如何Python或者R语言中实现用ARIMA模型输出参数实施预测

针对文章如何MATLAB实现用ARIMA模型输出参数实施预测的补充解释，因为使用Python和R语言进行AR等时间序列模型估计的时候，尤其是AR模型，由于输出的参数结果和MATLAB的不对应该，可能会产生一定的疑惑，因此在这里说明。同样为上篇文章的数据集为例针对AR（2）模型进行建模和参数估计，并输出参数。

from pandas import read_csv
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA
series = read_csv('daily-minimum-temperatures.csv', header=0, index_col=0)
model = ARIMA(series, order=(2,0,0))
model_fit = model.fit()
ar_coef = model_fit.params
ar_coef

结果输出：

对比上篇博文中的估计结果:

可以看出${\varphi }_1$、${\varphi }_2$和${\sigma }^2$基本一致，由于估计方法的差异，略有差别，但是Python估计得到的const和MTALAB估计的Constant也即是方程的常数项有较大差别，这是由于两者的公式写法有区别，具体如下：
MATLAB的公式写法：
$$y_t=c+{\varphi }_1{y}_{t-1}+{\varphi }_2{y}_{t-2}+{ϵ}_t$$
Python或者R语言的公式写法：
$$(y_t-c)={\varphi }_1(y_{t-1}-c)+{\varphi }_2(y_{t-2}-c)+{ϵ}_t$$
按照MATLAB公式写法可以转化为：
$$y_t=(1-{\varphi }_1-{\varphi }_2)c+{\varphi }_1{y}_{t-1}+{\varphi }_2{y}_{t-2}+{ϵ}_t$$
也就是说，MATLAB中的公式写法更像直接在回归模型加上常数项，Python和R则是将数据序列减去一个常数（通常是序列均值），然后进行不带常数项进行估计，可以将MATLAB公式中的常数项记为$c_m$，Python中的常数项记为$c_p$，根据以上两个公式可以得出两者的关系如下：
$$c_m=(1-{\varphi }_1-{\varphi }_2)c_p$$
可以在Python中进行验证：

ar_coef["const"]*(1-ar_coef["ar.L1"]-ar_coef["ar.L2"])

输出结果：

上述结果和Python中的输出结果接近。
基于以上分析，调用Python中的参数进行手动预测的时候，需要注意的点就是清楚了其他预测方式就和MATLAB一致了。
R语言和Python相同，下面贴出R语言的代码，不再进行赘述。

# load data
series <- read.csv("daily-minimum-temperatures.csv",header = TRUE,
                   sep = ",")
temp <- series$Temp
AR2 <- arima(temp, order=c(2,0,0), method="ML")
AR2
AR2$coef["intercept"]*(1-AR2$coef["ar1"]-AR2$coef["ar2"])

结果输出：

参考文献

[1] https://www.stat.pitt.edu/stoffer/tsa2/Rissues.htm