，缺省时为空.

eg:

> A=matrix(1:15,nrow=3,byrow=TRUE)
> A

结果：

[,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
[1,] 1 2 3 4 5
[2,] 6 7 8 9 10
[3,] 11 12 13 14 15

4、t() 转置运算

对于矩阵A，函数t(A)表示矩阵A的转置。

eg:

> A=matrix(1:6,nrow=2);
> A;

结果：

[,1] [,2] [,3]
[1,] 1 3 5
[2,] 2 4 6

接着使用t()：

> t(A);

结果：

[,1] [,2]
[1,] 1 2
[2,] 3 4
[3,] 5 6

5、%*% 向量的内积

对于n维向量x，可以看成nxl阶矩阵或lxn阶矩阵。若x与y是相同维数的向量，则x%*%Y表示x与y作内积。

eg:

>x=1:5; Y=2*1:5
>x%*%y

结果：

[，1]
[1，]110