1025. 除数博弈（Python）

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题目

难度：★★☆☆☆
类型：数学

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
用 N - x 替换黑板上的数字 N 。
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例

示例 1：

输入：2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。
示例 2：

输入：3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

解答

参考官网解答。

方案1：归纳法

最终结果应该是占到2的赢，占到1的输；

若当前为奇数，奇数的约数只能是奇数或者1，因此下一个一定是偶数；

若当前为偶数， 偶数的约数可以是奇数可以是偶数也可以是1，因此直接减1，则下一个是奇数；

因此，奇则输，偶则赢。

class Solution:
    def divisorGame(self, N: int) -> bool:
        return N % 2 == 0

方案2：动态规划

将所有的小于等于N的解都找出来，基于前面的，递推后面的。

状态转移: 如果i的约数里面有存在为False的（即输掉的情况），则当前i应为True；如果没有，则为False。

class Solution:
    def divisorGame(self, N: int) -> bool:
        target = [0 for i in range(N+1)]
        target[1] = 0 #若爱丽丝抽到1，则爱丽丝输
        if N<=1:
            return False
        else:
        
            target[2] = 1 #若爱丽丝抽到2，则爱丽丝赢
            for i in range(3,N+1):
                for j in range(1,i//2):
                    # 若j是i的余数且target[i-j]为假（0）的话，则代表当前为真（1）
                    if i%j==0 and target[i-j]==0:
                        target[i] = 1
                        break
            return target[N]==1

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